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RELATION BINAIRE

Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )

ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD

3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en- semble . La partie entrainement comprend des exercices qui ont été ... Corrigé 1.5.1.

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Relations d'équivalence. Exercice 1 [ 02643 ] [Correction]. Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive et transitive.

ALGÈBRE

2 févr. 2021 Ce polycopié Algèbre I : Rappels de cours et Exercices Résolus

Algèbre

Cours et Exercices corrigés. Réalisé par : 3 Relations binaires sur un ensemble ... trouver une série d'exercices corrigés et d'autres proposés.

Exercices Mathématiques Discr`etes : Relations

Rb7 Soit A un ensemble et R ? A2 une relation binaire sur A. On dit que R est Re3 Parmi les relations binaires sur R de l'exercice Rb3 lesquelles sont ...

Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d´equivalence

1. Exercice corrigé en amphi. ? est une relation binaire sur un ensemble E. Ecrire ce que signifie : (a) ? n'est

Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE

1. Notion d'ensemble et propriétés. 19. 2. Applications et relations d'équivalences. 22. 3. Relations Binaires dans un ensemble. 26. 4. Exercices Corrigés.

Corrigé du TD no 7

Exercice 1. Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique

Relation déquivalence relation dordre

et après une étude de fonction on calculera le nombre d'antécédents possibles. 2. Page 3. Correction de l'exercice 1 ?. 1. Soient

RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1

Relation binaire Pascal Lainé 4 Exercice 16 : Soit la relation définie sur ] [ par : Montrer que est une relation d’ordre total Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 : 1 Soit déterminer en fonction de l’ensemble des complexes tels que Soit { } On définit sur la relation 2

Exercices - Relations Binaires - Christophe Bertault

Soient E un ensemble et R une relation binaire sur E Pour tous xx? ? E on dit que x Rtr x? si : ?n ? N? ?x 0x1 xn ? E x =x0 et x? =x n et ?k ? ¹0n?1º xk R xk+1 La relation Rtr ainsi dé?nie est appelée la clôture tran-sitive de R 1) Montrer que Rtr est transitive 2) Montrer que si R est ré?exive

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Exercice 10[ 01192 ][Correction] Montrer que pour tout n2N : (a) 6 j5n3+n (b) 7 j32n+1+2n+2 (c) 5 j22n+1+32n+1 (d) 11 j 38n54+56n73 (e) 9 j4n1 3n (f) 152j16n1 15n Exercice 11[ 01193 ][Correction] rouvTer les entiers n2Z tel que 10 jn2+(n+1)2+(n+3)2 Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp cpgedupuydelome

IUT d"Orsay 2012-20013

´epartement Informatique DUT 1A - S1

Exercices de math

´ematiques

Feuille 3 - Relations binaires surE

Relations d"

´equivalenceRelations d"ordre

1 Relations binaires deEdansE: repr´esentations, propri´et´es

1.Exercice corrig´e en amphi

Rest une relation binaire sur un ensembleE. Ecrire ce que signifie : (a)Rn"est pas r´eflexive. (b)Rn"est pas sym´etrique. (c)Rn"est pas antisym´etrique. (d)Rn"est pas transitive.

2.Exercice corrig´e en amphi

(a) i. Repr

´esenterRpar

son graphe sa matrice d"adj acence ii. D ´eterminer siRest r´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. (b) D ´eterminerR1,R \ R1,R [ R1,R R1et leurs propri´et´es. 3. Soit Rune relation binaire surE:D´emontrer queR [ R1est sym´etrique. 4. Soit E=f1;2;3;4getRla relation binaire d´efinie surEparxRysi et seulement six+2y est impair. (a) Repr

´esenterRpar

son graphe sa matrice d"adj acence (b) D ´eterminer siRest r´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. 1

5.Dans chacundescas,d

antisym

´etrique, transitive.

(a)xRysi et seulement six+yest pair (b)xRysi et seulement six+yest impair (c)xRysi et seulement sixyest impair 6. Soit Eun ensemble fini`an´el´ements o`unest un entier strictement positif. (a)

Combien y a-t- ilde relations binaires sur E?

(b)

Combien y a-t-il de rel ationsbinaires r

´eflexives surE?

(c)

Combien y a-t -ilde relations binaires sym

´etriques surE?

7.Exercice suppl´ementaire

Danschacundescas,d

est r ´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. (a)xRysi et seulement sixest parent dey (b)xRysi et seulement sixa le mˆeme parent quey (c)xRysi et seulement sixest plus jeune quey

2 Relations d"

´equivalence

1.Exercice corrig´e en amphi

siabest pair. (a)

Montrer que c"es tune relation d"

´equivalence.

(b) D ´eterminer toutes ses classes d"´equivalence. On noteZ=2Zl"ensemble des classes d"

´equivalence deR:

2.Exercice corrig´e en amphi

(a) Soit E=f0;1;2;3;4;5g,A=f0;2;4g,B=f1;5g, etC=f3;5g. Justifier queA,BetCne peuvent pasˆetre les classes d"´equivalence d"une relation d"

´equivalence surE:

(b)

Soit E=f0;1;2;3;4;5g,A=f0;2;4g,B=f1;5g, etC=f3g.

Justifier que A,BetCforment une partition deE:

ii. D ´ecrire la relation d"´equivalence d´efinie surEdont les classes d"´equivalence sont les trois ensemblesA,BetCpar son graphe, par sa matrice d"adjacence, par sa repr

´esentation sagittale.

2 3.D ´emontrer que siRest une relation d"´equivalence surE, alorsR1est aussi une relation d"

´equivalence surE:.

Soit EetFdeux ensembles etf2FE:

SoitRla relation d´efinie surEpar :xRysi et seulement sif(x) =f(y): (a) Montrer que Rest une relation d"´equivalence surE: (b) Soit a2E:D´eterminer la classe deasifest injective. (c) D ´emontrer que sifn"est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux el´ements ou plus. (d)

Ex emplesd"applications f:

Soit fd´efinie deRdansRparf(x) =x2x.

´emontrer quefn"est pas injective.

Soit a2R:D´ecrire la classe d"´equivalence deaselon la valeur dea: ii.

Soit fd´efinie deR2dansRparf((x;y)) =xy:

-fest-elle injective? Soit (a;b)2R2:D´eterminer la classe d"´equivalence de(a;b)puis en donner une interpr

´etation g´eom´etrique.

iii. Soit Eun ensemble non vide etAune partie deE. Soitfl"application d´efinie surP(E)parf(X) =X[A: D

´eterminer la classe de;et la classe deA.

Soit A0A. D´eterminer la classe deA0. En d´eduire la classe d"une partie quelconqueBdeE:

5.Exercice suppl´ementaire

(a) D ´emontrer que l"intersection de deux relations d"´equivalence surEest une relation d"

´equivalence.

(b) D ´emontrer que la r´eunion de deux relations d"´equivalence surEn"est pas en g´en´eral une relation d"

´equivalence.

6.Exercice suppl´ementaire

SoitRla relation binaire d´efinie sur l"ensemble des entiers relatifs par : aRbsi et seulement siabest divisible par3. (a)

Montrer que c"est une relation d"

´equivalence.

(b) D ´emontrer que l"ensemble des classes d"´equivalence deR, not´eZ=3Z, est´egal`a f0;1;2g:

7.Exercice suppl´ementaire

SoitRla relation binaire d´efinie sur l"ensemble des entiers relatifs par : aRbsi et seulement sia2b2est divisible par3. (a)

Montrer que Rest une relation d"´equivalence.

(b) D ´emontrer que l"ensemble des classes d"´equivalence deRest´egal`af0;1g: 3

3 Relations d"ordre

1.Exercice corrig´e en amphi

(a) Montrer que la r elationest une relation d"ordre total surR: (b)Rposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?

2.Exercice corrig´e en amphi

(a) Montrer que la r elationest une relation d"ordre total surE=f1n ;n2Ng. (b)Eposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement? 3. D ´emontrer que siRest une relation d"ordre surE, alorsR1est aussi une relation d"ordre surE: 4. On d ´efinit surE=f1;2;3;5;6;10;15;30gla relationRpar :xRysi et seulement six divisey: (a)

Montrer que Rest une relation d"ordre.

(b)

Est-ce une relation d"or dretotal ?

(c)Eposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?

5.Exercice suppl´ementaire

On d ´efinit surNla relationRpar :xRysi et seulement sixdivisey: (a)

Montrer que Rest une relation d"ordre surN.

(b)

Est-ce une relation d"ord retotal ?

´ecrirefx2E; xR5getfx2E;5Rxg.

(d)Nposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?

6.Exercice suppl´ementaire

On d ´efinit surZla relationRpar :xRysi et seulement sixdivisey: Justifier queRn"est pas une relation d"ordre surZ: 7. Soit Eun ensemble et la relation d"inclusion dansP(E), l"ensemble des parties deE. (a) Est-ce une rela tiond"ordre ?Si oui est-ce une relation d"ordre total ? (b) D ´eterminer le plus petit´el´ement et le plus grand´el´ement deP(E). (c) Si AetBsont deux parties deE, quels sont les minorants et majorants du sous- ensemble deP(E):fA; Bg? Donner le plus grand des minorants et le plus petit des majorants defA; Bg: 4quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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IUT d"Orsay 2012-20013

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Exercices de math

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Feuille 3 - Relations binaires surE

Relations d"

´equivalenceRelations d"ordre

1 Relations binaires deEdansE: repr´esentations, propri´et´es

1.Exercice corrig´e en amphi

2.Exercice corrig´e en amphi

´esenterRpar

´esenterRpar

5.Dans chacundescas,d

´etrique, transitive.

Combien y a-t- ilde relations binaires sur E?

Combien y a-t-il de rel ationsbinaires r

´eflexives surE?

Combien y a-t -ilde relations binaires sym

´etriques surE?

7.Exercice suppl´ementaire

Danschacundescas,d

2 Relations d"

´equivalence

1.Exercice corrig´e en amphi

Montrer que c"es tune relation d"

´equivalence.

´equivalence deR:

2.Exercice corrig´e en amphi

´equivalence surE:

Soit E=f0;1;2;3;4;5g,A=f0;2;4g,B=f1;5g, etC=f3g.

Justifier que A,BetCforment une partition deE:

´esentation sagittale.

´equivalence surE:.

Soit EetFdeux ensembles etf2FE:

Ex emplesd"applications f:

Soit fd´efinie deRdansRparf(x) =x2x.

´emontrer quefn"est pas injective.

Soit fd´efinie deR2dansRparf((x;y)) =xy:

´etation g´eom´etrique.

´eterminer la classe de;et la classe deA.

5.Exercice suppl´ementaire

´equivalence.

´equivalence.

6.Exercice suppl´ementaire

Montrer que c"est une relation d"

´equivalence.

7.Exercice suppl´ementaire

Montrer que Rest une relation d"´equivalence.

3 Relations d"ordre

1.Exercice corrig´e en amphi

2.Exercice corrig´e en amphi

Montrer que Rest une relation d"ordre.

Est-ce une relation d"or dretotal ?

5.Exercice suppl´ementaire

Montrer que Rest une relation d"ordre surN.

Est-ce une relation d"ord retotal ?

´ecrirefx2E; xR5getfx2E;5Rxg.

6.Exercice suppl´ementaire