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Mathématiques en Spé Maths 2019 - 2020

Luc Giraud

Luc GiraudAnnée Scolaire 2019 - 2020

Année Scolaire 2019 - 2020

Cours de Maths

Cours de MathsLycée l"Oiselet

Lycée l"Oiselet

Spé-Maths

Spé-Maths

Case des Maths

17 mars 2020

Luc Giraud, SpéMaths, 2019-20201

Chapitre 7 : Chiffrement

Le point sur le chiffrementLe principe consiste à utiliser une bijection deZ?pZdans lui-même pour crypter le message. Le codage de

Jules César peut être vu comme l"addition d"une constante dansZ?26Z, Vigenère est l"addition des lettres du message à crypter avec les lettres d"un texte fixé. Le codage affine utilise une application affinex↦ax+b avecainversible modulop(le calcul de l"inverse fait intervenir l"identité de Bézout).

Aucune de ces méthodes n"est résistante à une analyse statistique du message crypté (dans le cas de

Vigenére, l"attaque est plus complexe à mettre en oeuvre).

Le chiffrement de Hill groupe les lettres du message à crypter par paquets den(nfixé) pour éviter l"attaque

par analyse statistique, on a donc un vecteurv?(Z?pZ)ndont on calcule l"image par un chiffrement affine

v↦Av+b

où A est une matrice inversible surZ?pZ(donc est à la limite du programme sauf dans des cas commen=2

où on peut exprimer l"inverse explicitement de manière simple, malheureusement dans ce casnn"est pas

suffisamment grand pour que ce code soit résistant à une analyse statistique).

De plus toutes ces méthodes supposent que les clés de chiffrement et de déchiffrement sont secrètes (en

effet si on connait l"une des clefs on en déduit l"autre), alors que RSA par exemple permet de publier une

des deux clefs.

Code de César

c"est un decalage du typex→x+b. A chaque lettre on associe un entier, on y rajoute la valeurb, on regarde

le reste modulo 26 et on repasse en lettre. On donne le texte suivant. AP VGTCDJXAAT P VGPCST QDJRWT VDQT STH BDJRWTH PKTR HP VGPCST QDJRWT TAAT KXI SPCH JCT BPGT HJG JC CTCJEWPG FJX AJX HTGI ST EADCVTDXG BPXH KDXAP FJ JC HDXG TAAT TC P BPGGT STH BDJRWTH PJ ETIXI STYTJCTG STH BDJRWTH PJ SXCTG STH

BDJRWTH IDJIT AP YDJGCTT TAAT TC P PHHTOTexte 1

En utilisant l"analyse des fréquences du site

http://www .dcode.fr/analyse-frequences on trouve : T40B7 J20W7 P18I6 H16V5 C15E3 G14Q3 D14K3 A13Y2 S10F2 X10O1

Total : 216 lettres

Comment utiliser l"analyse des fréquences?

L"analyse des fréquences permet de déchiffrer un texte en rapprochant les fréquences d"apparition des

lettres du message codé avec les fréquences théoriques d"apparition des lettres dans la langue du texte clair.

Il convient, de remplacer le symbole le plus fréquent par la lettre E, la plus fréquente en français, et ainsi

de suite. Ce principe n"est véritablement applicable que si le cryptogramme contient une grande quantité

Luc Giraud, SpéMaths, 2019-20202de symboles afin que les fréquences soient statistiquement significatives. Quelles sont les fréquences des

lettres en langue française?E17.3 %P3.0 %

A8.4%G1.3 %

S8.1 %V1.3 %

I7.3 %B1.1 %

N7.1 %F1.1 %

T7.1 %Q1.0 %

R6.6 %H0.9 %

L6.0 %X0.4 %

U5.7 %J0.3 %

O5.3 %Y0.3 %

D4.2 %K0.1 %

C3.0 %W0.1 %

M3.0 %Z0.1 %

Dans le texte crypté la lettre E a été codée en T, on a donc fait un décalage de 15.

La fonction de codage estf?x↦x+15

La fonction de décodage estf-1?x↦x-15

On obtient le texte décrypté :LA GRENOUILLE A GRANDE BOUCHE

GOBE DES MOUCHES AVEC SA GRANDE BOUCHE

ELLE VIT DANS UNE MARE SUR UN NENUPHAR

QUI LUI SERT DE PLONGEOIR MAIS VOILA QU UN SOIR ELLE EN A MARRE DES MOUCHES AU PETIT DEJEUNER DES MOUCHES AU DINER DES MOUCHES TOUTE LA JOURNEE ELLE EN A ASSEZ1.Chif frementaf fine

Exercice 1

Afin de coder un message on assimile chaque lettre de l"alphabet à un nombre entier comme l"indique

le tableau ci-dessous :ABCDEFGHIJKLM

0123456789101112

NOPQRSTUVWXYZ

13141516171819202122232425

Le chiffrement ou cryptage consiste à coder un message. Le déchiffrement consiste à décoder une

message codé.

Un chiffrement élémentaire est le chiffrage affine. On se donne une fonction de codage affinef, par

exemple :f(x)=11x+8.

A une lettre du message :

-on lui associe un entierxentre 0 et 25 suivant le tableau ci-dessus. -on calculef(x)=11x+8 et l"on détermine le resteyde la division euclidienne def(x)par 26 -On traduitypar une lettre d"après le tableau ci-dessus Exemple : Si l"on veut coder par exemple la lettre G par la fonctionf(x)=11x+8

Luc Giraud, SpéMaths, 2019-20203

La lettre G est donc codée par la lettre W.

La fonction de codage est définie par le fonctionfdéfinie par :f(x)=11x+8 1.

Coder la lett reW .

2. Le but de cett equestion est de déterminer la fonction de décodage . (a) Montrer que pour t ousnombres entiers relatifs xetj, on a :

11x≡j(mod26),x≡19j(mod26)

(b) En déduire que la fonction f-1de décodage estf-1(y)=19y+4. (c)

Décoder la lettre L. Correction 1

1.

Coder la lettr eW .

W?x=22?11×22+8=250?250≡16(mod26)?y=16?QCorrection 1

La lettre W est codée Q.2.Le but de cett equestion est de déterminer la fonction de décodage .

(a) Montrer que pour t ousnombres entiers relatifs xetj, on a :

11x≡j(mod26),x≡19j(mod26)Si 11x≡j(mod26)Comme 11 est premier avec 26, d"après le théorème de Bézout, il existe des

entiersuetvtels que 11u+26v=1 a b r26 11 4 26=2×11+4(1)

11 4 3 11=2×4+3(2)

4 3 1 4=3+1(3)

En posanta=26 etb=11, on a :

(1)??a=2b+4 ??4=a-2b (2)??b=2(a-2b)+3 ??5b-2a=3 (3)??a-2b=5b-2a+1 ??3a-7b=1 On a donc 3×26-7×11=1, ce qui donne-7 ou encore-7+26=19 est l"inverse de 11 modulo 26;
◻Si 11x≡j(mod26)en multipliant par 19 de part et d"autre, on obtient :

19×11x≡19j(mod26)et comme 19×11≡1(mod26), on déduit 19×11x≡x(mod26), et donc

x≡19j(mod26) De la même façon en partant dex≡19j(mod26), en multipliant par 11 de part et d"autre; on a :

11x≡11×19j(mod26). Or 19×11≡1(mod26), on déduit 11×19j≡j(mod26)et donc

11x≡j(mod26)

Conclusion : on a prouvé l"équivalence :

Luc Giraud, SpéMaths, 2019-20204

Correction 1

11x≡j(mod26)??x≡19j(mod26)(b)En déduire que la fonction f-1de décodage estf-1(y)=19y+4.

Pour obtenir la fonction de décodage, on résout l"équationy=f(x) y=f(x)??y=11x+8 ??y-8=11x ??y-8≡11x(26) ??19(y-8)≡19×11x(26) ??19y-152≡x(26) ??19y+4≡x(26) ??x≡19y+4(26)

En effet-152≡4(26)car-152=-6×26+4

(c)

Décoder la lettre L.

L?y=11?11×19+4=250?213≡5(mod26)?x=5?DCorrection 1

La lettre L est décodée en F.Exercice 2

La fonction de codage est définie par la fonctionftelle que :f(x)=21x+11

En utilisant l"algorithme d"Euclide :

1.

Coder le mot : INFINI

2.

On c herchela fonc tionde déc hiffragef-1

(a)

Démontrer que pour tous relatifs xetz, on a :

21x≡z(mod26)??x≡5z(mod26)

(b) En déduire que la fonction de décodage est : f-1(y)=5y+23 (c)

Décoder le message LDXUX RCorrection 2

La fonction de codage est définie par la fonctionftelle que :f(x)=21x+11

En utilisant l"algorithme d"Euclide :

1.

Coder le mot : INFINI

Luc Giraud, SpéMaths, 2019-20205

Correction 2

Le mot INFINI est codé XYMXYX.2.On c herchela fonct ionde déc hiffragef-1 (a)

Démontrer que pour tous relatifs xetz, on a :

21x≡z(mod26)??x≡5z(mod26)

◻Si 21x≡z(mod26)en multipliant par 5 de part et d"autre, on obtient :5×21x≡5z(mod26)et comme 5×21≡1(mod26), on déduit 5×21x≡x(mod26), et donc

x≡5z(mod26) De la même façon en partant dex≡5z(mod26), en multipliant par 21 de part et d"autre; on a :

21xx≡21×5z(mod26). Or 21×5≡1(mod26), on déduit 21×5z≡z(mod26)et donc 21x≡

z(mod26) Conclusion : on a prouvé l"équivalence :Correction 2

21x≡z(mod26)??x≡5z(mod26)(b)En déduire que la fonction de décodage est : f-1(y)=5y+23

Pour obtenir la fonction de décodage, on résout l"équationy=f(x) y=f(x)??y=21x+11 ??y-11=21x ??y-11≡21x(26) ??5(y-11)≡5×21x(26) ??5y-55≡x(26) ??5y+23≡x(26) ??x≡5y+23(26)

En effet-55≡4(26)car-55=-3×26+23

(c)

Décoder le message LDXUX R

R?y=17?5×17+23=108?108≡4(mod26)?x=4?ECorrection 2

Le mot LDXUXR est décodée en AMITIE.

Luc Giraud, SpéMaths, 2019-20206

Exercice 3

On a reçu le message suivant : JWPNWMRCFWMY.On sait que le chiffrement est affine et que la lettre E est codée par la lettre E et que la lettre J est

codée par la lettre N. Soit la fonction affinefdéfinie par :f(x)=ax+boùaetbsont des entiers naturels compris entre 0 et 25. 1. Démontrer que aetbvérifient le système suivant :

9a+b≡13(mod26)

2. (a) Démontrer que 5 a≡9(mod26), puis quea≡7(mod26), (b) En déduire que b≡2(mod26)et quefest définie parf(x)=7x+2 (c)

Démontrer que pour tous relat ifsxetz, on a :

7x≡z(mod26)??x≡15z(mod26)

(d) En déduire que la fonct ionde décodage f-1estf-1(y)=15y+22 (e) Décoder le mess ageLDXUXR. L?y=11?5×11+23=78?78≡0(mod26)?x=0?A R?y=17?5×17+23=108?108≡4(mod26)?x=4?EExercice 3 Le mot LDXUXR est décodé en AMITIE.Correction 3

On a reçu le message suivant : JWPNWMRCFWMY.

On sait que le chiffrement est affine et que la lettre E est codée par la lettre E et que la lettre J est

codée par la lettre N. Soit la fonction affinefdéfinie par :f(x)=ax+boùaetbsont des entiers naturels compris entre 0quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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