Notes du cours PO-13502 Cryptage RSA et tests de primalité 2013 PDF

c) Utilisez l'algorihtme etendu d'Euclid pour calculer la valeur d de la clé privée. 1.2. Chiffrement. Bob veut envoyer un message `a Alice. Il cherche dans l'

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Comment coder en RSA ?
Protocole RSA pour le codage
e × d + m × (p – 1)(q – 1) = 1 Pour ce faire, elle peut utiliser un algorithme de calcul très connu depuis l'Antiquité (vers 300 ans avant Jésus-Christ) appelé algorithme d'Euclide. Elle calcule également n = p × q.
Comment fonctionne l'algorithme RSA ?
Le cryptage RSA fonctionne en utilisant une paire de clés - clés publiques et privées - pour crypter et décrypter les données. La clé publique est utilisée pour chiffrer les données, tandis que la clé privée est utilisée pour déchiffrer les données.
Qui utilise le chiffrement RSA ?
Rivest Shamir Adleman, plus souvent RSA, est un cryptosystème à clé publique : il permet de chiffrer des messages en utilisant le principe de la clef publique, et est très utilisé dans le domaine du commerce électronique (cartes bancaires en particulier) et des communications militaires.
La difficulté calculatoire supposée de ce problème implique la sécurité sémantique du chiffrement RSA avec un remplissage adéquat (comme OAEP par exemple), puisque le chiffrement RSA tel qu'il est usuellement décrit est déterministe et ne peut donc pas être sémantiquement sûr.

Notes du cours PO-13502

Cryptage RSA et tests de primalite

2013-2014

B. Ischi

(MaTheX - http://www.mathex.net) Coll ege de Candolle

Table des matieres

Chapitre 1. Notions de base d'arithmetique

1. Theoreme fondamental de l'arithmetique

2. Theoreme de Bezout et algorithme d'Euclide

3. Congruences6

4. Fonction indicatrice d'Euler

5. Petit theoreme de Fermat

9 Chapitre 2. Le systeme cryptographique a clefs publiques RSA 11

1. Clefs RSA11

2. Le protocole RSA

3. Signature electronique

4. Attaquer RSA

5. Realisation concrete

Chapitre 3. Tests de primalite

1. Repartition des nombres premiers

2. Les tests de primalite deterministes

3. Tests de primalite probabilistes

4. Production de clefs RSA

Appendice A. Structures algebriques

1. Groupes53

2. Anneaux57

3. Divisibilite58

4. Corps58

CHAPITRE 1

Notions de base d'arithmetique

Dans ce qui suit,N=f0;1;2;3;gdesigne l'ensemble des nombres naturels etZl'ensemble des entiers relatifs. Par ailleurs, les lettresk,l,m,n,p,q,r,settdesignent des nombres entiers.

1. Theoreme fondamental de l'arithmetique

D efinition1.1.Un nombrep2Nest premier s'il possede exactement deux diviseurs. Th eoreme1.2.Tout entiern >1est le produit d'un nombre ni de nombres premiers. D emonstration.Procedons par recurrence surn. L'enonce est vrai pourn= 2. Supposons maintenant qu'il soit vrai pour tout nombren. Sin+ 1 est premier, la demonstration est terminee. Sinon, il existe deux nombresa6= 16=btels quen+ 1 =ab. Par hypothese de recurrence,aetbsont des produits nis de nombres premiers et par consequent,n+1 est egalement un produit ni de nombres premiers. Th eoreme1.3 (Euclide, IIIesiecle av. J.-C.).Il existe une innite de nombres premiers. D emonstration.Raisonnons par l'absurde: supposons qu'il existe un nombre ni de nom- bres premiers:p1;p2;;pk. Soitn=p1p2pk+ 1. En vertu du resultat qui precede,nest un produit ni de nombres premiers. Par consequent,pjjnpour un certainjentre 1 etk, ce qui est impossible car le reste de la division denparpjvaut 1. Lemme1.4 (Euclide).Si un nombre premierpdivise un produitmn, alors alorspdivisem oun. D emonstration.Suivant Gauss, raisonnons par l'absurde: supposons qu'il existe un nombre premierpet des nombresmetnnon divisibles parptels quepjmn. Pourpetmxes, soitn le plus petit nombre veriant ces hypotheses. Alorsn < p. En eet, si ce n'est pas le cas, par division euclidienne,n=qp+ravecr < pet commemn=mqp+mr, il suitpjmr. Commen < p, on trouve, par division euclidienne,p=kn+savec 0< s < ncarpest premier. Par consequent,ms=mpmknqui est divisible parpce qui n'est pas possible, puisque par hypothese,nest le plus petit nombre non divisible parptel quepjmn. Th eoreme1.5 (Theoreme fondamental de l'arithmetique).Tout nombre entiern >1se decompose en produit ni de nombres premiers n=pn11pn22pnkkoup1< p2<< pk et cette decomposition est unique. D emonstration.Par le theoreme qui precede, nous savons quense decompose en un produit ni de nombres premiers. Nous devons donc montrer que cette decomposition est unique. Nous pouvons proceder par recurrence surn. Pourn= 2, la decomposition est unique. Supposons que la decomposition soit unique pour tout nombren1 et que p n11pn22pnkk=n=qm11qm22qmj javecp1< p2<< pketq1< q2<< qj: 5 Theoreme de Bezout et algorithme d'Euclide (page 6/61) En vertu du lemme d'Euclide,p1divise un desqiet donc est egal a un desqi. Sii6= 1, alors p n11

1pn22pnkk=m=qm11qmi1

iqmj javecp1< p2<< pketq1< q2<< qj Commem < n, par hypothese de recurrence, la decomposition demest unique, et doncq1=p1= q i, une contradiction. Par consequent,p1=q1et p n11

1pn22pnkk=m=qm11

1qm22qmj

javecp1< p2<< pketq1< q2<< qj etm < n. Par hypothese de recurrence,k=j,p1=q1; p2=q2;;pk=qketn11 = m

11; n2=m2;;nk=mk, ce qui montre que la decomposition denest unique.

2. Theoreme de Bezout et algorithme d'Euclide

Th eoreme2.1 (Bezout).Soienta; b2Z. Alors, il existes; t2Ztels que pgcd(a;b) =as+bt D emonstration.Notonsd= pgcd(a;b). L'ensemble

H=aZ+bZ=n

am+bnm; n2Zo est clairement un ideal deZ. CommeZest un anneau principal,Hest principal. Par consequent, il existed02Ntel queH=d0Zet donc il existe des nombressetttels qued0=as+bt. Comme, par hypothese,ddiviseaetb, il suitddivised0. Par ailleurs,aetb2H, par consequentd0divise aetbet aussid0d= pgcd(a;b). On conclut qued=d0.

Algorithme d'Euclide etendu.

L'algorithme d'Euclide etendu permet de trouver rapidement les nombressett. On suppose quea > b.

Partie A: On denits

1= 1; t1= 0;

2= 0; t2= 1;

1=a; b1=b :

Ainsi,

1=s1a+t1b

1=s2a+t2b

De plus, on notea1=q1b1+r1,s=s1q1s2ett=t1q1t2. Par consequent, r

1=a1q1b1=sa+tb

Remarquons que,

pgcd(a;b) = pgcd(a1;b1) = pgcd(b1;r1) En eet, sikdivisea1etb1, alorskdiviser1=a1q1b1et sildiviser1=a1q1b1etb1, alorsl divise egalementa1.

Partie B: On pose

1=s2; t1=t2;

2=s; t2=t;

1=b1; b1=r1;

et on recommence l'etapeA. Theoreme de Bezout et algorithme d'Euclide (page 7/61) L'algorithme s'arr^ete quandr1= 0. A ce moment, pgcd(a;b) =b1ets=s2ett=t2.

Exemple2.2.Calculons de pgcd de 2322 et 654:

2322 = 12322+ 0654

654 = 02322+ 1654

360 = (1130)|{z}

=12322+ (1031)|{z} =3654 (2322 = 3654 + 360)

294 = (1011)|{z}

=12322+ (111(3))|{z} =4654 (654 = 1360 + 294)

66 = (111(1))|{z}

=22322+ (1(3)14)|{z} =7654 (360 = 1294 + 66)

30 = (1(1)42)|{z}

=92322+ (144(7))|{z} =32654 (294 = 466 + 30)

6 = (122(9))|{z}

=202322+ (1(7)232)|{z} =71654 (66 = 230 + 6)

0 = (30 = 56 + 0)

Par consequent, nous trouvons que

pgcd(2322;654) = 6 = 20232271654 Exemple2.3.La fonctionpgcd2du scriptPythondonne ci-dessous calcule le pgcd deaetba l'aide de l'algorithme d'Euclide etendu et donne deux entierssetttels que pgcd(a;b) =as+bt1d efpgcd2(a, b): 2s1=1 3t1=0 4s2=0 5t2=1

6a1=max(a, b)

7b1=min(a, b)

8r1=a1%b1

9 w hiler1>0:

10q1=a1//b1

11s=s1q1s2

12t=t1q1t2

13t1=t2

14s1=s2

15t2=t

16s2=s

17a1=b1

18b1=r1

19r1=a1%b1

20 i fa>=b: 21
r eturn[b 1, s 2, t 2] 22
e lse: 23
r eturn[b 1, t 2, s 2]

24a=input( "a=?")

25b=input( "b=?")

26
p rintpgcd2(a, b)L'execution du script donne, par exemple:

Congruences(page 8/61)python exemple.py

a=?2322 b=?654 [6, 20, -71]

Complexite de l'algorithme d'Euclide etendu.

La suite des nombres \a gauche" esta1,b1,r1,r2,,rn= 0, ounest le nombre de lignes. On peut la renumeroter comme suit:R0=rn,R1=rn1,,Rn3=r1,Rn2=b1etRn1=a1.

On constate que

R kRk1+Rk2doncRkFkpgcd(a;b) ouFkest lekemeterme de la suite de Fibonacci:

0;1;1;2;3;5;8;; Fk=Fk1+Fk2

Rappelons maintenant quelques resultats bien connus concernant la suite de Fibonacci. On cherchextel queFk=xketFk+2=Fk+1+Fk, c'est-a-direxk+2=xk+1+xk. En divisant parxk, on trouvex2=x+ 1, oux2x1 = 0, c'est-a-dire x=':=1 +p5 2 (le nombre d'or) oux=1' =1p5 2

On pose

F k='k+1' k

Alors,

(k= 0)+= 0 k= 1)'' = 1) '+1' = 1

2+ 1=''+ 2=1 +p5

5 + p5 =1 +p5p5( p5 + 1) =1p5 )=1p5 De plus, asymptotiquement, la suite de Fibonacci est une suite geometrique: lim k!1Fk'k= 0 Par consequent, le nombre de lignes de l'algorithme d'Euclide etendu est proportionnel a log(max(a;b)).

3. Congruences

D efinition3.1.Soienta,betndes nombres entiers avecn >1. On dit queaest congru abmodulonsindivise a-b. On note ab(modn) Remarque3.2.La relation de congruence dansZest une relation d'equivalence compatiblequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] Notes du cours PO-13502 Cryptage RSA et tests de primalité 2013

Comment coder en RSA ?

Comment fonctionne l'algorithme RSA ?

Qui utilise le chiffrement RSA ?

Notes du cours PO-13502

Cryptage RSA et tests de primalite

2013-2014

B. Ischi

Table des matieres

Chapitre 1. Notions de base d'arithmetique

1. Theoreme fondamental de l'arithmetique

2. Theoreme de Bezout et algorithme d'Euclide

3. Congruences6

4. Fonction indicatrice d'Euler

5. Petit theoreme de Fermat

1. Clefs RSA11

2. Le protocole RSA

3. Signature electronique

4. Attaquer RSA

5. Realisation concrete

Chapitre 3. Tests de primalite

1. Repartition des nombres premiers

2. Les tests de primalite deterministes

3. Tests de primalite probabilistes

4. Production de clefs RSA

Appendice A. Structures algebriques

1. Groupes53

2. Anneaux57

3. Divisibilite58

4. Corps58

CHAPITRE 1

Notions de base d'arithmetique

1. Theoreme fondamental de l'arithmetique

1pn22pnkk=m=qm11qmi1

1pn22pnkk=m=qm11

1qm22qmj

11; n2=m2;;nk=mk, ce qui montre que la decomposition denest unique.

2. Theoreme de Bezout et algorithme d'Euclide

H=aZ+bZ=n

Algorithme d'Euclide etendu.

Partie A: On denits

1= 1; t1= 0;

2= 0; t2= 1;

1=a; b1=b :

Ainsi,

1=s1a+t1b

1=s2a+t2b

1=a1q1b1=sa+tb

Remarquons que,

Partie B: On pose

1=s2; t1=t2;

2=s; t2=t;

1=b1; b1=r1;

Exemple2.2.Calculons de pgcd de 2322 et 654:

2322 = 12322+ 0654

654 = 02322+ 1654

360 = (1130)|{z}

294 = (1011)|{z}

66 = (111(1))|{z}

30 = (1(1)42)|{z}

6 = (122(9))|{z}

0 = (30 = 56 + 0)

Par consequent, nous trouvons que

6a1=max(a, b)

7b1=min(a, b)

8r1=a1%b1

10q1=a1//b1

11s=s1q1s2

12t=t1q1t2

13t1=t2

14s1=s2

15t2=t

16s2=s

17a1=b1

18b1=r1

19r1=a1%b1

24a=input( "a=?")

25b=input( "b=?")

Congruences(page 8/61)python exemple.py

Complexite de l'algorithme d'Euclide etendu.