Système El Gamal PDF de cryptographie asymétrique. Il

ALGORITHMES DE CRYPTOGRAPHIE

Algorithmes de substitution ou chiffrement simple Algorithmes asymétriques ou à clef publique ... Exemples d'algorithmes de chiffrement simples.

Système El Gamal

de cryptographie asymétrique. Il est certes système de chiffrement à clé publique. ... Exemple: Un chiffrement El Gamal. On reprend la clé publique:.

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Système El Gamal

Nousallonsdanscettepartieprésenterle

moinspuissantqueleR.S.A.maisson fonctionnementestplusrapide,cequilui confèreuncertainintérêt.

Objectif

Le but principal est donc le même que celui de la première partie, à savoir implémenter un système de chiffrement à clé publique. L'algorithme décrit dans la suite est l'oeuvrede TaherEl gamal(1985-). Il est en particulier utilisé dans certains logiciels libres de messagerie. Nous ne présenterons qu'une version particulière de ce système, basée sur l'unique utilisation des nombres entiers. Il en existe une version plus générale, reposant sur la notion de groupe cyclique.

Algorithme:

Génération des clés

La construction des deux clés repose comme

pour le R.S.A.sur le concept de nombre premier

Clés du système El Gamal

On commence par choisir un nombre premier p.

On choisit ensuite deux entiers s et a tels que:

0 ч sч pо2 et 0 ч a ч pо1.

On pose alors P ൙ as[p] .

La clé publique sera le triplet (p, a, P)

et la clé secrète sera l'entier s.

Exemple:Des clés pour le système El

Gamal

Soit p=661.

Choisissons s=7 et a=23.

On a alors:

P ൙ as΀p΁ ൙ 237΀661΁ ൙566 ΀661΁

Dans cet exemple:

la clé publiqueest donc le triplet: (661,23,566) et la clé secrète l'entier 7 .

Chiffrement

unesuitedechiffres. publiquedudestinataire.

Formule de chiffrement El Gamal

Soit (p, a, P) une clé publique.

On commence par choisir un entier k aléatoirement tel que 0 ч k ч pо1 .

Un bloc de chiffres xdu message d'origine tel que x < p sera alors chiffré par un couple de blocs de chiffres (C1,C2) vérifiant:

C1൙ ak[p] et C2൙ xPk [p]

Le message chiffré sera donc une suite de couples de blocs de chiffres (C1, C2).

Exemple: Un chiffrement El Gamal

On reprend la clé publique:

(p,a,P) = (661,23,566).

Cherchons à chiffrer "supinfo".

On convertit ce message en une suite de chiffres

M = 19 21 16 09 14 06 15

La valeur numérique de chacun des blocs devant

être inférieure à p = 661, on peut donc faire des blocs de trois chiffres

Exemple (suite 1)

192 116 091 406 150

NB:On a rajouté un 0 à la fin pour que le dernier bloc soit aussi de trois chiffres.

On choisit aléatoirement l'entier k=13 .

Le premier bloc x = 192 est alors chiffré en

C1൙ ak[p] ൙ 2313൙ 105 ΀661΁

Et C2൙ xPk [p] ൙ 192×56613൙ 237΀661΁

Exemple (suite 2)

On procède de même pour les autres blocs, et l'on obtient: NB:

Déchiffrement

L'utilisation de sa clé secrèteva permettre au destinataire d'un message de le déchiffrer.

Formule de déchiffrement El Gamal

Soit (p, a, P) une clé publique et s la clé

secrète correspondante.

Un couple de blocs de chiffres (C1,C2) du

message chiffré correspondra au bloc de chiffres x du message d'origine vérifiant

ǆ ൙ C1(p-1-s)C2[p] .

Déchiffrement (Suite)

On calcule R

R1= C1s modulo (p) = askmodulo (p) = Pk modulo (p)

Puis on retrouve x:

x = C2 . R1-1 modulo (p) = x PkP-kmodulo (p) NB: Une fois la suite de chiffres initiale reconstituée, il ne

Démonstration de la formule de

déchiffrement

Le but est de montrer que si l'on applique la

formule de déchiffrement à un couple (C1,C2) de la forme: C1൙ ak[p] et C2൙ ǆ Pk[p] alors le résultat est x.

Par construction de la clé on a également

P ൙ as[p] .

Sil'onremplaceC1,C2etndanslaformulede

déchiffrementparlesexpressions précédentes,onobtient:

Démonstration (Suite)

x = C1(p-1-s) C2 [p] x = (ak) (p-1-s).x Pk [p]

X = (ak) (p-1-s). X as k [p]

X = (a-k s) (as k ) .X = x [p]

Or, d'après le petit théorème de Fermat, a(p-1)൙ 1 ΀ p ΁ . Donc ak(p-1)൙ 1 ΀ p ΁ , et par suite ak(p-1). ǆ ൙ ǆ ΀ p ΁ .

Exemple: Un déchiffrement El Gamal

Rappelons que la clé publique était le triplet ( p , a , P ) = ( 661 , 23 , 566 ) et la clé secrète l'entier s = 7 .

Déchiffrons donc le message

( 105 , 237 ) ( 105 , 515 ) ( 105 , 102 ) ( 105 ,

150 ) ( 105 , 495 )

Suite Déchiffrement

Le premier couple de blocs:

( c 1 , c 2 ) = ( 105 , 237 ) est alors déchiffré en: ǆ ൙ 105(661-1-7) ×237 ൙ 192 ΀ 661 ΁ . Ce qui était bien le début de notre message. Il ne resterait plus qu'à faire de même pour les autres blocs.

Remarque

Comme pour le R.S.A., la sécurité du système El Gamal repose sur la difficulté de calculer la clé secrète s alors que l'on connait la clé publique ( p , a , P ) . Cette opération revient en effet à retrouver la valeur de s à partir de celle de P ൙ asp ] . Ce problème, connu sous le nom de calcul du logarithme discret, est certes ré solvable mais en un temps relativement long. A l'heure actuelle, il n'existe par exemple pas d'algorithme à complexité polynomialeeffectuant cette tâche.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] Système El Gamal de cryptographie asymétrique. Il

Système El Gamal

Nousallonsdanscettepartieprésenterle

Objectif

Algorithme:

Génération des clés

La construction des deux clés repose comme

Clés du système El Gamal

On commence par choisir un nombre premier p.

On choisit ensuite deux entiers s et a tels que:

0 ч sч pо2 et 0 ч a ч pо1.

On pose alors P ൙ as[p] .

La clé publique sera le triplet (p, a, P)

Exemple:Des clés pour le système El

Soit p=661.

Choisissons s=7 et a=23.

On a alors:

Dans cet exemple:

Chiffrement

Formule de chiffrement El Gamal

Soit (p, a, P) une clé publique.

C1൙ ak[p] et C2൙ xPk [p]

Exemple: Un chiffrement El Gamal

On reprend la clé publique:

Cherchons à chiffrer "supinfo".

On convertit ce message en une suite de chiffres

M = 19 21 16 09 14 06 15

La valeur numérique de chacun des blocs devant

Exemple (suite 1)

192 116 091 406 150

On choisit aléatoirement l'entier k=13 .

Le premier bloc x = 192 est alors chiffré en

C1൙ ak[p] ൙ 2313൙ 105 ΀661΁

Exemple (suite 2)

Déchiffrement

Formule de déchiffrement El Gamal

Soit (p, a, P) une clé publique et s la clé

Un couple de blocs de chiffres (C1,C2) du

ǆ ൙ C1(p-1-s)C2[p] .

Déchiffrement (Suite)

On calcule R

Puis on retrouve x:

Démonstration de la formule de

Le but est de montrer que si l'on applique la

Par construction de la clé on a également

P ൙ as[p] .

Sil'onremplaceC1,C2etndanslaformulede

Démonstration (Suite)

X = (ak) (p-1-s). X as k [p]

X = (a-k s) (as k ) .X = x [p]

Exemple: Un déchiffrement El Gamal

Déchiffrons donc le message

150 ) ( 105 , 495 )

Suite Déchiffrement

Le premier couple de blocs:

Remarque