[PDF] Exo7 Arithmétique : en route pour la cryptographie Un MOOC

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Exo7 ?? ????I Le cours du MOOC3

1 Arithmétique4

1 Division euclidienne et pgcd

5

2 Théorème de Bézout

7

3 Nombres premiers

10

4 Congruences

13

2 Cryptographie17

1 Le chiffrement de César

17

2 Le chiffrement de Vigenère

22

3 La machine Enigma et les clés secrètes

25

4 La cryptographie à clé publique

30

5 L"arithmétique pour RSA

34

6 Le chiffrement RSA

37

3 Algorithmes et mathématiques43

1 Premiers pas avec??????. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

2 Écriture des entiers

47

3 Calculs de sinus, cosinus, tangente

53

4 Les réels

56

5 Arithmétique - Algorithmes récursifs

61

6 Polynômes - Complexité d"un algorithme

65

II Les rappels de cours

70

4 Logique et raisonnements71

1 Logique

72

2 Raisonnements

76

5 Ensembles et applications79

1 Ensembles

80

2 Applications

83

3 Injection, surjection, bijection

85

4 Ensembles finis

87

5 Relation d"équivalence

93

III Les exercices97Cours et exercices de maths

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2

Première partie

Le cours du MOOC

3

1 Division euclidienne et pgcd

5

1.1 Divisibilité et division euclidienne

5

1.2 pgcd de deux entiers

6

1.3 Algorithme d"Euclide

6

1.4 Nombres premiers entre eux

7

1.5 Mini-exercices

7

2 Théorème de Bézout

7

2.1 Théorème de Bézout

7

2.2 Corollaires du théorème de Bézout

8

2.3 ÉquationsaxÅbyAEc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2.4 ppcm

9

2.5 Mini-exercices

10

3 Nombres premiers

10

3.1 Une infinité de nombres premiers

1 0

3.2 Eratosthène et Euclide

11

3.3 Décomposition en facteurs premiers

11

3.4 Mini-exercices

12

4 Congruences

13

4.1 Définition

13

4.2 Équation de congruenceax´b(modn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Petit théorème de Fermat

15

4.4 Mini-exercices

16

Préambule

Une motivation : l"arithmétique est au coeur du cryptage des communication. Pour crypter un message

on commence par le transformer en un -ou plusieurs- nombres. Le processus de codage et décodage fait

appel à plusieurs notions de ce chapitre : -On choisit deuxnombres premierspetqque l"on garde secrets et on posenAEp£q. Le principe

étant que même connaissantnil est très difficile de retrouverpetq(qui sont des nombres ayant des

centaines de chiffres).

-La clé secrète et la clé publique se calculent à l"aide de l"algorithme d"Euclideet descoefficients

de Bézout. -Les calculs de cryptage se ferontmodulon. -Le décodage fonctionne grâce à une variante dupetit théorème de Fermat. 4

1Division euclidienne et pgcd

1.1

Divisibilité et division euclidienne

Définition 1.Soienta,b2Z. On dit quebdiviseaet on notebjas"il existeq2Ztel que aAEbq.

Exemple 1.

- 7j21; 6j48;aest pair si et seulement si 2ja. -Pour touta2Zon aaj0 et aussi 1ja. -Siaj1 alorsaAEÅ1 ouaAE¡1. -(ajbetbja)AE)bAE§a. -(ajbetbjc)AE)ajc. -(ajbetajc)AE)ajbÅc.

Théorème 1 (Division euclidienne).

Soita2Zetb2N\{0}. Ilexistedes entiersq,r2Ztels que aAEbqÅret 0ÉrÇbDe plusqetrsontuniques. Nous avons donc l"équivalence :rAE0 si et seulement sibdivisea. Exemple 2.Pour calculerqetron pose la division "classique». SiaAE6789 etbAE34 alors

6789AE34£199Å23

On a bien 0É23Ç34 (sinon c"est que l"on n"a pas été assez loin dans les calculs).678934 19934

338306

329
306

23dividendediviseur

quotient reste

Démonstration.Existence.On peut supposeraÊ0 pour simplifier. SoitNAE©n2NjbnÉaª. C"est un

ensemble non vide carnAE02N. De plus pourn2N, on anÉa. Il y a donc un nombre fini d"éléments

dansN, notonsqAEmaxNle plus grand élément. AlorsqbÉacarq2N, et (qÅ1)bÈacarqÅ1ÝNdonc qbÉaÇ(qÅ1)bAEqbÅb. On définit alorsrAEa¡qb,rvérifie alors 0ÉrAEa¡qbÇb.

Unicité.Supposons queq0,r0soient deux entiers qui vérifient les conditions du théorème. Tout d"abord

aAEbqÅrAEbq0År0et doncb(q¡q0)AEr0¡r. D"autre part 0Ér0Çbet 0ÉrÇbdonc¡bÇr0¡rÇb(notez

au passage la manipulation des inégalités). Maisr0¡rAEb(q¡q0) donc on obtient¡bÇb(q¡q0)Çb.

On peut diviser parbÈ0 pour avoir¡1Çq¡q0Ç1. Commeq¡q0est un entier, la seule possibilité est

q¡q0AE0 et doncqAEq0. Repartant der0¡rAEb(q¡q0) on obtient maintenantrAEr0.5

1.2pgcd de deux entiers

Définition 2.Soienta,b2Zdeux entiers, non tous les deux nuls. Le plus grand entier qui divise à la

foisaetbs"appelle leplus grand diviseur commundea,bet se note pgcd(a,b).

Exemple 3.

- pgcd(21,14)AE7, pgcd(12,32)AE4, pgcd(21,26)AE1. -pgcd(a,ka)AEa, pour toutk2ZetaÊ0. -Cas particuliers. Pour toutaÊ0 : pgcd(a,0)AEaet pgcd(a,1)AE1. 1.3

Algorithme d"Euclide

pgcd(a,b)AEpgcd(b,r)En fait on a même pgcd(a,b)AEpgcd(b,a¡qb) pour toutq2Z. Mais pour optimiser l"algorithme d"Euclide

on applique le lemme avecqle quotient. Démonstration.Nous allons montrer que les diviseurs deaet debsont exactement les mêmes que les

diviseurs debetr. Cela impliquera le résultat car les plus grands diviseurs seront bien sûr les mêmes.

-Soitdun diviseur deaet deb. Alorsddivisebdonc aussibq, en plusddiviseadoncddivise bq¡aAEr. -Soitdun diviseur debet der. Alorsddivise aussibqÅrAEa.Algorithme d"Euclide. successives. Le pgcd sera le dernier reste non nul. -division deaparb,aAEbq1År1. Par le lemme1 , pgcd(a,b)AEpgcd(b,r1) et sir1AE0 alors pgcd(a,b)AEb sinon on continue : -bAEr1q2År2, pgcd(a,b)AEpgcd(b,r1)AEpgcd(r1,r2), -r1AEr2q3År3, pgcd(a,b)AEpgcd(r2,r3), -rk¡2AErk¡1qkÅrk, pgcd(a,b)AEpgcd(rk¡1,rk), -rk¡1AErkqkÅ0. pgcd(a,b)AEpgcd(rk,0)AErk.

Comme à chaque étape le reste est plus petit que le quotient on sait que 0ÉriÅ1Çri. Ainsi l"algo-

rithme se termine car nous sommes sûr d"obtenir un reste nul, les restes formant une suite décroissante

d"entiers positifs ou nuls :bÈr1Èr2È...Ê0

Exemple 4.Calculons le pgcd deaAE600 etbAE124.

20AE4£5Å0

Ainsi pgcd(600,124)AE4.Voici un exemple plus compliqué :

Exemple 5.Calculons pgcd(9945,3003).

9945AE3003£3Å936

3003AE936£3Å195

936AE195£4Å156

195AE156£1Å39

156AE39£4Å0

Ainsi pgcd(9945,3003)AE39.

6

1.4Nombres premiers entre eux

Définition 3.Deux entiersa,bsontpremiers entre euxsi pgcd(a,b)AE1. Exemple 6.Pour touta2Z,aetaÅ1 sont premiers entre eux. En effet soitdun diviseur commun à

aet àaÅ1. Alorsddivise aussiaÅ1¡a. Doncddivise 1 mais alorsdAE ¡1 oudAE Å1. Le plus grand

diviseur deaetaÅ1 est donc 1. Et donc pgcd(a,aÅ1)AE1. Si deux entiers ne sont pas premiers entre eux, on peut s"y ramener en divisant par leur pgcd : Exemple 7.Pour deux entiers quelconquesa,b2Z, notonsdAEpgcd(a,b). La décomposition suivante est souvent utile :

½aAEa0d

bAEb0daveca0,b02Zet pgcd(a0,b0)AE11.5Mini-exercices 1. Écrire la division euc lidiennede 111 111par 20 xx, où 20xxest l"année en cours. 2. Montrer qu"un diviseur positif de 10 008et de 10 014apparti entnécessairement à {1,2,3,6}. 3. Calculer pgcd(560 ,133), pgcd(12121,789), pgcd(99999,1110). 4.

Trouver tous les entiers 1 ÉaÉ50 tels queaet 50 soient premiers entre eux. Même question avec

52.
2

Théorème de Bézout

2.1

Théorème de Bézout

Théorème 2 (Théorème de Bézout).

Soienta,bdes entiers. Il existe des entiersu,v2Ztels que

auÅbvAEpgcd(a,b)La preuve découle de l"algorithme d"Euclide. Les entiersu,vne sont pas uniques. Les entiersu,vsont

descoefficients de Bézout. Ils s"obtiennent en "remontant» l"algorithme d"Euclide. Exemple 8.Calculons les coefficients de Bézout pouraAE600 etbAE124. Nous reprenons les calculs

effectués pour trouver pgcd(600,124)AE4. La partie gauche est l"algorithme d"Euclide. La partie droite

s"obtient debas en haut. On exprime le pgcd à l"aide de la dernière ligne où le reste est non nul. Puis on

remplace le reste de la ligne précédente, et ainsi de suite jusqu"à arriver à la première ligne.

600AE124£4Å104124AE104£1Å20

4AE104¡(124¡104£1)£5AE124£(¡5)Å104£64AE104¡20£5Ainsi pouruAE6 etvAE¡29 alors 600£6Å124£(¡29)AE4.

Remarque.

- Soignez vos calculs et leur présentation. C"est un algorithme : vous devez aboutir au bon

résultat! Dans la partie droite, il faut à chaque ligne bien la reformater. Par exemple 104¡(124¡

104£1)£5 se réécrit en 124£(¡5)Å104£6 afin de pouvoir remplacer ensuite 104.

-N"oubliez de vérifier vos calculs! C"est rapide et vous serez certain que vos calculs sont exacts. Ici on

vérifie à la fin que 600£6Å124£(¡29)AE4. 7 Exemple 9.Calculons les coefficients de Bézout correspondant à pgcd(9945,3003)AE39.

936AE195£4Å156

39AE ¢¢¢

39AE ¢¢¢39AE195¡156£1À vous de finir les calculs. On obtient 9945£(¡16)Å3003£53AE39.

2.2

Corollaires du théorème de Bézout

Corollaire 1.Sidjaetdjbalorsdjpgcd(a,b).

Exemple : 4j16 et 4j24 donc 4 doit divisé pgcd(16,24) qui effectivement vaut 8.

Démonstration.CommedjauetdjbvdoncdjauÅbv. Par le théorème de Bézoutdjpgcd(a,b).Corollaire 2.Soienta,bdeux entiers.a,bsont premiers entre euxsi et seulement siil existeu,v2Z

tels que auÅbvAE1Démonstration.Le sens)est une conséquence du théorème de Bézout. Pour le sens(on suppose qu"il existeu,vtels queauÅbvAE1. Comme pgcd(a,b)jaalors pgcd(a,b)jau.

De même pgcd(a,b)jbv. Donc pgcd(a,b)jauÅbvAE1. Donc pgcd(a,b)AE1.Remarque.Si on trouve deux entiersu0,v0tels queau0Åbv0AEd, cela n"impliquepasquedAEpgcd(a,b).

On sait seulement alors que pgcd(a,b)jd. Par exempleaAE12,bAE8; 12£1Å8£3AE36 et pgcd(a,b)AE4.

Corollaire 3 (Lemme de Gauss).Soienta,b,c2Z.

Siajbcet pgcd(a,b)AE1 alorsajcExemple : si 4j7£c, et comme 4 et 7 sont premiers entre eux, alors 4jc.

Démonstration.Comme pgcd(a,b)AE1 alors il existeu,v2Ztels queauÅbvAE1. On multiplie cette

égalité parcpour obteniracuÅbcvAEc. Maisajacuet par hypothèseajbcvdoncadiviseacuÅbcvAE

c.2.3Équations axÅbyAEc

Proposition 1.

Considérons l"équation

axÅbyAEc(E) oùa,b,c2Z. 1.

L "équation(

E ) possède des solutions (x,y)2Z2si et seulement si pgcd(a,b)jc. 2.

Si pgcd( a,b)jcalors il existe même une infinité de solutions entières et elles sont exactement les

(x,y)AE(x0Å®k,y0ůk) avecx0,y0,®,¯2Zfixés etkparcourantZ.

Le premier point est une conséquence du théorème de Bézout. Nous allons voir sur un exemple comment

prouver le second point et calculer explicitement les solutions. Il est bon de refaire toutes les étapes de

la démonstration à chaque fois.

Exemple 10.Trouver les solutions entières de

161xÅ368yAE115 (E)

8 -Première étape. Y a-t"il de solutions ?L "algorithmed"Euclide. On effectue l"algorithme d"Eu- clide pour calculer le pgcd deaAE161 etbAE368.

368AE161£2Å46

161AE46£3Å23

46AE23£2Å0

Donc pgcd(368,161)AE23. Comme 115AE5£23 alors pgcd(368,161)j115. Par le théorème de Bézout,

l"équation ( E ) admet des solutions entières.

Deuxième étape. T rouverune solution particulière : la remontée de l"algorithme d"Euclide.

On effectue la remontée de l"algorithme d"Euclide pour calculer les coefficients de Bézout.

368AE161£2Å46

161AE46£3Å23

23AE161¡3£46

On trouve donc 161£7Å368£(¡3)AE23. Comme 115AE5£23 en multipliant par 5 on obtient :

161£35Å368£(¡15)AE115

Ainsi (x0,y0)AE(35,¡15) est unesolution particulièrede (E). T roisièmeétape. Recherche de toutes les solutions. Soit (x,y)2Z2une solution de (E). Nous savons que (x0,y0) est aussi solution. Ainsi :

161xÅ368yAE115 et 161x0Å368y0AE115

(on n"a aucun intérêt à remplacerx0ety0par leurs valeurs). La différence de ces deux égalités conduit

161£(x¡x0)Å368£(y¡y0)AE0

Nous avons simplifier par 23 qui est le pgcd de 161 et 368. (Attention, n"oubliez surtout pas cette simplification, sinon la suite du raisonnement serait fausse.) Ainsi 7j16(y¡y0), or pgcd(7,16)AE1 donc par le lemme de Gauss 7jy¡y0. Il existe donck2Ztel que

¡16£7£k. D"oùx¡x0AE ¡16k. (C"est le mêmekpourxet poury.) Nous avons donc (x,y)AE(x0¡

16k,y0Å7k). Il n"est pas dur de voir que tout couple de cette forme est solution de l"équation (E). Il

reste donc juste à substituer (x0,y0) par sa valeur et nous obtenons :

Les solutions entières de 161xÅ368yAE115 sont les (x,y)AE(35¡16k,¡15Å7k),kparcourantZ.Pour se rassurer, prenez une valeur dekau hasard et vérifiez que vous obtenez bien une solution de

l"équation. 2.4 ppcm

Définition 4.Le ppcm(a,b) (plus petit multiple commun) est le plus petit entierÊ0 divisible para

et parb.

Par exemple ppcm(12,9)AE36.

Le pgcd et le ppcm sont liés par la formule suivante :

Proposition 2.

Sia,bsont des entiers (non tous les deux nuls) alors 9

pgcd(a,b)£ppcm(a,b)AEjabjDémonstration.PosonsdAEpgcd(a,b) etmAEjabjpgcd(a,b). Pour simplifier on supposeaÈ0 etbÈ0. On écrit

aAEda0etbAEdb0. AlorsabAEd2a0b0et doncmAEda0b0. AinsimAEab0AEa0best un multiple deaet deb.

Il reste à montrer que c"est le plus petit multiple. Sinest un autre multiple deaet debalorsnAEkaAE`b

donckda0AE`db0etka0AE`b0. Or pgcd(a0,b0)AE1 eta0j`b0donca0j`. Donca0bj`bet ainsimAEa0bj`bAE

n.Voici un autre résultat concernant le ppcm qui se démontre en utilisant la décomposition en facteurs

premiers :

Proposition 3.

Siajcetbjcalors ppcm(a,b)jc.

Il serait faux de penser queabjc. Par exemple 6j36, 9j36 mais 6£9 ne divise pas 36. Par contre ppcm(6,9)AE18 divise bien 36. 2.5

Mini-exercices

1. Calculer les coeffici entsde Bézout correspondant à pgcd(560 ,133), pgcd(12121,789). 2. Montrer à l"aide d" uncorollaire du théorème de Bézout que pgcd( a,aÅ1)AE1. 3. Résoudre les équatio ns: 407 xÅ129yAE1; 720xÅ54yAE6; 216xÅ92yAE8. 4. Trouver les couples ( a,b) vérifiant pgcd(a,b)AE12 et ppcm(a,b)AE360. 3

Nombres premiers

Les nombres premiers sont -en quelque sorte- les briques élémentaires des entiers : tout entier s"écrit

comme produit de nombres premiers. 3.1

Une infinité de nombres premiers

Définition 5.Unnombre premierpest un entierÊ2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 etp. Exemples : 2,3,5,7,11 sont premiers, 4AE2£2, 6AE2£3, 8AE2£4 ne sont pas premiers. Lemme 2.Tout entiernÊ2 admet un diviseur qui est un nombre premier. Démonstration.SoitDl"ensemble des diviseurs denqui sontÊ2 :quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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