CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
D'après l'étude réalisée ci-avant on sait que donc la décomposition de Jordan ne comportera qu'un seul bloc et comme.
Algèbre 3.pdf
Mar 9 2019 ... jordanisation des endomorphismes». ⊳ Camille Jordan
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
Mini-exercices. 1. La matrice A = 28 −27. 12 −8 est-elle trigonalisable sur ? Si oui
Exercices corrigés
NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durant les séances de cours. Exercice 13 On dispose d'un ensemble de n + 1 points (xiyi)
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 6. Soit P(X) un polynôme de C[X] soit A une matrice de Mn(C). On note B la matrice : B = P(A) ∈ Mn(C). 1. Démontrer que six est un vecteur propre de
Partiel Corrigé
Nov 7 2015 ii) trigonalisable dans R ? iii) diagonalisable dans C ? (Justifier les réponses). Correction: (exercice I) 1) Le polynome caractéristique vaut ...
1 Exercices.
Mat234 – Fiche 2 d'alg`ebre (quelques corrigés). Corrigé exercice 4. • Commençons par répondre `a la question 3. Le déterminant est nul si deux vecteurs sont
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
May 22 2014 Propositions : Soit E un K-ev de dimension finie n. 1) Tout sev F admet au moins un sous-espace supplémentaire
Feuille de TD 4 : Exponentielle de matrices Corrigé
Corrigé. Exercice 1 Les deux questions suivantes sont indépendantes. 1. Soit K un corps commutatif et soit n ∈ N {0}. Montrer que GLn(K) est dense dans. Mn
Exercices pour le 26 Mars Exercice 1
Université Claude Bernard Lyon 1. 2007-2008. L2 MASS41 Algèbre. Exercices pour le 26 Mars. Corrigé. Exercice 1. Soit A la matrice de M4(R) suivante :.
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Exercice 1. 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans. on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.
Exercices de mathématiques - Exo7
Expliquer sans calcul pourquoi la matrice. A n'est pas diagonalisable. Correction ?. [002583]. Exercice 7. Soit A une matrice 2×2 à coefficients
Feuille de TD No. 4 Décompositions de Dunford et Jordan 1
Exercice 1 : Calculer la décomposition de Dunford des matrices suivantes (a L'opérateur diagonalisable qui « corrige » A est d valant Id sur E(1)(A) et ...
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
Mini-exercices. 1. La matrice A = 28 ?27. 12 ?8 est-elle trigonalisable sur ? Si oui trouver P telle que P?1AP soit triangulaire supérieure.
TABLE DES MATIÈRES
1.7 Solutions des exercices . 5.5 Jordanisation d'un endomorphisme nilpotent . ... 5.7.2 Technique de jordanisation en petites dimensions . . . . 247.
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
opérations qui doivent être effectuées entres ces valeurs pour obtenir le déterminant : det 0 4 2 6. 10- Exercice. Calculer le déterminant des matrices
TD11 : De la Jordanisation des matrices
Exercice 1 (dimension 2). Soit M = (. 0 1. ?1 2 ) . Déterminer son polynome caractéristique et son polynome minimal. En déduire sa forme de Jordan et
Exercices corrigés dalgèbre linéaire 2 Réduction des
Diagonalisation. 6. Endomorphismes nilpotents. 7. Trigonalisation et jordanisation. 8. Exponentielles de matrices. 9. Topologie matricielle.
L2 MASS41 Algèbre
0 BB@¡2¡1 1 2
1¡4 1 2
0 0¡5 4
0 0¡1¡11
C CAA(¸) = det(A¡¸I4) =¯
¯¯¯¯¯¯¯¡2¡¸¡1 1 21¡4¡¸1 2
0 0¡5¡¸4
0 0¡1¡1¡¸¯
= (¡3¡¸)¯¯¯¯¯¯¯¯1¡1 1 2
1¡4¡¸1 2
0 0¡5¡¸4
0 0¡1¡1¡¸¯
= (¡3¡¸)¯¯¯¯¯¯¯¯1¡1 1 2
0¡3¡¸0 0
0 0¡5¡¸4
0 0¡1¡1¡¸¯
= (¡3¡¸)2¯¯¯¯¡5¡¸4¡1¡1¡¸¯
= (¡3¡¸)2[(¡5¡¸)(¡1¡¸) + 4] = (¡3¡¸)2(3 +¸)2A(¸) = (3 +¸)4
Par l'absurde.
9P2GL4(R)= PAP¡1=0
BB@¡3 0
¡3 ¡30¡31
C CA ??????? ?¡3?SoitX=0
B B@x y z t1 CCA2R4?
X2???(A+ 3I4)()AX=¡3X()0
BB@¡2¡1 1 2
1¡4 1 2
0 0¡5 4
0 0¡1¡11
C CA0 B B@x y z t1 C CA=0 BB@¡3x
¡3y
¡3z
¡3t1
C CA 8 >:x¡y+z+ 2t= 0 x¡y+z+ 2t= 0¡2z+ 4t= 0
¡z+ 2t= 0
()8 >:x=y¡4t y=y z= 2t t=t ???? ?? ? ???(A+3I4) =V ect0 B B@0 B B@1 1 0 01 C CA;0 BB@¡4
0 2 11 C CA1 C ?? ????M=A+ 3I? M=0 BB@1¡1 1 2
1¡1 1 2
0 0¡2 4
0 0¡1 21
C CA ?? ?rg(M) = 2???C2=¡C1??C4=¡2C3+ 4C1?Donc d'après le théorème du rang, on a
dim???(M) = 2 M 2=0 BB@0 0¡4 8
0 0¡4 8
0 0 0 0
0 0 0 01
C CA dim???(M2) = 3 M 3= 0 associés à la valeur propre 3 (car dim???(M) = 2?? ?? ?? ???? ??? ?? ???? ????? ??? ????? ??? ?? ??????3 ???M3= 0? On sait donc que, dans une base de Jordan, la matrice réduite de Jordan sera de la forme : J=0 BB@¡3 0 0 0
0¡3 1 0
0 0¡3 1
0 0 0¡31
C CA ?? ??????? ???? ?? ???????v32???(M3)n???(M2)? v 3=0 B B@0 0 1 01 C CA v2=Mv3=0
BB@1¡1 1 2
1¡1 1 2
0 0¡2 4
0 0¡1 21
C CA0 B B@0 0 1 01 C CA=0 B B@1 1 ¡2 11 C CA v1=Mv2=0
BB@1¡1 1 2
1¡1 1 2
0 0¡2 4
0 0¡1 21
C CA0 B B@1 1 ¡2¡11
C CA=0 BB@¡4
¡4 0 01 C CA ?? ???? ?????? ?? ???????u??? ???? ???? ???(M)nV ect(v1)? u=0 BB@¡4
0 2 11 C CA P=0 BB@¡4¡4 1 0
0¡4 1 0
2 0¡2 1
1 0¡1 01
C CAA(X) = (¡1)n(X¡¸1)m1:::(X¡¸k)mk
A(X) = (X¡¸1)n1:::(X¡¸k)nk
?? ???? ????i?ni??????? ?? ?????? ?? ???? ????? ???? ?? ?????? ??????? ? ?? ?????? ??????¸i?Ici : il n'y a qu'une valeur propre :
??????? ??A??? ?A(X) = (X+ 3)3
(A+ 3I)3= 0 A3+ 9A2+ 27A+ 27I= 0
A¡A2+ 9A+ 27I¢=¡27I
A¡1=¡1
27¡A2+ 9A+ 27I¢
B=0 BBBB@2 1 0 0 0
0 2 1 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 1
0 0 0 0 21
C CCCA dim???(A¡2I)? Elle est donnée par le nombre de blocs de Jordan associé à2? dim???(A¡2I) = 2 dim???(A¡2I)3? dim???(A¡2I)3= 5 dim???(A¡2I)2?On sait que
Ker(A¡2I) ???(A¡2I)2 ???(A¡2I)3
?? ?????? ??dim???(A¡2I)2?? ???? ???? ???? ???3??4? (B¡2I)2=0 BBBB@0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 01
C CCCA dim???(A¡2I)2= 4A(X) = (X¡2)p
Finalement, le polynôme minimal deA??? ????? ??? ?A(X) = (X¡2)3
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