[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2005-2006

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soienta;b;cdes réels vérifianta2+b2+c2=1 etPla matrice réelle 33 suivante : P=0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A 1.

Calculer le déterminant de P.

2. Déterminer les sous-espaces v ectorielsde R3, kerPet ImP. 3.

Soit Q=IP, calculerP2,PQ,QPetQ2.

4.

Caractériser géométriquement PetQ.

SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), etuun endomorphisme deE. On supposeunilpotent, c"est-à-dire qu"il existe un entier strictement positifntel queun=0. 1.

Montrer que un"est pas inversible.

2. Déterminer les v aleurspropres de uet les sous-espaces propres associés.

SoitMla matrice deR4suivante

M=0 B

B@0 1 0 0

2 01 0

0 7 0 6

0 0 3 01

C CA 1. Déterminer les v aleurspropres de Met ses sous-espaces propres. 2.

Montrer que Mest diagonalisable.

3. Déterminer une base de v ecteurspropres et Pla matrice de passage. 4. On a D=P1MP, pourk2NexprimerMken fonction deDk, puis calculerMk.

2 Partiel

Exercice 4Soitul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est A=0 @322 2 1 2

3 3 21

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que les v aleurspropres de Asont1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés.

3.

Démontrer que Aest diagonalisable et donner une base deR3dans laquelle la matrice deuest diagonale.

4.

T rouverune matrice Ptelle queP1APsoit diagonale.

Soita2RetAla matrice suivante

A=0 @1 0a 0a1 a1 01 A 1. Calculer le déterminant de Aet déterminer pour quelles valeurs deala matrice est inversible. 2.

Calculer A1lorsqueAest inversible.

SoitA=0

B

B@1 2 0 0

0 1 2 0

0 0 1 2

0 0 0 11

C CA. Expliquer sans calcul pourquoi la matriceAn"est pas diagonalisable. SoitAune matrice 22 à coefficients réels. On suppose que dans chaque colonne deAla somme des coefficients est égale à 1. 1. Soient (x1;x2),(y1;y2)deux vecteurs deR2, on suppose que A x1 x 2 =y1 y 2 montrer qu"alors y

1+y2=x1+x2:

2. Soit le v ecteure= (1;1), montrer que c"est un vecteur propre deA. On noteralsa valeur propre. 3.

Montrer que si vest un vecteur propre deAnon colinéaire àe, alors la valeur propre associée àvest

égale à 1.

2

4.Soit e1= (1;0). Montrer que la matrice, dans la base(e1;e), de l"endomorphisme associé àAest de la

forme 1 0 a l oùa2R. En déduire que sil6=1, alorsAest diagonalisable surR. SoientAetBdes matrices non nulles deMn(R). On suppose queA:B=0. 1.

Démontrer que Im BkerA.

2. On suppose que le rang de Aest égal àn1, déterminer le rang deB.

Exercice 9I

Soita2RetAa2M3(R)la matrice suivante

A a=0 @1 0a+1 12 0 1 1a1 A

Première partie:

1. F actoriserle polynôme caractéristique PAa(X)en produit de facteurs du premier degré. 2.

Déterminer selon la v aleurdu paramètre ales valeurs propres distinctes deAaet leur multiplicité.

3. Déterminer les v aleursde apour lesquelles la matriceAaest diagonalisable. 4. Déterminer selon la v aleurde ale polynôme minimal deAa.

Seconde partie:

On suppose désormais quea=0, on noteA=A0etfl"endomorphisme deR3associé à la matriceA. 1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 2. Démontrer que fadmet un plan stable (c"est-à-diref-invariant). 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 1 0 01 1 0 011 A et trouver une matricePinversible telle queA=PBP1. 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5. Pour t2R, calculer exptBet exprimer exptAà l"aide dePet exptB. 3

6.Donner les solutions des systèmes dif férentielsY0=BYetX0=AX.

II On rappelle qu"une matriceN2Mn(C)est dite nilpotente d"ordremsiNm=0, et si pour toutkdansN,kDéterminer unpolynômeannulateurdeN. Endéduirelepolynômeminimaletlepolynômecaractéristique

deN. 2.

Déterminer les v aleurspropres de N.

3.

Démontrer que det (I+N) =1.

4. On suppose Ainversible. Démontrer que les matricesANetNA1sont nilpotentes. En déduire que det(A+N) =detA: 5. On suppose Anon inversible. En exprimant(A+N)kpour toutk2N, démontrer que det(A+N) =0:

Exercice 10SoitA=a c

c d

2M2(R), montrer queAest diagonalisable surR.

SoitNune matrice nilpotente, il existeq2Ntel queNq=0. Montrer que la matriceINest inversible et exprimer son inverse en fonction deN.

On considère la matrice suivante

A=0 @11 0 1 01

1 0 21

A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defs"écrit B=0 @1 1 0 0 1 1

0 0 11

A 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 4

La suite de Fibonacci 0;1;1;2;3;5;8;13;:::est la suite(Fn)n>0définie par la relation de récurrenceFn+1=

F n+Fn1pourn>1, avecF0=0 etF1=1. 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que, pour toutn>1, Fn+1 F n =AnF1 F 0 2. Montrer que Aadmet deux valeurs propres réelles distinctes que l"on notel1etl2avecl1Déterminer les coordonnées du v ecteur F1 F 0 dans la base(e1;e2), on les notex1etx2. 5.

Montrer que

Fn+1 F n =ln1x1e1+ln2x2e2. En déduire que F n=ln1l

1l2ln2l

1l2: 6. Donner un équi valentde Fnlorsquentend vers+¥.

Correction del"exer cice1 NSoient a;b;c des réels vérifiant a2+b2+c2=1et P la matrice réelle33suivante:

P=0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A 1.

Calculons le déterminant de P.

detP= a

2ab ac

ab b 2bc ac bc c 2 =abc a a a b b b c c c =0: 2. Déterminons les sous-espaces v ectorielsde R3, kerPet ImP. kerP=8 (x;y;z)2R3;0quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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