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Exercices corrigés d'algèbre linéaire 2

Réduction des endomorphismes

1. Réductions concrètes.

2. Réductions abstraites.

3. Suites récurrentes linéaires.

4. Polynômes d"endomorphismes.

5. Diagonalisation.

6. Endomorphismes nilpotents.

7. Trigonalisation et jordanisation.

8. Exponentielles de matrices.

9. Topologie matricielle.

10. Réduction simultanée.

11. Dimension infinie.

12. Farrago final.

__________

Le chapitre sur la réduction des endomorphismes est la clé de voûte de l"algèbre linéaire

en taupe. La maîtrise des techniques et des concepts demande un gros investissement

intellectuel, car ce chapitre est la synthèse de plusieurs chapitres antérieurs, et est lié au

cours d"analyse.

Les exercices sont ici groupés par familles, et disposés de manière à peu près progressive.

Les exercices des § 1, 2 et 5 s"adressent à tous, ceux des § 8, 9, 10 s"adressent aux candidats

aux grands concours. Prière de ne pas diffuser ce document sur la toile.

Ces pages sont dédiées à un ancien élève de cette classe, Franck Bettendorff (M" 1992-

1993), qui, loin de toute forme de technicité, de pouvoir et de compétition, est devenu

professeur des écoles de l"enseignement catholique du diocèse de Saint-Étienne, et travaille

depuis onze ans à la scolarisation des enfants et des jeunes du voyage. Membre de l"ASET (Association pour la scolarisation des enfants tsiganes et autres jeunes en difficulté), Franck a été pendant 10 ans l"instituteur des camions scolaires nomades de l"ARIV. Si jamais ces lignes tombent sous ses yeux, qu"il sache que son vieux maître est fier de lui.

Pierre-Jean Hormière

2

1. Réductions concrètes.

La réduction des matrices de petites tailles peut se faire selon un protocole simple :

· Calculer le polynôme caractéristique, déterminer ses racines, qui sont les valeurs propres.

· Déterminer, pour chaque valeur propre, l"espace propre associé. · Si la matrice est diagonalisable, tout est dit.

· Sinon, chercher les espaces caractéristiques, trouver dans chacun d"eux une base " trigonalisante »,

et obtenir la forme trigonale supérieure réduite et la décomposition additive dite " de Dunford ».

· Pour obtenir une réduction de Jordan, il faut plus de soin, mais en dim. 2 et 3, cela reste facile.

Les réductions sont conduites avec Maple, mais suivent pas à pas les calculs manuels.

Exercice 1

: 1) Réduire A = 

544446235

Î M3(R). Quel est son polynôme minimal ?

2) Calculer An par deux méthodes ; calculer exp(xA) par deux méthodes.

3) A quelle condition sur X0 la suite récurrente Xk+1 = A.Xk est-elle bornée ?

4) Chercher C(A) = { M Î M3(R) ; M.A = A.M }.

5) Résoudre l"équation M2 = A dans M3(R).

6) Quels sont les sous-espaces A-stables de R3 ?

Solution : 1) Polynômes caractéristique, minimal, spectre, diagonalisation. > with(linalg):

A:=matrix(3,3,[5,-3,2,6,-4,4,4,-4,5]);

:= A 5-32

6 -4 4

4 -4 5

sp:=eigenvals(A);vect:=eigenvects(A); := c() - x1() - x2() - x3 := m() - x1() - x2() - x3 := sp,,123 := vect,,[],,21{}[],,110[],,31{}[],,122[],,11{}[],,121 for i in sp do k[i]:=kernel(A-i);od;

Diag:=multiply(inverse(P),A,P);

:= P 111
2 1 2 1 0 2

2) Calcul des puissances de A, par deux méthodes, l"une géométrique, l"autre polynomiale.

> multiply(P,diag(1,2^n,3^n),inverse(P)); - + + 2 2 2n3n - - 2 2n3n- + 1 3n - + + 4 2 2n2 3n - - 4 2n2 3n- + 2 2 3n - + 2 2 3n - 2 2 3n- + 1 2 3n := L + + - +  1 23
n2n1 2x

2

5 24 2
n3 23
nx3 3 2n3n := Diag 100
0 2 0 0 0 3 := k1{}[],,121 := k2{}[],,110 := k3{}[],,122 3 - + + 2 2 2n3n - - 2 2n3n- + 1 3n - + + 4 2 2n2 3n - - 4 2n2 3n- + 2 2 3n

- + 2 2 3n - 2 2 3n- + 1 2 3n La seconde méthode, purement algébrique, repose sur le théorème de Hamilton-Cayley : nous savons

que A annule son polynôme caractéristique. Si on fait la division euclidienne X n = cA(X).Q(X) + R(X) , où deg R < 3, alors après substitution An = R(A).

Autrement dit A

n est une combinaison linéaire de I, A et A2. Or R n"est autre que le polynôme d"interpolation de Lagrange tel que R(1) = 1, R(2) = 2 n, R(3) = 3n.

3) A quelle condition sur

X0 la suite récurrente Xk+1 = A.Xk est-elle bornée ?

Mieux vaut travailler dans le repère propre !

La suite Y

k+1 = diag(1, 2, 3).Yk est donnée par Yk = diag(1, 2k, 3k).Y0.

Elle est bornée ssi Y

0 est de la forme (u0, 0, 0), i.e. ssi X0 est colinéaire au vecteur propre (1, 2, 1).

4) Calcul de l"exponentielle de Ax, par réduction, par méthode polynomiale, par procédure

> multiply(P,diag(exp(x),exp(2*x),exp(3*x)),inverse(P)); - + + 2 eeee x2 eeee ()2xeeee ()3x - - 2 eeeexeeee ()2xeeee ()3x- + eeeexeeee ()3x - + + 4 eeeex2 eeee ( )2x2 eeee ( )3x - - 4 eeeexeeee ( )2x2 eeee ( )3x- + 2 eeeex2 eeee ( )3x - + 2 eeeex2 eeee ( )3x - 2 eeeex2 eeee ( )3x- + eeeex2 eeee ( )3x exponential(A,x); := Lexp + + - +  1 2eeee ( )3xeeee ( )2x1 2eeee xt2 5 2eeee x4 eeee ( )2x3 2eeee ( )3xt3 eeeex3 eeee ( )2xeeee ( )3x - + + 2 eeee x2 eeee ()2xeeee ()3x - - 2 eeeexeeee ()2xeeee ()3x- + eeeexeeee ()3x - + + 4 eeeex2 eeee ( )2x2 eeee ( )3x - - 4 eeeexeeee ( )2x2 eeee ( )3x- + 2 eeeex2 eeee ( )3x - + 2 eeeex2 eeee ( )3x - 2 eeeex2 eeee ( )3x- + eeeex2 eeee ( )3x

5) Calcul du commutant de A :

Un calcul direct montre que les matrices qui commutent à diag(1, 2, 3) sont les matrices diagonales.

Du coup, les matrices qui commutent à A sont les matrices de la forme P.diag(p, q, r,).P -1. Elles forment une sous-algèbre commutative de dimension 3 de M

3(C), dont une base est :

P.diag(1, 0, 0).P

-1 , P.diag(0, 1, 0).P-1 , P.diag(0, 0, 1).P-1 . > C:=multiply(P,diag(p,q,r),inverse(P)); := C - + + 2p2qr - - 2pqr- + pr - + + 4p2q2r - - 4p q2r- + 2p2r - + 2p2r - 2p2r- + p2r

6) Recherche des sous-espaces stables. Ils sont de dimension 0, 1, 2 ou 3.

Dimension 0 : {0} ; dimension 3 : R3 ; dimension 1 : les trois droites propres. Restent les plans A-stables ; ils correspondent aux vecteurs propres de tA. En effet soit P un plan A-stable, d"équation ax + by + cz = 0 , où (a, b, c) ¹ 0 [ a b c ] zyx = 0 ⇒ [ a b c ] A zyx = 0.

En vertu du premier résultat de dualité, la forme linéaire [ a b c ] A est proportionnelle à [ a b c ] .

Cela revient à dire que

cba est un vecteur propre de tA. On trouve 3 plans stables, sommes directes de deux espaces propres. > B:=transpose(A); 4 := B 564
-3 -4 -4 2 4 5 for i in sp do kernel(B-i);od; {}[],,2-21 {}[],,-210

{}[],,1-11 Le plan d"équation 2x - 2y + z = 0 est la somme directe Ker(A - 2I) Å Ker(A - 3I).

Le plan d"équation -2x + y = 0 est la somme directe Ker(A - I ) Å Ker(A - 3I). Le plan d"équation x - y + z = 0 est la somme directe Ker(A - I ) Å Ker(A - 2I).

7) Réduction de Jordan préprogrammée, réduction de Frobenius

.( hors programme) > J:=jordan(A,Q);print(Q); := J 100
0 2 0 0 0 3

F:=frobenius(A,V);print(V);

#réduction à la forme de Frobenius (décomposition monogène);

Exercice 2

: 1) Réduire A = 

3104252373

Î M3(R).

2) On considère les suites Xn = t(xn, yn, zn) définie par Xn+1 = A.Xn. Montrer que ces suites sont

bornées quels que soient x0, y0, z0.

Solution :

SpA = { 1, i, -i }. Donc A est diagonalisable dans M

3(C), mais non dans M3(R).

Point n"est besoin de chercher les vecteurs propres pour en déduire que A

4 = I.

Du coup, toutes les suites (X

n) sont 4-périodiques, donc bornées.

Exercice 3

: 1) Réduire A =  ---322212221

Î M3(R). Quel est son polynôme minimal ?

2) Calculer An ; 3) Chercher C(A) = { M Î M3(R) ; M.A = A.M }.

4) Résoudre l"équation M2 = A dans M3(R).

5) Quels sont les sous-espaces A-stables de R3 ?

6) Reconnaître la surface d"équation x2 + y2 - z2 = 0. Montrer que A conserve cette surface.

Solution : Menons les calculs avec Maple.

-221 -4 2 2 -2 0 2 := u[],,353 := v[],,6107 := w[],,142419 := U 3614

5 10 24

3 7 19 := F

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