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B - 1

SECTION B: ANALYSE D'ERREUR ET GRAPHIQUES

Table des mati`eres:

Introduction `a l'analyse d'erreur B-1

1. D´etermination de l'erreur sur une mesureB-4

1.1. Erreur sur une mesure individuelle B-4

1.2. Erreur sur une mesure r´ep´et´ee B-5

1.3. Types d'erreur B-7

2. Calcul d'erreurB-9

2.1 Somme et di´erence B-9

2.2 Produit et quotient B-10

2.3 Puissance B-11

2.4 Fonctions g´en´erales B-11

2.5 Quantit´es ind´ependantes B-14

3. Chires significatifsB-16

4. Analyse graphiqueB-20

4.1 Construction d'un graphique B-21

4.2 Utilisation des graphiques B-22

4.3 Analyse d'un graphique B-23

4.4 Erreur `a partir des graphiques B-30

INTRODUCTION

`A L'ANALYSE D'ERREUR. La sectionAnalyse d'erreurde vos rapports de laboratoire est bas´ee essentiellement sur deux ´etapes: (1) la d´etermination exp´erimentale de l'incertitude (ou l'erreur)sur une mesure, et (2) le calcul d'erreur. Quoique beaucoup d'´etudiants et ´etudiantes ap- paremment "d´etestent le calcul d'erreur", c'est plutˆot la d´etermination de l'incertitude exp´erimentale qui est plus dicile en r´ealit´e! B - 2

Exemple.

Comme vous le savez, la vitesse de la lumi`eredanslevideest´egale `a c= 299 792 458 m/s,

tr`es exactement, car l'unit´edelongueurm`etrea´et´ed´efinie ainsi. Si des ´etudiants et

des ´etudiantes eectuent une exp´erience qui leur donne c exp = 298 740 015 m/s, alorsl'erreursurleurr´esultat estc= 1 052 443 m/s. (En r´ealit´e, ces ´etudiants sont excellents car l'erreur n'est que de 0.4 %!) Cependant, une telle ´eventualit´e, o`u la valeur d'une quantit´eestconnuetr`es exactement, est extrˆemement rare. Par cons´equent, il est souvent impossible d'obtenir la valeur exacte de l'erreur sur une mesure exp´erimentale. La plupart du temps, tout ce que nous connaissons de l'erreur estsa simple existence, et il nous faut faire de notre mieux pour ´evaluer son ampleur. Ainsi, deux exp´erimentateurs d´etermineront deux incertitudes di´erentes (mais tout de mˆeme assez proches l'une de l'autre);il n'y a pas d'incertitude correcte, universelle, ou rigoureusement pr´ecise!Elle ne doit pas ˆetre trop grande, sinon on conclut que l'exp´erience est un ´echec, ou encore que le scientifique qui a conduit cette

exp´erience n'´etaitpasdespluscomp´etents! D'un autre cˆot´e, elle ne doit pas ˆetre

trop petite non plus, car on pourra croire que le scientifique est un peu t´em´eraire ou pr´etentieux; et que dire si des exp´eriencesfuturesdonnentdesr´esultats en dehors de ce qu'il avait obtenu? C'est l`a que le scientifique met sa "touche personnelle".

Par contre, une fois que l'on conna

ˆit le r´esultat d'une mesure et l'incertitude sur cette mesure, le calcul d'erreur sur une quantit´equid´epend de cette mesure est as- sez syst´ematique, et il ne consiste qu'`a appliquer un algorithme somme toute assez simple. Cependant, il faut bien conna ˆitre les r`egles du jeu; elle sont expliqu´ees `ala section 2. Avant de discuter du processus d'´evaluation d'unemesure exp´erimentale, mentionnons la d´efinition demesure: B - 3 Unemesureest l'association d'une grandeur physique `a un nombre, par compara- ison avec une grandeur ´etalon. Le concept deperfectionest souvent utilis´e dans la vie de tous les jours. Pourtant, chacunsaitque"laperfectionn'estpasdecemonde"etpourunscientifique, ¸ca signifiequela"v´eritable" valeur d'une mesure ne peut jamais ˆetre connue exacte- ment,i.e.avec une pr´ecision infinie. L'incertitude est donc une partie importante de n'importequeltypedemesure,maislad´eterminer est une d´emarche qui requiert un bon jugement, un peu d'exp´erience et de l'intuition.

Exemple.

Supposons qu'une bonne journ´ee, vous soyez particuli`erement int´eress´es `aconnaˆitre votrehauteurtr`es pr´ecis´ement. Pour avoir un r´esultat aussi objectif que possible, vous demandez `a cinq personnes di´erentes de vous mesurer, et vous ainsi obtenez les cinq valeurs suivantes:

1. 154.3 cm

2. 5.21 pieds

3. 1.538

m

4. 96.34±0.03

5. 154.567 cm

Laquelle est correcte? La r´eponse est qu'aucun de ces r´esultats ne peut ˆetre con- sid´er´ee comme la "vraie" valeur. Comme vous le savez probablement, votre hauteur varie l´eg`erement au cours de la journ´ee; mˆeme la respiration peut la faire varier.`A cause de cette incertitude intrins`eque (i.e.toujours pr´esente, et qui ne peut ˆetre enlev´ee), le mieux que l'on puisse faire est de d´eterminer les limites inf´erieure et sup´erieure entre lesquelles votre hauteur varie.Ainsi, votre taille est donn´ee par B - 4 l'´etendue des valeurs qu'elle peut prendre.C'estlemieuxquevouspuissezfaire,etle mˆeme ph´enom`ene est pr´esent dans la plupart des mesures que vous devrez eectuer en physique exp´erimentale! Commencez donc d`es maintenant `a vous habituer au fait quetout r´esultat exp´erimental n'est pas exact, et doit ˆetre accompagn´e d'une valeur indiquant l'incertitude sur ce r´esultat.Donnons maintenant une autre d´efinition, celle du concept d'erreur: L'erreursur un r´esultat exp´erimental est une ´evaluation de l'ensemble des valeurs possibles que peut prendre la quantit´e d'int´erˆet. Si nous revenons aux donn´ees ci-dessus concernant votre taille, vous pouvez voir

que la r´eponse 4 sp´ecifie l'incertitude sur le r´esultatfinal (i.e.la taille se trouve entre

96.37 et 96.31), mais cette valeur estcompl`etement inutilepuisque les unit´es ont ´et´e

omises! Si, le 17 mai 2000, vous avez rencontr´e un physicien pour faire mesurer votre taille, il va probablement vous mesurer plusieurs fois au cours de la journ´ee, d´eterminer la mesure maximale (e.g.158.8 cm), la mesure la plus basse (e.g.157.2 cm), la moyenne arithm´ethique (158.8+157.2)/2=158.0, et il armera donc: "Le 17 mai 2000, votre vraie taille se situait quelque part entre 157.2 cm et 158.8 cm". Il vous donnera probablement le r´esultat ´ecrit sous la forme suivante: h=158.0±0.8cm. En g´en´eral, le r´esultat de n'importe quelle mesurefiable consistera en un ensemble de valeurs contenues dans un certain intervalle [QQ,Q+

Q]aveclesunit´es

appropri´ees. On ´ecrira

Q±Q

pour repr´esenter queQQQQ+Q. On a donc en g´en´eral trois ´el´ements:

1. la valeur moyenneQ,

B - 5

2. l'incertitude, ou erreur,Q,

3. les unit´es.

Ci-dessous, nous allons consid´erer deux notions essentielles: l'incertitude sur une mesure, et le calcul d'erreur. 1. D

´ETERMINATION DE L'ERREUR SUR UNE MESURE.

1.1. Erreur sur une mesure individuelle.

Consid´erons tout d'abord la dicile tˆache d'´evaluer l'incertitude associ´ee `a une mesure individuelle. La meilleure fa¸con de d´eterminer l'erreur sur une mesure est d'examiner de mani`ere critique chaque ´etape du processus de mesure, et de juger la fiabilit´e des appareils de mesure. Par exemple, les facteurs suivants peuvent ˆetre pris en consid´eration: l'interpolation entre les divisions de l'´echelle; la prise d'une lecture ou de la position d'un objet le long d'une ´echelle; la parallaxe (i.e.lorsque l'´echelle est regard´ee sous un certain angle); une aiguille qui bouge; la pr´ecision de l'appareil de mesure (qui d´epend de la qualit´e fournie par le manufacturier); la sensibilit´ed'un appareil (i.e.inaptitude d'un appareil `ad´etecter lesfluctuations inf´erieures `a une certaine quantit´e); lesfluctuations des conditions exp´erimentales (e.g.temp´erature); le facteur humain, ou pr´ecision de l'exp´erimentateur dans ses manipulations: ses r´eactions, r´eflexes, alignement, etc. Unebonne(etassezpopulaire)r`egle de d´epart est de prendre en premi`ere approx- imation l'incertitude comme ´etantla moiti´e de la plus petite division sur l'´echelle. Ensuite,lesautresfacteursdoiventˆetre ´evalu´es et inclus, si appropri´e.

Exemple.

Supposons que nous d´esirions mesurer la largeur d'une table `a l'aide d'un m`etre.

Nous devons tenir compte des facteurs suivants:

B - 6

1. le coin de la table est l´eg`erement arrondi;

2. le m`etre est divis´eenmm;

3. l'angle avec lequel l'´echelle est regard´ee;

4. l'impr´ecision du m`etre.

Nous jugeons qu'il y a une erreur totale d'environ 0.5 mm `achaquecˆot´edela table, de sorte qu'au total, l'erreur combin´ee est d'environ 1 mm. Cet estim´eest arbitraire mais raisonable. On dira donc, par exemple, que "la largeur de la table est de 77.9±0.1cm."

1.2. Erreur sur une mesure r´ep´et´ee.

Nature de l'erreur al´eatoire.

Supposons que l'on veuille mesurer le temps requis par une eace pour tomber du haut d'une table jusqu'au sol. `A l'aide d'un chronom`etre, nous r´ep´etons la mesure trois fois, et obtenons les r´esultats: 0.36s,0.45s,et0.32s.Nousr´ealisons en- suite qu'il est dicile de d´eterminer exactement quand d´emarreretquandarrˆeter le chronom`etre. Si nos r´eflexes sont lents, alors l'erreur s'en trouve accrue. Pour r´eduire l'erreur autant que possible, nous demanderons donc `a vingt autres personnes de mesurer le temps de chute. Leurs r´esultats sont contenus dans l'histogramme ci-dessous: B - 7 Cet histogramme montre que deux personnes ont obtenu une valeur entre 0.30 et 0.34 s, quatre entre 0.34 et 0.38 s, six entre 0.38 et 0.42 s, cinq entre 0.42 et

0.46 s, et trois entre 0.46 et 0.50 s. Les donn´ees pourraient ˆetre exprim´ees `a l'aide

d'une graduation plusfine de l'axe des abscissese.g.en montrant plutˆot le nombre d'observations dans des intervalles de 0.01 sou 0.001s. Si nous augmentons le nombre de personnes, et diminuons la taille de la graduation de l'axe des abscisses, nous obtenons `a la limite une courbe lisse: la distribution gaussienneounormale: Cette distribution est le r´esultat de notre exp´erience particuli`ere (i.e.temps de chute d'une eace du haut d'une table). On ne peut pas pr´evoir facilement si une B - 8 exp´erience al´eatoire conduira `a une telle distribution des r´esultats. Dans ce cours, cependant, nous admettrons que c'est toujours le cas.

Valeur moyenne

SiQ 1 ,Q 2 ,...,Q n sont les valeurs mesur´ees d'une certaine quantit´eQ,lavaleur moyennedeQest d´efinie comme ´etant QouQ moy =1 n(Q 1 +...+Q n )=1 n n X i=1 Q i

1.3. Types d'erreurs.

Erreur limite et erreur standard.

Lorsque nous ´ecrivonsnosmesuressouslaformeQ±Q, nous devons distinguer les di´erents types d'erreurs queQpeut repr´esenter. Premi`erement, nous par- lons d'erreur limitelorsqueQrepr´esente l'erreur maximale possible sur la valeur observ´ee deQ. Cette incertitute est ´evalu´ee en jugeant de la pire erreur qui peut exister. Ce proc´ed´e requiert de l'intuition et de l'exp´erience. Il s'agit d'une sorte de "garantie" de validit´edenotrer´esultat, et sa valeur d´epend en grande partie de la personne qui l'´evalue. Le second type d'erreur, appel´eerreur standard,estuncalcul

statistique de l'erreur suite `adesmesuresr´ep´et´ees d'une mˆeme quantit´e. Quoique le

d´etail des calculs de statistiques ne soit pas inclus dans ce cours, on peut penser `a l'erreur standard (souvent repr´esent´ee par Q ) comme ´etant l'"´etendue" des valeurs des mesures `apartirdelamoyenne¯Q(Voir lafigure de distribution gaussienne ci- dessus). Nous pouvons consid´erer de nouveau l'exemple de la mesure de la largeur d'une table `a l'aide d'un m`etre `a mesurer. Lesfluctuations internes de la largeur de la table (i.e.dues aux vibrations des mol´ecules qui constituent la table) sont n´egligeables compar´ees `alagraduationdel'´echelle. Dans ce cas, une ´evaluation pessimiste des limites de valeurs mesur´ees possibles est eectu´ee. B - 9 Un exemple d'erreur standard est l'´evaluation du temps requis par une eace pour tomber d'une table. Dans ce cas, lafluctuation statistique est observ´ee par l'appareil de mesure et ainsi, la d´eviation standard de mˆeme que l'erreur standard compar´ee `a la moyenne peuvent ˆetre calcul´ees.

Erreurs al´eatoire et syst´ematique.

Jusqu'ici, nous avons une id´ee de ce qu'est une erreural´eatoire. Il s'agit d'une source d'erreur incontrˆolable en pratique, et qui conduit habituellement `a une distribution gaussienne. Supposons maintenant que l'on mesure le temps de chute d'une eace du haut d'une table, et que le chronom`etre utilis´e avance trop rapidement. Mˆeme si nous obtenons encore dans ce cas une distribution gaussienne, la valeur moyenne ne repr´esente pas le vrai temps de chute. Il s'agit alors d'uneerreur syst´ematique.En principe, il s'agit d'une erreur sur laquelle l'exp´erimentateur a le contrˆole (e.g.en choisissant des appareils de mesure plusfiables), mais en pratique, il se peut qu'elle soit impossible `ad´etecter.

Erreur absolue et erreur relative.

L'erreur peut ˆetre exprim´ee sous forme d'erreur absolue, telle que 4.057±0.003m, ou comme uneerreur relative, telle que 4.057m±1%. En r´esum´e, si l'erreur absoluesur une mesure de la quantit´ezestz, alors l'erreur relative surzest z z , et le pourcentage d'erreur vaut z z

×100

En g´en´eral il ne faut pas se laisser d´ecourager par une tr`es grande erreur relative. Selon le contexte, il se peut que votre r´esultatsoitutilequandmˆeme. Par exemple, supposons que vous ayez un thermom`etre pr´ecis `a0.5degr´es Celsius. Si vous mesurez une temp´erature de 30 degr´es, alors l'erreur relative n'est que de 2 %, et vous savez que le temps est tr`es confortable (en fait, c'est tout appropri´epouraller`alapiscine!) Cependant, s'il fait 0.1 degr´es,voussavezquecen'estpasletempsid´eal pour se baigner, et ce malgr´e une erreur relative de 500 %...

B - 10

Finalement, l'´ecartest la di´erence entre le r´esultat d'une exp´erience et un r´esultat

plus commun´ement accept´ee, que l'on appelle parfois "valeur vraie".

2. CALCUL D'ERREUR.

Apr`es avoir d´etermin´eexp´erimentalement la valeur d'une quantit´eQ,noussommes en g´en´eral int´eress´es `a´evaluer une fonctionf(Q), ou encore une combinaison deQ avec une d'autres quantit´esx,y,etc. Si le r´esultat du calcul de cette quantit´eestz, alors le but du calcul d'erreur est de conna

ˆitre l'incertitudez,surz`apartirdes

incertitudesQ,x,etc. L'ensemble de r`egles suivantes permet de proc´eder au calcul d'erreur pour la plupart de situations que vous rencontrerez dans ce cours. La justification de ces relationsquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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