Introduction à la plasticité
27 sept. 2015 dans le domaine élastique est linéaire soit 7 = Eee où E est le module d'Young ... Écrouissage isotrope Ce modèle suppose une dilatation ...
Plasticité des structures
6 mars 2019 4.2 Méthode des éléments finis en mécanique non-linéaire ... 4.3.1 Modèle de plasticité de von Mises avec écrouissage isotrope linéaire .
Comportement élastoplastique à écrouissage mixte i[]
Relation de comportement élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire et isotrope non linéaire. Modélisations 3D et contraintes planes. Résumé : Ce
Plasticité avec écrouissage
29 mars 2010 Critère de von Mises avec écrouissage cinématique et isotrope : ... Ecrouissage cinématique linéaire 1D. Energie stockée.
Mécanique non linéaire
2.1.4 Modèle de Taylor – Ecrouissage isotrope Le comportement fait apparaître une partie linéaire (élasticité) suivie d'une partie non linéaire ...
Etude expérimentale et numérique de modèle réduit bidimensionnel
COMPORTEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE ISOTROPE (LOI DE HOOKE). ? paramètre d'écrouissage isotrope en général fonction des déformations plastiques.
1 Comportement élastique et limite délasticité
On reprend le probl`eme précédent en tenant compte de l'écrouissage du matériau. 3.1 Ecrouissage isotrope linéaire. La fonction de charge a cette fois–ci la
Modélisation Numérique Non Linéaire
Différents types de modèles de comportement plastique. Loi de comportement élasto-plastique avec écrouissage (isotrope) non linéaire.
Table des matières
La grande variété des comportements non linéaires se manifeste en particulier d'écrouissage sont l'écrouissage isotrope et l'écrouissage cinématique.
Lois dendommagement incrémentales isotrope/anisotropes pour
26 nov. 2008 contrainte une combinaison linéaire d'invariants élémentaires (Hayhurst ... o`u ?y est la limité d'élasticité R est l'écrouissage isotrope
[PDF] CHAPITRE III : THEORIE DELASTO-PLASTICITE ? ? ?
L'hypothèse de l'écrouissage isotrope est une expansion uniforme du domaine élastique c'est-à-dire une modification du seuil du patin avec les déformations
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4 nov 2021 · Ce document décrit une loi de comportement élastoplastique à écrouissage mixte cinématique linéaire et isotrope non linéaire Les équations à
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29 mar 2010 · Ecrouissage et dissipation Lois plastiques et viscoplastiques sans écrouissage Représentations dans l'espace des contraintes Elasticité
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La grande variété des comportements non linéaires se manifeste en particulier d'écrouissage sont l'écrouissage isotrope et l'écrouissage cinématique
[PDF] THÈSE
14 fév 2020 · L'écrouissage cinématique conduit à l'anisotropie plastique même si un critère de plasticité isotrope est utilisé Dans la théorie de Prager on
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Un cycle de torsion sur un tel matériau `a écrouissage cinématique linéaire est illustré sur la figure 6 et comparé au cas de l'écrouissage isotrope linéaire
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? = X ?y et pour l'écrouissage isotrope ? = R ?y Cela signifie donc que c'est la loi d'évolution de la variable d'écrouissage qui détermine exactement la
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L'hypothèse de l'écrouissage isotrope est une expansion uniforme du domaine élastique c'est-à-dire une modification du seuil du patin avec les déformations
[PDF] État de lart le comportement des matériaux et leur modélisation
Les quatre types d'écrouissage considérés étaient : un écrouissage isotrope un écrouissage cinématique linéaire un écrouissage cinématique non-linéaire et un
[PDF] CHAPITRE I LOIS DE COM PORTEM ENT
Le comportement élastique linéaire est décrit par la loi de Hooke Les métaux recuits témoignent généralement d'un comportement isotrope caractérisé par deux
Comment se calcule le taux d écrouissage ?
où n est le coefficient d'écrouissage ; sa valeur est typiquement entre 0,1 et 0,5. La loi de Voce s'écrit : ? = ?0?(1 - e-A?) où ?0 est la contrainte de saturation.Qu'est-ce que l écrouissage ou la consolidation de l'acier ?
Le terme d'écrouissage est utilisé pour désigner une opération de transformation des propriétés mécaniques du métal (laminage, tréfilage, soyage et forgeage). Dès que la contrainte dépasse la limite élastique, le métal passera en déformation plastique qui sera rémanente.Comment calculer la déformation plastique ?
?= ?e + ?p. où ?e est la déformation élastique, réversible (récupérable à la décharge), liée à la contrainte au travers de la loi d'élasticité (?= E?e) et où ?p la déformation plastique, irréversible ou résiduelle.- L'écrouissage du matériau est induit par la multiplication dans le matériau des dislocations engendrées par le champ de contrainte pour accommoder la déformation plastique et qui modifient la frontière d'écoulement, c'est-à-dire les états de contrainte permettant de poursuivre la déformation plastique.
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Table des matières
Table des matières3
Introduction
5Généralités
7Mécanismes physiques de déformation
7 Phénomènes observés◦Techniques d"essaisModèles analogiques
8 Modèles linéaires◦Modèles non linéairesPlasticité des barres
13Essai de traction
13 Modélisation du comportement en traction-compression 14Modèles avec écrouissage◦Modèles parfaits◦Critère de plasticité◦Lois d"écoulement plastique
Résolution explicite d"un problème d"élasto-plasticité 17 Solution analytique◦Solution éléments finis Résolution numérique d"un problème élasto-plastique 25Algorithmes de calcul◦Projection sur le critère de plasticité◦Application à la structure treillis
Plasticité des poutres
31Rappels et notations
31Modèle élasto-plastique
31Flexion pure◦Flexion simple
Modèle simplifié - rotule plastique
36Plasticité3D
39Critères de plasticité
39Critère de Von Mises◦Critère de Tresca◦Prise en compte de l"écrouissage
Loi d"écoulement plastique
43Définition◦Principe de Hill◦Condition de charge◦Loi de normalité
Résolution numérique
45Intégration de la loi de comportement◦Application aux éléments finis
Bibliographie
49Introduction
L"objectif de ce document est de présenter le modèle de comportementélasto-plastique classiquedans le cadre des
petites transformations.Le premier chapitre est une rapide introduction des phénomènes physiques. Nous présentons les mécanismes de
déformations, les techniques d"essais et quelques modèlesrhéologiques.Le deuxième chapitre concerne l"évolution élasto-plastique des structures treillis constituées de barres. Nous
introduisons des notions importantes : critère de plasticité, condition de charge, méthodes itératives de résolution
et projection sur le critère à partir d"un exemple simple traité par différentes méthodes.
Le troisième chapitre s"intéresse à l"évolution élasto-plastique des poutres. Après avoir présenté un modèle élasto-
plastique pour des essais de flexion, nous introduisons la notion de rotule plastique. Ce modèle simplifié est utilisé
pour le calcul des charges limites des portiques.Dans le dernier chapitre, nous formalisons les notions abordées au cours du deuxième chapitre pour les appliquer
aux problèmes tri-dimensionnels.Généralités
Ce premier chapitre distingue les phénomènes mécaniques impliqués dans la plas- ticité classique où le temps et les vitesses de déformation ne jouent qu"un rôle secondaire de ceux pour lesquels le temps et/ou les vitessesde déformation jouent un rôle important comme les phénomènes de fluage, de fatigue ou de plasticité dynamique.Mécanismes physiques de déformation
Le comportement macroscopique est en fait le résultat de déformations locales à une échelle microscopique. Cet aspect microscopique est fondamental pour la com- préhension physique des phénomènes et relève du domaine desmatériaux. Les concepts présentés dans ce document permettent de modéliser, dans une certaine mesure et de manière macroscopique, l"ensemble deces phénomènes mi- croscopiques qui sont à l"origine d"un comportement globalirréversible. Dans un premier temps, rappelons le vocabulaire relatif auxphénomènes obser- vés et aux principales techniques d"essai. Pour compléter ces informations, il est possible de consulter les ouvrages1 2.1D. François, A. Pineau et
A. Zaoui.Comportement méca-
nique des matériaux. Hermès,Paris,1991
2J. Lemaitre et J.L. Chaboche.
Mécanique des matériaux solides.
Dunod, Paris,1985Phénomènes observésLes différents phénomènes observés peuvent être classifiéscomme suit :
Déformations élastiques Elles correspondent à des variations des espaces interato- miques et à des mouvements réversibles de dislocations3. Ces déformations sont3Dislocation : défaut dans la
structure du réseau cristallin. Le nombre de dislocations augmentelorsque l"on charge le matériau.essentiellement instantanément réversibles et la configuration initiale est retrou-
vée après décharge. Déformations visqueuses Elles correspondent à la poursuite de la déformation alors que la charge est constante, il n"y a plus équilibre. Le tempset les vitesses de déformation jouent un rôle important dans les lois de comportement d"un ma- tériau visqueux. Lors de ce phénomène favorisé par l"activation thermique, on parle d"écoulement de fluage. Déformations permanentes Elles correspondent auxmouvements irréversibles des dis- locations. Ces déplacements se font par glissement dans les plans cristallogra- phiques4. En pratique ces déplacements ne modifient pas la structure cristalline4Plan cristallographique : plan de
plus grande densité d"atomeset le volume reste inchangé, on parled"incompressibilité plastique.
Écrouissage Ce phénomène aussi appeléconsolidationcorrespond à une augmen- tation du nombre de point de blocage du mouvement des dislocations. Il vient contrecarrer l"augmentation du nombre de dislocations, etmodifie le seuil au- delà duquel les déformations ne sont plus réversibles. Restauration Ce phénomène aussi appelé recouvrance correspond à une recris- tallisation par regroupement de dislocations de signe opposé. Il se produit dans le temps et est favorisé par l"activation thermique.Techniques d"essais
L"objectif des essais est de fournir à l"ingénieur, les caractéristiques mécaniques du matériau nécessaires aux calculs qu"il compte mener. Lors de ces essais, on observe 8 les déformations que subit une éprouvette sous l"action d"un système donné de contraintes. Les différents essais d"écrouissage à température constante peuvent être classifiés comme suit : Écrouissage Essai pour lequel la déformationεest imposée à vitesse constante; tA B (a) imposé A B (b) mesuréFig.1: écrouissage Fluage + recouvrance Essai pour lequel la contrainteσest imposée grâce à une fonction échelon suivi d"attente à contrainte nulle. La courbe de réponse caracté- rise ladéformation retardée; tσ A (a) imposé tA (b) mesuréFig.2: fluage + recouvrance Relaxation Essai pour lequel la déformationεest imposée selon une fonction échelon. La courbe de réponse caractérise la viscosité. t A B (a) imposéσ t A B (b) mesuréFig.3: relaxation Pour être reproductibles, ces essais sont normalisés5. Ils peuvent être réalisés sur5Les différents essais normalisés
sont disponibles sur le site del"AFNOR www.afnor.frdes éprouvettes de géométrie différente. Citons les essaisles plus classiques :
- chargement simple : tractionessai unidimensionnel; - chargement complexe : traction - torsion d"un tube mince, traction - pression d"un tube mince, traction biaxiale, compression triaxiale.Modèles analogiques
Ces modèles permettent d"avoir une image concrète simplifiée des équations tradui- sant les lois de comportement générales tensorielles. Les trois éléments mécaniques le plus utilisés sont décrits sur la figure4.Modèles linéaires
Ces modèles sont constitués d"assemblages de ressorts et d"amortisseurs linéaires.Généralités9
σσE
(a) ressort : élasticité li- néaire parfaiteσ=Eεε (b) amortisseur : viscosité linéaire newtonienneσ=ηεεσσσs
(c) patin : modèle rigide plastique parfait |σ|?σsFig.4: éléments d"assemblageÉlastique parfaite
La relation qui lie les déformations aux contraintes estσ=f(ε)comme indiqué sur la figure5. La réversibilité est instantanée, le tableau suivant donne l"allure caracté- ristique des courbes de réponses aux trois types d"essais évoqués précédemment. (a)σ=Eε (b) écrouissage t (c) fluageσ t (d) relaxationFig.5: élasticité parfaiteViscosité parfaite
Dans ce cas, les contraintes dépendent seulement de la variation temporelle des déformations tel queσ=f(ε). Les différentes relations contraintes-déformations sont illustrées sur la figure6. L"essai de fluage imposeσ=σ0, ce qui entraîne :ε=σ0/ηt(1)
etσ=0 entraîneε=ε1, soit un fluage illimité àt∞. L"essai de relaxation est théoriquement impossible, on ne peut pas imposer ins- tantanément une déformation au système, car à une vitesse infinie correspond une contrainte infinie. Ce que nous modéliserons par unefonction de dirac. (a)σ=ηε (b) écrouissage t (c) fluageσ t (d) relaxationFig.6: viscosité parfaiteVisco-élasticité
Dans ce cas, les contraintes dépendent à la fois des déformations et de leur variation temporelle tel queσ=f(ε,ε). Différents modèles peuvent être proposés. Les deux plus simples sont constitués d"un montage en série ou en parallèle. Les allures des courbes de réponse sont données sur la figure7. Modèle de MaxwellLe modèle de Maxwell est décrit sur la figure7. Pour l"essai de fluageσ=σ0entraîne :ε=σ0
ηt+σ0E(2)
10 oùσ0Ereprésente une déformation instantanée. Une contrainteσ=0 entraîneε= cste=ε1soit un fluage illimité àt∞. L"essai de relaxationε=ε0conduit à :σ=Eε0e-E
ηt(3)
autrement dit, une relaxation complète àt∞. (a)ε=1Eσ+1ησ (b) écrouissage t (c) fluageσ t (d) relaxationFig.7: modèle de Maxwell Modèle de Kelvin-VoigtCe modèle est décrit sur la figure8. Pour l"essai de fluage σ=σ0entraîneε=σ0/Etetσ=0 entraîneε=ε1=cste, soit un fluage limité dans le temps. L"essai de relaxation est théoriquement impossible car on ne peut pas imposer instantanément une déformation au système puisqu"à une vitesse infinie corres- pond une contrainte infinie. D"autres modèles plus complexes peuvent être construits sur le même principe. (a)σ=Eε+ηε t (b) écrouissageσ tε (c) fluageσ t (d) relaxationFig.8: modèle de Kelvin-VoigtModèles non linéaires
La non-linéarité peut venir du comportement du ressort ou del"amortisseur et l"in- troduction d"un patin, par exemple. Toute combinaison comportant un élément non linéaire aura un comportement non linéaire. Nous nous intéressons ici à la non- linéarité caractérisant la plasticité (patin). Sur les figures9,10,11et12sont repré- sentées les allures de la courbe de réponse à l"essai d"écrouissage pour les modèles que nous rencontrerons par la suite. σs (a) analogie mécanique s p (b) essai d"écrouissageFig.9: modèle rigide plastique parfait RPPGénéralités11
(a) analogie mécaniqueσσs
(b) essai d"écrouissageFig.10: modèle élasto-plastique parfait EPP (a) analogie mécanique s (b) essai d"écrouissageFig.11: modèle rigide plastique avec écrouissage RPE a b (a) analogie mécanique s EE (b) essai d"écrouissageFig.12: modèle élasto-plastique avec écrouissage EPEPlasticité des barres
Ce chapitre introduit les principales notions d"élasto-plasticité à partir de l"analyse de la réponse d"une éprouvette soumise à un essai de traction-compression. La mo- délisation de cet essai permet de présenter différentes schématisations couramment utilisées pour traiter des problèmes d"évolution élasto-plastique. Ces modèles sont ensuite soumis aux calculs analytique puis numérique des structures treillis.Essai de traction
Intéressons-nous à l"aspect phénoménologique de l"essai dans le cadre de l"élasto- plasticité classique, à savoir hypothèses de transformations quasi-statiques en pe- tites déformations et à température constante. FFS0 ?0Fig.13: éprouvette de tractionConsidérons une éprouvette de traction sous la forme d"un cylindre homogène
droit de sectionS0et de longueur?0. Cette éprouvette est soumise à un effort de tractionFcomme sur la figure13. Pour des petites déformations de l"éprouvette, l"état de contrainte peut être supposé uniforme et uniaxial(la diminution de section est négligée). Nous posonsε=εxx=Δ?/?0etσ=σxx=F/S0. Considérons les graphes (σ,ε)obtenus pour trois essais de traction avec décharge. Selon le niveau de sollicitation lors du chargement, nous obtenons les allures de la figure14. 0 (a) essai1:σ<σ0σ0σ
(b) essai2:σ=σ0 A Bσ0σ
pεe (c) essai3:σ>σ0Fig.14: traction avec décharge1.σ<σ0: le système se situe dans le domaine élastique et le comportement du
matériau est réversible. Il est supposé par la suite que la loi de comportement dans le domaine élastique est linéaire, soitσ=EεeoùEest le module d"Young du matériau;2.σ=σ0: cet essai est impossible à réaliser physiquement. La limite d"élasticitéσ0,
seuil à partir duquel il existe des déformations irréversibles, est définie de façon conventionnelle et correspond à une fraction de déformation permanente;3.σ>σ0: la décharge à partir du pointA(chargement maximum) s"effectue
parallèlement à la charge élastique, on parle de décharge élastique. EnB(charge nulle) ne subsiste que la déformation plastique ou déformation permanenteεp.σ0σ
εchargementmonotone
Fig.15: réponse à une série de
charges-décharges consécutivesEn tout point de la courbe, la déformation estε=εe+εp. Effectuons maintenant
une série de charges-décharges consécutives. L"allure de la courbe de réponse est représentée sur la figure15. Nous observons une évolution de la limite d"élasticité en traction due à l"écrouissage. En première approximation, nous pouvons considé- rer que : - lors des chargements consécutifs la limite d"élasticité suit la courbe du charge- ment monotone; - l"écoulement plastique ne modifie pas le module d"élasticité. 14 Par conséquent, connaissant la déformation plastique, le seuil de plasticité actuel peut être défini à partir de la courbe d"écrouissage obtenue pour un chargement monotone. En fait le problème de l"évolution du domaine d"élasticité est une des difficultés majeures de la plasticité. Prenons l"exemple d"un chargement cyclique pour mon- trer que la connaissance de l"état actuel (σ,εp) ne suffit pasa prioripour définir le domaine d"élasticité actuel. Sur la figure16, après décharge nous obtenons le point O ?, la déformation plastique est définie par le segmentOO?. Or dans cet état, la limite d"élasticité est différente au premier et au deuxième passage. Cet exemple montre que les lois décrivant l"évolution du domaine d"élasticité ont un caractère essentiellement incrémental. De plus, il faut distinguer deux cas :σ0σ
A BC O O?Fig.16: historique d"un cycle de
chargement OA-AB-BCCharge plastique Il y a variation des paramètres d"écrouissage et de la déforma-
tion plastique. Charge ou décharge élastique Il n"y a pas de variation des paramètres d"écrouis- sage ni de la déformation plastique. En résumé, l"évolution plastique ne peut se traduire que pardes lois incrémentalesreliant à un instant donné les incréments des paramètres d"écrouissage et de défor-
mation plastique à partir de l"état actuel. Pour l"étude desproblèmes quasi-statique d"élasto-plasticité (sans vieillissement ni viscosité),nous utilisons donc un temps ci- nématiquetpour repérer les états successifs du matériau en fonction del"historique des sollicitations. Modélisation du comportement en traction-compression Pour modéliser la courbe d"écrouissage de l"essais de traction-compression obtenue pour un chargement monotone, le plus simple est d"utiliser un modèle construit à partir de segments de droite. La figure17représente un modèle multi-linéaire. Dans la suite, nous limiterons la présentation à des modèles bi-linéaires ayant la même limite d"élasticité initiale en traction et en compression.σ0σ E -σ0ET1ET2
Fig.17: modèle d"écrouissage
multi-linéaireModèles avec écrouissageLe modèle rigide plastique peut être utilisé lorsque les déformations plastiques sont
très importantes par rapport aux déformations élastiques :c"est, par exemple, le cas pour les problèmes de mise en forme. Lorsqu"il y a écrouissage, il faut se donner un modèle pour représenter l"évolu- tion du domaine d"élasticité. Les deux modèles les plus simples sont l"écrouissage isotrope et l"écrouissage cinématique. Ils sont basés sur l"utilisation de la courbe d"écrouissage du chargement monotone, illustrée sur la figure18.σ0σ
EE T (a) élasto-plastique avec écrouissage (EPE)σ0σ
εET
(b) rigide-plastique avec écrouissage (RPE)Fig.18: modèles d"écrouissage monotone Écrouissage isotropeCe modèle suppose une dilatation homothétique du do- maine d"élasticité par rapport au domaine initial supposé connu. Le coefficient de dilatation dans le cas de l"écrouissage linéaire est défini par le module tangentET.Plasticité des barres15
Pour un essai cyclique, l"hypothèse d"écrouissage isotrope donne une courbe si- milaire à celle représentée sur la figure19. La limite d"élasticité en compression augmente comme celle de traction. On note que dans ce modèle l"énergie de défor- mation élastique pouvant être absorbée est de plus en plus importante et toujours identique en traction et compression.σ0σ
OFig.19: hypothèse d"écrouissage
isotropeÉcrouissage cinématiqueCe modèle suppose une translation sans déformation du domaine d"élasticité initial supposé connu. La translation est définie à partir de la courbe d"écrouissage monotone. Le modèle cinématique respecte l"effet Bauschinger couramment observé pour les matériaux métalliques, à savoir un durcissement dans unsens (sens de l"écou- lement plastique) et un adoucissement d"égale amplitude dans le sens contraire (décharge élastique). La courbe correspondant à un essai cyclique avec écrouissage cinématique est indiquée sur la figure20. L"amplitude du domaine d"élasticité reste constante mais l"énergie élastique absorbée et pouvant être restituée dans un sens est toujours différente de celle dans l"autre sens. En pratique, lors d"un essai cy- clique, aucune de ces allures ne peut être observée. Il est possible de combiner ces deux modèles d"écrouissage pour essayer de se rapprocher aumieux de la réponse au chargement cyclique donné.σ0σ
OFig.20: hypothèse d"écrouissage
cinématiqueModèles parfaitsCes modèles négligent l"écrouissage du matériau. Le modèleélasto-plastique par-
fait est surtout utilisé du point de vue académique pour simplifier la résolution analytique des problèmes posés.σ0σ
OA B CD (a) modèle élasto-plastique parfait EPP (b) modèle rigide-plastique parfait RPPFig.21: modèle de courbe d"écrouissage monotone Pour ce modèle, donnons une interprétation énergétique de la courbe d"écrouis- sage : - OABD : énergie totale, ou travail des efforts intérieurs pour atteindreB; - OABC : énergie de dissipation plastique; - BCD : énergie de déformation élastique, elle est restituéeà la décharge. Le modèle rigide plastique parfait est utilisé pour les problèmes de calcul des charges limites6. Pour ces deux modèles, au-delà d"une valeur limite du charge-6Lorsque l"écrouissage n"est
pas négligé, l"énergie élastique restituée après plastification est toujours plus importante dans lesens de la déformation plastique.ment il y aura écoulement libre du matériau et perte d"équilibre.
Critère de plasticité
Ce qui précède nous permet de définir pour l"essai de traction-compression, les conditions de plastification (seuil de plasticitéσs) et l"évolution du seuil en fonction des paramètres d"écrouissageσs(h),hcontient l"historique du chargement suivit pour obtenir l"état actuel. DéfinitionLe critère de plasticité est la fonctionf(σ,h)telle que : - sif(σ,h)<0, l"état actuel(σ,h)est intérieur au domaine d"élasticité; 16 - sif(σ,h) =0, l"état actuel se situe sur la frontière du domaine. Un état extérieur au domaine d"élasticité est physiquementimpossible à obtenir, le domaine d"élasticité représente donc l"ensemble des états de contraintes admis- sibles. Pour l"essai de traction-compression, le domaine d"élasticité est défini par :σ? ?;f(σ,h):=|σ|-σs(h)?0}(4)
Il nous reste à définir l"évolution du seuil de plasticitéσs(h). Représentons la courbe
d"écrouissage monotone en traction par un modèle bi-linéaire. Ce modèle est carac-térisé parσ0, la limite d"élasticité initiale,E, le module d"élasticité etET, le module
tangent. Soit un incrément de charge dσpris à partir d"un état actuel situé sur la frontière du domaine d"élasticité. Nous avons : dσ=ETdε(5) or : dε=dεp+1Edσ?dσ?
1-ETE?
=ETdεp(6) d"où : dσ=HdεpavecH=ET1-ETE(7)
Le quantitéHest ditemodule d"écrouissage.
EET dεp dεdσσ s s(E)Fig.22: incrément purement
élastique
RésuméUtilisons le temps cinématique afin de définir les incréments. Le modèle bi-linéaire implique :σ=Eεe(8)
oùEest le module d"élasticité, et :σ=ETε(9)
avecET, module tangent, et :ε=εe+εp;σ=Hεp(10)
etH, module d"écrouissage défini dans l"équation (7).Lois d"écoulement plastique
εf(σ,E)σ
Fig.23: incrément purement
élastique
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