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Numero d'ordre: 2003 - 09 Annee 2003

TH ESE presentee pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L'

ECOLE CENTRALE DE LYON

Specialite:Mecanique

par

Patricia SAAD

Modelisation et identication du comportement non lineaire des cales en caoutchouc Presentee et soutenue publiquement le 18 fevrier 2003, devant le jury d'examen: Mme M. BOURGEOIS, Ingenieur R & D ,PSA Peugeot Citro¨en Invitee M. Y. CHEVALIER, Professeur, ISMCM-CESTI Rapporteur

M. R. DUFOUR, Professeur, LMS INSA Examinateur

M. L. JEZEQUEL, Professeur,

Ecole centrale de Lyon Directeur de These

M. G. LALLEMENT, Professeur, UniversitedeBesancon Rapporteur M. F. MORTIER, Ingenieur R & D, CFGOMMA Rennes Examinateur

M. F. THOUVEREZ, Professeur,

Ecole Centrale de Lyon Examinateur

Resume

Les proprietes des elastomeres (grandes deformations, amortissement) rendent leur utilisa- tion tres interessante d'un point de vue industriel. Ces materiaux sont aujourd'hui de plus en plus utilises notamment dans des secteurs de l'industrie tels que l'automobile ou l'aeronautique. Cette utilisation concerne generalement des pieces qui sont soumises a de fortes sollicitations mecaniques (statiques et dynamiques). Le comportement amodeliser est alors fortement non lineaire, les non linearites etant aussi bien geometriques (dues aux grandes deformations im- posees) que comportementales (les lois de comportement utilisees sont non lineaires). Pour representer ces aspects, des lois de comportement complexes sont implantees dans des codes de calcul elements nis. Mais leur utilisation aboutit adesmodeles co^uteux numeriquement, et comportant un grand nombre de degres de liberte. De plus cela ne permet pas d'ecrire une relation analytique utilisable dans des logiciels multicorps pour simuler le comportement d'une piece en elastomere. Ce travail de these propose un modele simpliea peu de degres de libertepourapproximerla reponse des liaisons elastiques en elastomere utilisees dans l'industrie automobile. Pour ce faire on utilise une approximation de Ritz pour decrire les deplacements et la geometrie des pieces. Cela permet d'obtenir une approximation des courbes eort deplacement. Des lois de compor- tement hyperelastiques et viscoelastiques sont prises en compte dans le modele. Une deuxiemepartieestconsacree a l'extension du modele pour prendre en compte la dissipation non lineaire des elastomeres. De nombreux essais sont realises adierents niveaux d'amplitude d'excitation, de frequence, et de precharge. Pour approcher la dependance en amplitude du mo- dule dynamique, on eectue un developpement en series de Volterra de la relation contraintes deformations. L'influence de la precharge est prise en compte par linearisation d'un modele hyperviscoelastique.

Mots Cle

elastomeres - hyperelasticite-viscoelasticite - grandes deformations -

Abstract

We develop a numerical model to compute non linear rubber bush response. The objective is to take into account elasticity, damping, and non linear properties in a simple model dedicated to full vehicle modelling simulation. It is therefore important that the constitutive model accurately capture theses aspects of the mechanical behaviour. To take into account these properties, Finite Element Codes use several complex constitutive laws. All these constituve equations can be integrated in nite element models, and many algorithms are developed for this purpose. The main drawback of this procedure is its complexity. The number of dof is too high to be integrated in a vehicle study. Our work aims at giving a simplied approximation of the force as a function of the displacement and its derivatives, starting from a microscopic constitutive equation. Starting from a nite element model, and a constitutive law, we want to generate an equivalent rheological model, with a few dof. This model aims at predicting the frequency response of the bush, function of its geometry, of the load, of the parameters of the constitutive law. To do so, we approximate the displacement as a linear combination of admissible kinematic displacement elds, according to the Rayleigh-Ritz approximation. Hyperelastic models are used to t non linear quasi static force deflection curves. Viscoelastic constitutive laws are also developped. In order to predict amplitude dependency observed when we measure steady state harmonic response, we use a Volterra development of the stress strain constitutive equation.To take into account preload eects, we linearize a viscohyperelastic model. The predictions of these models are compared to experimental data.

Keywords

elastomers - hyperelasticity - viscoelasticity - large deformations - 5

Remerciements

Cette etude a eterealisee au sein de l'equipe Dynamique des Structures et des Systemes de l'Ecole Centrale de Lyon, dirigee par le Professeur Louis Jezequel. Je tiens a le remercier cha- leureusement de m'avoir propose ce sujet, pour son accueil et les moyens donnes pour realiser ce travail dans de bonnes conditions. M. le Professeur Fabrice Thouverez a accepte la direction scientique de cette these, et ce malgre ses nombreuses responsabilites. Je ne sais comment le remercier pour sa disponibilite, sa patience, ses conseils et tout ce qu'il a pu m'apprendre au cours de ces trois annees. Ce travail a eterealise en collaboration avec le service Recherche et Developpement de CF GOMMA Barre Thomas. Je tiens a remercier toutes les personnes du service pour leur accueil et leur sympathie. Un grand merci a messieurs Mortier, Leduc et Gillet pour la conance qu'ils m'ont toujours temoignee, pour tous les echanges que nous avons eus sur le sujet et pour l'aide qu'ils m'ont toujours apportee. Je remercie vivement M. le Professeur Dufour qui m'a fait l'honneur de presider le jury. J'ai eteegalement sensible a l'accueil favorable qu'ont reserve messieurs les Professeurs Chevalier et Lallement amonmemoire et je tiens a leur exprimer ma profonde gratitude. Je remercie tres vivement Mme Bourgeois, de la societePSA,etM.Mortier,delasociete CFGOMMA, d'avoir accepted'^etre membre du jury. La mise en place d'une partie des experiences de ce travail doit beaucoup a Lionel Charles et Bernard Jeanpierre, merci a tous les deux. Merci aussi a Olivier Dessombz pour la resolution de tous les soucis informatiques et pour sa relecture attentive du memoire. Si une these ne peut se realiser hors d'un environnement scientique, le cadre humain est tout aussi indispensable. A ce titre, j'exprime toute ma reconnaissance aux membres de l'equipe Dy- namique des Structures pour leur soutien qui n'a jamais fait defaut. Je voudrais aussi remercier ma famille, et tous mes amis. Temoins de tant de doutes, sans vous ce memoire n'aurait peut ^etre jamais vu le jour. En dernier lieu, je ne sais comment exprimer toute ma gratitude envers M. Jean Pierre La^ne sans lequel ce travail n'aurait pu ^etre possible. Il m'a toujours oert une aide ecace et de qualite, deployant patience et gentillesse. J'ai appris enormement en sa compagnie. Merci Jean

Pierre.

Table des matieresi

Table des matieres

Introduction1

ILeselastomeres 5

I.1 Qu'estcequelecaoutchouc? ............................. 5 I.2 Quelques proprietes mecaniques............................ 7 I.2.1 Proprietes elastiques.............................. 7 I.2.2 Proprietesdissipatives............................. 9 I.3 Conclusion ....................................... 17 II Modelisation du comportement mecanique des elastomeres 19 II.1 Rappels de mecanique des milieux continus grandes deformations......... 19 II.1.1 Descriptiondumouvement .......................... 20 II.1.2 Description des deformations ......................... 22 II.1.3 Vitesse de deformation............................. 23 II.1.4 Description des eorts interieurs-Contraintes ............... 24 II.1.5 Equations d'equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II.1.6 Proprietedesloisdecomportement...................... 27 II.1.7 Thermodynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.2 Modelisation des proprietes elastiques ........................ 31 II.2.1 Materiau hyperelastiqueisotrope....................... 31 iiTable des matieres II.2.2 Prise en compte de la condition d'incompressibilite............. 32 II.2.3 Quelques exemples d'energie de deformation................. 33 II.3 Modelisation des proprietesdissipatives ....................... 38 II.3.1 Viscoelasticite lineaire............................. 38 II.3.2 La viscoelasticite en grandes deformations.................. 47 II.3.3 Les modelesdefrottement........................... 54 IIIModelisation simpliee pour la dynamique des vehicules 57 III.1 Methode utilisee .................................... 58 III.1.1 Expression approchee du champ de deplacement .............. 58

III.1.2 Determination des parametres

i ....................... 59 III.2 Application a des lois de comportement hyperelastiques .............. 61 III.2.1 Demarchedecalculdelacourbederigidite................. 61 III.2.2 Exemple de validation: Cas d'une energie de deformation hyperelastique compressible .................................. 65 III.2.3 Exemple de validation: cas d'une energie de deformation hyperelastique incompressible ................................. 72 III.2.4 Extention a des sollicitations multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . 75 III.3 Cas des lois de comportement viscoelastiques lineaires ............... 76 III.3.1 Demarche associee alamodelisation simpliee ............... 77 III.3.2 Application aunmodele de Maxwell generalise: cas compressible . . . . . 80 III.3.3 Application aunmodele de Maxwell generalise: cas incompressible . . . . 86 III.3.4 Application aunmodeledeKelvinVoigtfractionnaire........... 93 III.4Conclusion ....................................... 96 IVPrise en compte des non linearites par un developpement en series de Volterra 97

Table des matieresiii

IV.1 Ecriture de la relation contraintes-deformations apartird'undeveloppement en seriesdeVolterra.................................... 98 IV.1.1 Developpement en series de Volterra: cas general.............. 98 IV.1.2 Cas des materiauxincompressibles...................... 99 IV.2 Demarche generale de calcul de l'eort non lineaire.................100 IV.2.1 Equations d'equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 IV.2.3 Approximation du champ solution par une methodedeRitz........102 IV.3 Calcul de l'eort non lineaire .............................103 IV.3.1 Contribution des termes d'ordre 1 du developpement en series.......104 IV.3.2Contributiondestermesd'ordredeux ....................105 IV.3.3Contributiondestermesd'ordretrois ....................106 IV.3.4Expressionglobaledel'eort .........................106 IV.4.1Contributiondestermesd'ordre1 ......................109 IV.5 Cas ou la non lineariteestuniquementcomportementale..............111 IV.5.1 Ecriture de la relation contraintes-deformations...............111 IV.5.2Contributiondestermesd'ordre1 ......................112 IV.5.3Contributiondestermesd'ordre2 ......................113 IV.5.4Contributiondestermesd'ordre3 ......................113 IV.5.5Expressionglobaledumoduledynamique ..................113 IV.6 Confrontation modele/resultats experimentaux ...................115 IV.6.1 Les essais realises................................116 IV.6.2 Analyse des mesures experimentales .....................119 ivTable des matieres IV.6.3Analysedelaformedumoduledynamique .................124 IV.6.4 Identication des parametres du modele...................128 IV.7 Etude en utilisant des noyaux de fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 IV.7.1Formulation"inverse" .............................134 IV.7.2 Dependance des eorts et souplesse dynamique vis a vis de l'amplitude du debattement ..................................135 IV.7.3 Reconstitution de la force dynamique non lineaire .............138 IV.8Conclusion .......................................139 VLinearisation d'un modele hyperviscoelastique autour d'une precharge sta- tique141 V.1 Introduction.......................................141 V.2 Linearisation d'une loi de comportement viscoelastique en grandes deformations . 142 V.2.1 Ecriture de la relation contraintes deformations...............142 V.2.2 Superposition d'une petite deformation sur une grande deformation statique143 V.2.3 Linearisation de la partie elastiquedelacontrainte.............144 V.2.4 Linearisation de la partie viscoelastiquedelacontrainte..........146 V.2.5 Hypotheses complementaires .........................147 V.2.6 Cas ou les petites deformations superposees sont sinuso¨dales .......147 V.3 Obtention du module dynamique par une discretisationdeRitz..........149 V.3.1 Ecritureduprincipedestravauxvirtuels...................149 V.3.2 Linearisation des equations decoulant du principe des travaux virtuels . . 150 V.3.3 Casharmonique ................................152 V.4 Expressionsanalytiquespourdeschargementssimples ...............153 V.4.1 Problematique .................................153 V.4.2 Cas d'un essai de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Table des matieresv

V.4.3 Casd'unessaidecompression.........................159 V.4.4 Recapitulatif ..................................162 V.5 Confrontation modele/resultats experimentaux ...................163 V.5.1 Introduction ..................................163 V.5.2 Verication de la forme du couplage precharge frequence..........167

V.5.3 Verication que la fonctionf

2 (!;γ)nedepend pas de la frequence . . . . 169

V.5.4 Verication que la fonctionf

1 (!;γ)nedepend pas de la frequence . . . . 170 V.5.5 Reconstitution du module dynamique pour dierents niveaux de precharge 172 V.6 Conclusion .......................................173

Conclusion et Perspectives 175

A Calcul de la relation eort deplacement associee aundeveloppement en serie a l'ordre 2193 A.1 Ecriture des deformations ...............................193 A.2 Calculdelacontrainte.................................194 A.3 Calculdel'eort ....................................195 B Calcul de la relation eort deplacement associee aundeveloppement en serie a l'ordre 3197 B.1 Ecriture des deformations ...............................197 B.2 Calculdelacontrainte.................................198 B.3 Calculdel'eort ....................................200 C Calcul du module dynamique associeaundeveloppement en series a l'ordre 3203

C.1 Expression deK

1 (U 0 ;;!) ..............................203

C.2 Expression deK

2 (U 0 ;;!)..............................206 viTable des matieres

C.3 Expression deK

3 (U 0 ;;!)..............................207 DCalculdesderivees de l'energie de deformation hyperelastique 211 E Calcul de l'expression de la raideur dynamique d'un cylindre en traction compression213 E.1 Equilibre statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 E.2 Calculdumoduledynamique.............................215 F Mesure du module dynamique autour d'une precharge: quelques resultats experimentaux 217 F.1 Cas des essais de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 F.1.1 Resultats experimentaux pour un essai quasi statique . . . . . . . . . . . 217 F.1.2 Excitation harmonique autour d'une precharge ...............219 F.1.3 Quelquesremarques ..............................220 F.2 Casdesessaisdecompression.............................222 F.2.1 Resultats experimentaux pour un chargement quasi statique . . . . . . . . 222 F.2.2 Resultat experimentaux pour les excitations sinusoidales autour d'une precharge ....................................223 F.2.3 Quelquesremarques ..............................225 G Exemple d'identication du modele hyperviscoelastique 227 G.1 Identication de la partie ne dependant que de la precharge............228 G.2 Identication de la partie ne dependant que de la frequence............229

Introduction1

Introduction

Contexte de l'etude

Ce travail s'inscrit dans le cadre d'un contrat CIFRE entre CFGOMMA BARRE THOMAS et le Laboratoire de Tribologie et de Dynamique des Systemes de l'Ecole Centrale de Lyon. L'objectif de la these est d'ameliorer la modelisation des liaisons elastiques en caoutchouc uti- lisees dans l'automobile, et dont le r^ole majeur est d'assurer un bon ltrage an d'attenuer les vibrations du vehicule induites par la route et le groupe motopropulseur. De par leur utilisation, ces pieces sont ainsi amenees a subir des petits debattements autour d'une grande precharge statique. Pour simuler la reponse de ces cales, il faut tenir compte de la complexiteducomporte- ment mecanique des elastomeres. Ce comportement est en eet fortement non lineaire, et la reponse de la piece dependra entre autres de laprecharge,delafrequenceet del'amplitude d'excitation, les non linearites intervenant aplusieursniveaux: { en quasi statique, le materiau peut subir de tres grandes deformations et revenir en- suite a sa conguration initiale, sans deformation permanente. On peut donc imposer des taux de precharge de plusieurs dizaines de pourcent. Pour modeliser alors le com- portement de la piece sous sollicitation quasi statique, on utilise des lois de comporte- menthyperelastiques. Les non linearites intervenant sont alors alafoisgeometriques (le materiau subit une grande deformation) et comportementales (les lois de comportement utilisees permettent d'ecrire une relation non lineaire entre le tenseur des contraintes et le tenseur des deformations). { en dynamique, ces materiaux ont de plus des proprietes amortissantes qui leur permettent de dissiper de l'energie. Ils presentent une rigidication en frequence sous excitation harmo- nique: on utilise des lois de comportement viscoelastiques pour representer ces phenomenes. Il faut toutefois remarquer que la viscoelasticitelineaire est insusante pour bien apprehender le comportement de ces pieces: elle ne prend pas en compte d'une part l'aspect grandes deformations et d'autre part les caracteristiques non lineaires du materiau. { en dynamique, le comportement est ainsi dissipatif non lineaire: si on impose autour d'une conguration prechargee des deformations susamment petites pour que le modele

2 Introduction

hyperelastique puisse ^etre linearise, la reponse en frequence obtenue sera non lineaire. Le module dynamique depend en eet fortement de l'amplitude de l'excitation imposee, m^eme pour de faibles niveaux. Cette dependance en amplitude est alors comportementale, elle appara^t pour des niveaux de deformation n'induisant pas de non linearites geometriques. Pour representer le comportement dynamique du caoutchouc, il faut tenir compte des deux aspects: le comportement statique non lineaire alaprecharge (d^ua l'appliquation d'une grande deformation), et la reponse non lineaire en amplitude (principalement pour de faibles niveaux d'excitation vibratoire). Il est ainsi necessaire de bien ma^triser les phenomenes a prendre en compte pour la simulation du comportement mecanique de ces elements de liaison en elastomere. A cette diculte s'ajoute l'exigence d'elaboration de modeles numeriques simplies: en ef- fet vu le nombre d'elements en elastomere dans un vehicule, on ne peut pas se permettre de modeliser nement chacun de ces elements pour simuler le comportement routier ou vibratoire. Or les caracteristiques mecaniques de ces pieces ont une influence certaine sur ce comportement. Ce travail de these a pour but de proposer une modelisation simpliee qui permette d'ap- proximer la reponse non lineaire de ces pieces soumises a un chargement quelconque. L'objectif est d'avoir un modele avec peu de degres de libertes, qui puisse integrer les non linearites aussi bien geometriques que comportementales. Le modele doit egalement ^etre predictif, et donc prendre en compte la geometrie de la piece. A partir de coecients identies sur des echantillons d'elastomere, on desire ^etre capable de predire le comportement d'une cale, soumise a une ex- citation donnee. Le chargement qui nous preoccupe plus particulierement dans cette etude est le cas des excitations sinusoidales autour d'une precharge. Pour bien le modeliser, il nous faut etudier l'influence de la frequence, de l'amplitude de l'excitation, et de la precharge statique sur la reponse dynamique de la cale.

Plan du memoire

Ce memoire de these est constituede5chapitres.

Le premier chapitre est consacrea un rappel des caracteristiques mecaniques des elastomeres. Il s'agit d'une etude phenomenologique des materiaux type caoutchouc, permettant de passer en revue les specicites du comportement de ce materiau. Le deuxieme chapitre etablit un etat de l'art, non exhaustif, de la modelisation de ce com- portement. Ce chapitre s'articule autour de 3 points principaux. Dans un premier temps, nous rappelons quelques elements de mecanique des milieux continus en grandes deformations, puis nous passons en revue les principaux travaux de recherche concernant les modeles de comporte- ment hyperelastique et dissipatif des elastomeres. Dans le troisieme chapitre, nous presentons une modelisation simpliee permettant de simu- ler le comportement de ces cales. Le modele propose doit prendre en compte la geometrie ainsi que les proprietes mecaniques des cales. Ce modele numerique est valide par des confrontations

Introduction3

modele simplie/calcul elements nis complet de la piece. Les lois de comportement introduites dans cette modelisation sont des lois hyperelastiques et viscoelastiques (modeles rheologiques ou fractionnaires). Les deux derniers chapitres sont consacres a l'extension du modele pour prendre en compte la dissipation non lineaire des elastomeres. Le quatrieme chapitre est plus particulierement consacrea l'aspect comportemental de cette dissipation non lineaire. Pour approcher ce comportement, un developpement en series de Vol- terra est realise. Les predictions du developpement en serie sont ensuite comparees a une base de donnees experimentales, constituee d'essais adierents niveaux d'amplitude de vibration. Enn dans le chapitre V nous presentons une approche pour caracteriser le comportement dynamique autour d'une grande precharge statique. Pour ce faire une loi hyperviscoelastique est linearisee. Une confrontation entre l'expression ainsi obtenue et des resultats experimentaux a dierents niveaux de precharge est ensuite realisee.

4 Introduction

5

Chapitre I

Les elastomeres

Ce chapitre introductif a pour but d'analyser le comportement des materiaux type caou- tchouc d'un point de vue phenomenologique. Les applications des elastomeres sont en eet multiples tant pour ses proprietes elastiques (plusieurs centaines de pourcent de deformation possible) que pour sa capacitea amortir les vibrations. Sa nature complexe et notamment la presence des cha^nes carbonees lui confere des comportements hautement non lineaires. An d'en comprendre les mecanismes un grand nombre d'etudes ont eterealisees [47, 25, 17]. Nous proposons ici d'en donner les principaux resultats en ce qui concerne le comportement physique, l'etude des modeles capables de restituer ces comportements faisant l'objet du chapitre II. Apres avoir evoque l'origine du caoutchouc, nous nous interesserons a quelques proprietes fondamen- talesdecemateriau. Nous rappellerons en particulier ses proprietes elastiques et dissipatives ainsi que les grandeurs qui le caracterisent et leurs proprietes.

I.1 Qu'est ce que le caoutchouc?

Le caoutchouc naturel et ses homologues synthetiques, leselastomeres, sont fortement repandus dans le domaine de l'industrie. La multiplicite des utilisations des elastomeres provient de ca- racteristiques mecaniques tres interessantes:quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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