Feuille dexercices : Arithmétique PDF

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Exercice 36 [ 01231 ] [Correction]. Soit σ: Z → N qui à n ∈ Z associe la somme de diviseurs positifs de n. (a) Soit p ∈ P et α ∈ N∗. Calculer σ(pα).

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Arithmétique dans Z

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Arithmétique Pascal Lainé ARITHMETIQUE Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : 6 Le produit des entiers de 3 à 10 est divisible par 1000

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Montrer que : 2n divise (3 +?5)n + (3 ??5)n MPSI-Maths Mr Mamouni Feuille d'exercices: Arithmétique Page 1 sur 6 http://www chez com/myismail myismail1

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Exercice 6 Écrire 13 en base 2 en base 3 puis en base 7 Solution Commençons par la base 2 En utilisant la division euclidienne on obtient : 13 = 6 × 2

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26 juil 2004 · = ab ? a ? b ? d d'où le résultat Exercice 6 Montrer que les fractions 12n + 1 30n + 2 et 21n + 4

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Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8 Exercice 5 Montrer que

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10 sept 2019 · Cours L'ARITHMETIQUE PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF avec Exercices avec solutions I) LA DIVISIBILITE DANS ?

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traiter les exercices proposées aux olympiades internationales de car on peut écrire 6 = 2 × 3 (et donc 2 (ou 3) est un diviseur strict de 6)

Exercice 10 Notons a=1 111 111 111 et b=123 456 789 1 Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b 2 Calculer p= pgcd(a;b) 3 Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que au+bv= p Correction H Vidéo [000303] Exercice 11 Résoudre dans Z: 1665x+1035y=45: Indication H Correction H Vidéo [000305]

Feuilled'exercices:

Arithm´etique

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Exercice

1.Montrerlesproprietessuivantes:

1)8(a;b;c)2N

3 :(9divisea 3 +b 3 +c 3 ))(3diviseaoub ouc)

2)8(a;b;c)2N

3 :(7divisea 3 +b 3 +c 3 ))(7diviseabc)

3)8n2Nona:6divise5n

3 +n

4)8n2Nona:9divisen

3 +(n+1) 3 +(n+2) 3

Exercice

2.Donnerlechiresdesunitesde4444

4444

Indication:OnpourratravaillerdansZ=10Z:

OnposeN=4444

4444

TrouverC.

congrusmodulo9,etquesin<10 k ,alors'(n)9k

Exercice

3.SoitN=111111111,ecritenbase10.

Justierque:N

2 =12345678987654321

Exercice

4.. queljourserale22102007?

2)Dansquelleanneele2211seraunmercredi?

Exercice

5.Trouvertousleschiresxetyquiverient:

28x75y

10 estdivisiblepar3etpar11.

Exercice

6.Soit(a;b)2N

N ,montrerque: a^b=1,ab^(a+b)=1:

Exercice

7.ResoudredansN

N lesystemesuivant: 8 :xy x_y=(x^y) 2 x_y+x^y=156

Exercice

8.Soitn2N,onposex=3n+1;y=5n1.

1)Montrerquex^ydivise8:

2)Trouverlesentiersntelsquex^y=8:

Exercice

9.Soitn2N.Montrerque:

2 n divise3+p 5 n +3p 5 n

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Exercice

10.Soienta;b2N

premiersentreeuxtelsqueabest

Exercice

11.Soienta;b2N

etm;npremiersentreeuxtelsque a n =b m .Montrerqu'ilexistec2N telquea=c m etb=c n

Exercice

12.Soienta2N;a2;(m;n)2N

N telquemn.

Onposem=qn+ravec0r
1)Montrerque:9b2N;a
m 1=(a n 1)b+a r 1:
2)Montrerque:(a
m 1)^(a n 1)=a m^n 1:
3)Montrerque:(a
n
1)divise(a
m
1)()ndivisem

4)SoitN
k lenombrequis'ecritenbase10aveckchires tousegauxa1.
Montrerque:N
h diviseN k ()hdivisek.
Exercice
13.
NombresdeFermat.mathematicienfrancais,

1601-1665:

LesnombresdeFermatsontceuxdelaforme:F
n =2 2 n +1 deuxadeux
2)MontrerqueF
n estpremierpourn2[j0;4j]maisF 5 ne l'estpas
3)Soita2N
montrerquesi2 a +1estpremieralorsaest unepuissancede2 lesontpas:F 1945
quiaplusde10582chiresestdivisiblepar 2 1947

5+1quiaexactement587chires.

Exercice
14.
Decompositionacoecientspositifs:

Soienta;b2N
premiersentreeux.
Montrerque:8xab,9u;v2Ntelsqueau+bv=x.

Exercice
15.
Cribled'Erathostene
unnombreestpremier.
3)Donnerles20premiersnombrespremiers

Exercice
16.
Critered'Eseinstein

1)Soient(p;q)2ZNtelquep^q=1et(ai)
0in 2N n+1
Montrerquesip
q2Qestsolutiondel'equation: a n X n +a n1 X n1 +:::+a 0 =0 alors:pdivisea 0 etqdivisea n
2)Resoudrel'equation:30X
3 37X
2 +15X2=0
Exercice
17.
NombresdeMersenne:

Ilssontdelaforme:M
p =2 p
1avecppremier.
entreeuxdeuxadeux.
2)Soit(a;b)2N
N telque:a b
1estpremier,montrer
alorsque:a=2etbpremier. nombredeMersenneM
232582657
=2
232582657
1=
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Exercice
18.
TheoremedeWilson.

Soitpunentierpremier.

1)Montrerque8
a2(Z=pZ) ;9 b2(Z=pZ) telque a b= 1.
2)Endeduireque:(p1)!1(modp).

Exercice
19.
Cryptographie-RSA
adecoder,etClemessagecodeenvoye.
1)Ditespourquoi'(n)=(p1)(q1).
d2Ztelqueed1(mod'(n)).
3)LemessageMestcodeenCtelqueCM
e (modn).
Endeduireque:C
d
M(modn).
etepuisque'(n)=(p1)(q1)etde 1 ['(n)].
Exercice
20.
PetitTheoremedeFermat.

Soitpunnombrepremier.

1)Montrerquepdivisep
k ;8k2[j1;p1j].
Indication:UtiliserletheoremedeGauss.

2)Montrerquepourtousn;m2N
2 ona: (n+m) p n p +m p (modp)
3)Quepeut-ondirealorsdel'application
:Z=pZ!Z=pZ x7! x p
4)Montrerque:8n2N:n
p n(modp).
Exercice
21.

ProblemedeBezout:
solutionsdansZ 2 cetteequationadmetteunesolution.
2)Soit(x
0 ;y 0 )unesolutionparticuliereduproblemede tions(x;y)enfonctiondea;b;d=a^b;x 0 ety 0
3)ResoudredansZ
2 a)95x+71y=46. b)20x53y=3. c)12x+15y+20z=7. d)2520x3960y=6480.
Exercice
22.

Congruencessimultanees,theoremedesrestes
chinois
Soienta;b;n;m2Zavecn^m=1.

Onconsiderelesysteme:xa(modn)
xb(modm)(S)
1)Justierl'existencede(u;v)2N
2 telquenu1(modm) mv1(modn).
2)Endeduirequex
0 =amv+bnuestunesolutionparti- culieredusyteme(S). avecx 0 modulonm.
4)Resoudre:x2(mod140)
x3(mod99)
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Exercice
23.

Theoremedesresteschinoisgeneralise:

Soientm
1 ;:::;m n desentiersdeuxadeuxpremiersentreeux, x2Z:8 :xa 1 (modm 1 xa 2 (modm 2 xa n (modm n )(S)
1)Montrerque:8i2[j1;nj];9u
i
2Ntelque
M i u i
1(modm
i ),ouM i =M m i ,avecM= n Yi=1 m i
2)Montrerquex
0 n X i=1 a i M i u i estsolutionparticulierede (S). congruesax 0 modM,endeduirel'ensembledesolu- tionsdusyteme.
4)Originedel'appelation.
pirate).Celuicirecoit3pieces. rates?
Reponse:785

Exercice
24.
p-valuation. v p
Exemple:v
2 (8)=3;v 2 (12)=2.
1)Quevautv
p (n)sin^p=1
2)Justierque8i2N;p
i divisen=)iv p (n).
3)Montrerquepourtoutx2Retn2N
,ona: E E(nx) n =E(x)
4)Endeduireque8(i;j)2N
2 p i+j n=)E1 p j En p i =En p i+j
5)Onposem=E
np ,montrerque:v p (n!)=m+v p (m!).
6)Applications:
a)Calculerv 7 (10000!)
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Exercice
25.

ProduitdeDirichletetFormuled'inversionde

Moebius.
{Unefonctionf:N !Nestditearithmetiquemultipli- f(nm)=f(n)f(m),pourtousn;mtelquen^m=1. ondenitl'operationsuivante(fg)(n)=X djn f(d)gn d ap- peleeProduitdeDirichlet. {Pourtoutn2N onnoteparD n l'ensembledesesdiviseurs dansN {LafonctiondeMoebiusestdenitpourtoutn2N parla relationsuivante:(n)=0si9ppremiertelquep 2 divisen =(1) r sinon,ourdesignelenombre desdiviseurspremiersden sin6=1ete(1)=1.
2)Montrerqueestdistributiveparrapporta+.
N egalea1.
4)Soientf;g2Mtelqueg(n)=X
djnquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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