Représentation paramétrique de droites de plans Applications PDF

Exemples : Trouvez une droite parallèle disjointe à y = 4x + 2 et qui passe par le point P(13)? a1 = a2 donc

EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Si a = 0 y = b est l'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des abscisses Deux droites seront confondues si elles ont la même équation réduite.

DROITES ET PLANS DE LESPACE

l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles. droite (BE) car dans un triangle équilatéral les médianes et les hauteurs sont confondues.

CHAPITRE III : PERPENDICULAIRE ET PARALLELE I. Définitions et

Droites parallèles. Définition : Ce sont deux droites qui ne sont pas sécantes. Soit elles n'ont aucun point commun. Notation : Le symbole « // » signifie «

2. Droites -6e

Droites parallèles : Droites qui ne sont pas sécantes. (même en les prolongeant). On note (d) // (d'). Droites confondues parallèles : Droites qui se

6e - Droites sécantes perpendiculaires et parallèles

Tracer la droite (d2) perpendiculaire à la droite (d1) passant par le point E. III) Droites parallèles. 1) définition : Deux droites parallèles sont deux

Représentation paramétrique de droites de plans Applications

1 Représentations paramétriques d'une droite de l'Espace Reste à déterminer si les deux droites sont strictement parallèles ou confondues.

Propriétés des Symétries

confondue : mais alors ne pourrait pas être sécante à la première. Autres propriétés des symétries axiales. Une droite perpendiculaire à l'axe d'une

TG Chapitre 2 -leçon

Par le point A il passe une et une seule droite ( )d? perpendiculaire à la Si deux droites ont deux points en commun

Notions de base en géométrie

Définition 4 : Deux droites confondues sont deux droites parallèles ayant un point Méthode de construction : Tracer la droite parallèle à la droite (d) ...

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Par ailleurs la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (BE) car dans un triangle équilatéral les médianes et les hauteurs sont confondues Ainsi (AC)

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Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes Exemple : Les droites (d1) et (d2) sont parallèles Remarque : Deux droites sont parallèles

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Droites parallèles Définition : Ce sont deux droites qui ne sont pas sécantes Soit elles n'ont aucun point commun Notation : Le symbole « // » signifie « est

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II - Droites parallèles Définition Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes Remarque : • Soit deux droites parallèles sont confondues ;

[PDF] Droites parallèles et perpendiculaires I Droites sécantes

On utilise une équerre pour tracer une droite perpendiculaire à une autre donc parallèles On dit aussi que les droites (IJ) et (JK) sont confondues

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1 mai 2020 · Tracer la droite perpendiculaire à la droite ( )d passant par le point A Etape 1 Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon suffisamment

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Identifier des droites perpendiculaires et parallèles DÉFINITION : Droites parallèles semblent perpendiculaires ou non confondues ou dis- tinctes

Droites parallèles et perpendiculaires : cours de maths en 6ème

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[PDF] Droites parallèles Droites sécantes du plan - Meilleur En Maths

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires Si d et d' ont un point commun alors d et d' sont confondues

Qu'est-ce qu'une droite parallèle confondu ?
Des droites parallèles confondues sont des droites qui ont exactement la même inclinaison et qui se chevauchent sur toute leur longueur. En d'autres mots, ce sont deux droites qui, une fois superposées, donnent une seule et même droite.
Comment justifier que deux droites sont confondues ?
On sait que deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles ou confondues si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. On vérifie donc que les deux droites n'ont pas le même coefficient directeur.
Comment savoir si deux droites sont parallèles ou confondues ?
On rappelle que deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Si les deux droites sont parallèles à l'axe des ordonnées, alors elles sont parallèles.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Si deux droites parallèles se coupent en un point, elles se chevauchent complètement. Dans ce cas, les deux droites sont confondues.

Représentation paramétrique

de droites, de plans

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentations paramétriques

1.1 Définition

1.2 Intersection de deux droites

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Table des figures

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

3 Positions relatives de deux plans

Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace

1.1 Définition

On se place dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace. SoitDune droite passant par un pointA(xA;yA;zA)et de vecteurdirecteur!u0 @a b c1 A M(x;y;z)est un point deDsi et seulement si il existe un réelttel que!AM=t!u.

En passant aux coordonnées, on obtient :

8>< :xxA=at yyA=bt zzA=ctc"est-à-dire8 :x=xA+at y=yA+bt

z=zA+ctDéfinition :On appellereprésen tationparamétrique ou système d"équations paramétriques de la droite

Dpar un pointA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur!u0 @a b c1 A le système : 8 :x=xA+at y=yA+bt z=zA+ctavect2R

Le réeltest appelép aramètre.Remarques :1.Un p ointMest surDsi et seulement si il existe un réelttel que les coordonnées deM

vérifie le système d"équations paramétriques deD. 2. Récipro quement,si la droite admet comme équation paramétrique8 :x=x0+t y=y0+t z=z0+ t, cette droite passe par le pointM0(x0;y0;z0)et admet comme vecteur directeur!v0 1 A 3.

P ourobtenir une représen tationparamétrique d usegmen t[AB], il suffit de prendre comme vecteur

directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; 1]. 4.

P ourobtenir une représen tationparamétrique de la demi-droite [AB), il suffit de prendre comme

vecteur directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; +1[. Exercices :16, 18, 19 page 299 et 86, 87 page 3101- 107 page 3142- 115 page 3163- 119, 120, 121 page 316

4[TransMath]

1.2 Intersection de deux droites

Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l"Espace sont rappelées dans le tableau

1 Remarque :Dest une droite de vecteur directeur!uetest une droite de vecteur directeur!v.

Si !uet!vsont colinéaires :

Si Detn"ont pas de point commun, elles sont strictement parallèles; Si Detont un point commun, elles sont confondues.1. Représentation paramétrique d"une droite.

2. Type BAC.

3. Points équidistants de trois points.

4. Segments, demi-droites.

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites

Si !uet!vne sont pas colinéaires : Si Detn"ont pas de point commun, elles sont non coplanaires; Si Detont un point commun, elles sont sécantes. %Exercice résolu :Dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace, on considère les droitesD1,D2etD3 de représentations paramétriques : D 1:8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tt2RD2:8 :x=6t+ 8 y=12t+ 1 z= 9t2t2RD3:8 :x=t+ 6 y= 3t1 z=2t+ 2t2R

Étudier les positions relatives deD1etD2puis deD1etD3.Positions relatives deD1etD2:Un vecteur directeur deD1est!u0

@2 4 31
A et un vecteur directeur deD2est!v0 @6 12 91
A On a !v=3!u. Les vecteurs!uet!vsont colinéaires donc les droitesD1etD2sontparallèles. Reste à déterminer si les deux droites sontstrictement parallèlesouconfondues.

Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.

A2 D2()8

:6t+ 8 =1

12t+ 1 = 0

9t2 = 5()8

:t=32 t=112 t=79

Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.

Les droitesD1etD2sont doncstrictement parallèles. Positions relatives deD1etD3:Un vecteur directeur deD1est!u0 @2 4 31
A et un vecteur directeur deD3est!w0 @1 3 21
A

Les vecteurs

!uet!wne sont pas colinéaires donc les droitesD1etD3sont soitsécantes, soitnon coplanaires. On va donc chercher un éventuel point d"intersection àD1etD3. M(x;y;z)2 D1\ D3()il existe deux réelstetstels que8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tet8 :x=s+ 6 y= 3s1 z=2s+ 2

On a donc :

8>< :1 + 2t=s+ 6

4t= 3s1

53t=2s+ 2()8

:s= 2t7

4t= 3(2t7)1

53t=2(2t7) + 2()8

:s= 2t7

4t= 6t22

53t=4t+ 16()8

:s= 15 t= 11 t= 11 Les droitesD1etD3sont doncsécanteset leur point d"intersection a comme coordonnées : 8>< :x=1 + 211 = 21 y= 411 = 44 z= 5311 =28 3

RÉFÉRENCES

Remarques :1.A ttention!Lors de la rec herched"un év entuelp ointd" intersectionen tredeux droites, il

fautabsolumentdonner deux noms différents aux deux paramètres. 2.

Si les droites a vaientété non coplanaires, on aurait, lors de la résolution du système, trouv édeu x

valeurs différentes pourt(ous), ce qui est impossible. Exercices :20, 21, 22, 23 page 300; 90 page 310 et 92, 93 page 3115- 108, 109 page 3146[TransMath]

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Un planPest caractérisé par la donnée d"un pointA(x0;y0;z0)et de deux vecteurs directeurs~u0

@a b c1 A et ~v 0 @a0 b 0 c 01 A non colinéaires

M(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires

!AM=t~u+t0~v, avect;t02R ()8 :xx0=at+a0t0 yy0=bt+b0t0 zz0=ct+c0t0; t;t 02R 8 :x=x0+at+a0t0 y=y0+bt+b0t0 z=z0+ct+c0t0; t;t 02R

Le système obtenu est appelé

représen tationparamétrique du plan P.

On peut utiliser cette représentation paramétrique pour étudier les positions relatives d"une droite et d"un plan

(voir tableau 2 ) ou de deux plans (voir tableau 3

Remarque :Il existe un moyen plus simple d"étudier ces positions relatives. il sera vu dans le chapitre

" Orthogonalité, produit scalaire » et fait intervenir les équations de plans.

Exercices :94, 95, 96, 97 page 311[TransMath]

Références

[TransMath]

T ransMATHT ermS, Programme 2012 ( Nathan)

4 5. Positions relatives de deux droites.

6. Type BAC.

RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESPositions relatives deD1etD2CoplanairesNon coplanairessécantesstrictement parallèlesconfondues

un point commun uniquepas de point communtous les points sont communsil n"existe pas de plan

contenant les deux droitesTable1 - Positions relatives de deux droitesPositions relatives deDetPsécantsparallèles

DetPont un seul point

communDetPn"ont aucun point

communDest incluse dans le planP.Table2 - Positions relatives d"une droite et d"un planPositions relatives des plansP1etP2sécantsparallèles

confondusstrictement parallèlesou disjointsleur intersection est la droiteDleur intersection est un planleur intersection est vide

Table3 - Positions relatives de deux plans

5quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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[PDF] Représentation paramétrique de droites de plans Applications

Qu'est-ce qu'une droite parallèle confondu ?

Comment justifier que deux droites sont confondues ?

Comment savoir si deux droites sont parallèles ou confondues ?

Représentation paramétrique

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentations paramétriques

1.1 Définition

1.2 Intersection de deux droites

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Table des figures

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

3 Positions relatives de deux plans

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace

1.1 Définition

On se place dans un repère

O;!{;!|;!k

En passant aux coordonnées, on obtient :

4[TransMath]

1.2 Intersection de deux droites

Si !uet!vsont colinéaires :

2. Type BAC.

3. Points équidistants de trois points.

4. Segments, demi-droites.

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites

O;!{;!|;!k

Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.

A2 D2()8

12t+ 1 = 0

9t2 = 5()8

Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.

Les vecteurs

On a donc :

4t= 3s1

53t=2s+ 2()8

4t= 3(2t7)1

53t=2(2t7) + 2()8

4t= 6t22

53t=4t+ 16()8

RÉFÉRENCES

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

M(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires

Le système obtenu est appelé

Exercices :94, 95, 96, 97 page 311[TransMath]

Références

T ransMATHT ermS, Programme 2012 ( Nathan)

4 5. Positions relatives de deux droites.

6. Type BAC.

DetPont un seul point

Table3 - Positions relatives de deux plans