[PDF] Théorie des Jeux - Jeux non coopératifs avec information incomplète

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Theorie des Jeux

Jeux non cooperatifs avec information incompleteMarc Plantevit marc.plantevit@univ-lyon1.fr Les jeux en informationincomplete(ou lesjeux bayesiens) cherchent a analyser les situations ou les joueursne connaissent pas parfaitementles donnees du jeu.Probleme Le probleme majeur dans ce cas est bien s^ur l'incompletude : si les joueurs ne connaissent pas parfaitement le jeu, comment peuvent-ils reagir de maniere rationnelle et a quel type de resultats pourrons-nous aboutir dans ce type de jeu?

2Le r^ole de la natureEx : duop oleEquilibre de Nash bayesien

Concepts etudies

Nous considerons dans cette partie l'analyse des jeux statiques en information incomplete :completer l'information avec la methode de Harsanyi; les types d'un joueur; la forme normale des jeux statiques bayesiens; les croyances des joueurs dans un jeu bayesien; la regle de Bayes; la denition des strategies dans un jeu bayesien; les strategies melangeantes et separatrices; l'equilibre de Nash bayesien.

3Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Plan

1Le r^ole de la nature

2Ex : duopole

3 Equilibre de Nash bayesien4Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien Harsanyi (1967-68) a le premier developpe l'outil necessaire a la modelisation de ce type de situation qui correspond a l'incompletude de l'information dans un jeu strategique.Considerons un jeu strategique J opposant deux joueurs. Le joueur 1 connait parfaitement les gains resultant de chaque paire de strategies possibles, tandis que le joueur 2 ne les connait pas parfaitement.Chacun connait neanmoins la liste des strategies qui est a la

disposition de chaque joueur.Supposons qu'elles soient ennombre ni.Comme le joueur 2 ne connait pas precisement les gains du jeu

auquel il participe, il possede des croyances sur ces gains.

5Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Ces croyances sont representees sous la forme d'un ensemble de fonctions de gains possibles et de probabilites attachees a chacune de ces fonctions.Notons parJkle jeu correspondant a lak-ieme fonction de gain et p

kla probabilite que le vrai jeu auquel le joueur est confronte soitJk.Chacun de ces jeux a exactement la m^eme structure, sinon le joueur

2 pourrait deviner a quel jeu il participe en observant cette structure.De plus, le joueur 2 sait que le joueur 1 conna^t parfaitement le jeu.

La maniere dont le joueur 2 percoit le jeu peut ^etre representee, selon Harsanyi, par un coup initial d'un joueur ctif, laNature, qui choisit le jeu.Harsanyi propose donc de remplacer le jeu strategique en information incomplete J par un jeu sequentiel en information

complete (mais imparfaite),J0, ou la Nature joue le premier.6Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Passage a l'information imparfaite.

La strategie du joueur 1 va prescrire uneaction dierentepour chacundesjeux possibles.tandis que la strategie du joueur 2 ne precisera qu'une seule action

pour tous les jeux,independamment du choix de la Nature.7Le r^ole de la natureEx : duop oleEquilibre de Nash bayesien

Plan

1Le r^ole de la nature

2Ex : duopole

3 Equilibre de Nash bayesien8Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien Considerons un duopole produisant un bien homogene dont la

demande inverse est donnee parp?Q? ?A?Q.Les fonctions de co^ut des deux rmes qui se font concurrence en

quantites sont donnees par C i?qi? ?ciqi;i?1;2 avecc1est parfaitement connu par les deux rmes, tandis qu'il existe une incertitude pour la rme 1 surc2car elle ne l'observe pas :c2? ?cF;cE?aveccE?c1?cF.P?cF? ??1?P?cE? donne la probabilite que la rme 2 ait des co^uts faibles.La rme 2 connait bien s^ur ses co^uts. La fonction de meilleure reponse de la rme 2 depend de son type de co^ut : maxq

2?A?q?1?q2?q2?cFq2;sic2?cF

max q2?A?q?1?q2?q2?cEq2;sic2?cE9Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien La production optimale de la rme dependra bien s^ur de ses co^uts et la rme 1 doit tenir compte de cela. Soitq?2?cF?la quantite qu'elle

attend du type faible etq?2?cE?, celle attendue du type eleve.La rme 1 sait que la probabilite de faire face au type F est. Elle

doit alors maximiser son prot espere max q

1??A?q1?q?2?cF??q1?c1q1???1????A?q1?q?2?cE??q1?c1q1?10Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Les meilleures reponses des rmes resulteront alors des conditions de premier ordre de ces problemes. q ?2?q1;cF? ?A?q1?cF2 q ?2?q1;cE? ?A?q1?cE2 et nous avons alors q ?2?q1;cF? ?q?2?q1;cE?;?q1et

E?q2? ?A?q1?E?c2?2

11Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Le probleme de la rme 1 devient alors :

max q

1?A?q1?E?q2? ?c1?q1

et il conduit a la fonction de meilleure reponse suivante : q ?1?q2? ?A?E?q2? ?c12 ?q?1?q2? ?A? ?q?2?cF? ? ?1??q?2?cE?? ?c12

12Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Duopole de Cournot en information incomplete

Dans ce jeu simultane, l'equilibre de Nash correspond a une situation dont aucune rme n'a inter^et a devier; ce qui correspond a l'intersection deq?1?q2?avecE?q2?(point E ci-dessus)13Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien Du fait de l'incertitude de la rme 1, les deux types de la rme 2 se trouvent lies q ?1?A?E?c2? ?2c13 q ?2?cF? ?2A?E?c2? ?2c1?3cF6 q ?2?cE? ?2A?E?c2? ?2c1?3cE6 avecq?2?cF? ?q?2?CE?puisquecE?cF(resp.qF2etqE2) On peut reecrire ces quantites d'equilibre pour faciliter la comparaison avec la production de la rme 2 en information complete (les pointsEF

etEErepresentent les equilibres qu'on eu en information complete).14Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

q ?i?A?2ci?cj3 ;i?j?1;2 q ?2?cF? ?A?2cF?c13 ? ?cE?cF??1?? ?A?2cF?c13 q ?2?cE? ?A?2cF?c13 ??cE?cF? ?A?2cE?c13 Dans l'equilibre de Nash avec information incomplete, la rme avec des co^uts eleves produit plus que ses quantites de Cournot et celle avec des co^uts faibles est amenee a produire moins que ses quantites en information complete : l'incertitude de son concurrent l'emp^eche de proter pleinement de ses co^uts faibles car elle sait que la reaction de son concurrent va resulter d'une esperance qui inclut necessairementcE: q ?1?cF?q?1?q?1?cE et la rme 2 doit en tenir compte pour eviter une baisse trop forte du prix.

15Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Plan

1Le r^ole de la nature

2Ex : duopole

3 Equilibre de Nash bayesien16Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien Equilibre de Nash bayesienChaque fois que l'incertitude porte sur une des caracteristiques d'un joueur, nous pouvons representer les dierents etats de la Nature comme des types dierents de ce joueur. Quand l'incertitude porte sur une autre caracteristique du jeu, il est quand m^eme souvent possible d'utiliser cette approche pour completer l'information, en modiant notamment les gains des joueurs en consequence pour les rendre dependants de son type :ui?s;ti?qui est

connu par le joueuripour tout type possibletide ce joueur.17Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Dans le jeu precedent :t2? ?cE;cF?ett1? ?c1?et les fonctions de gains sont1?q1;q2;c1?pour le joueur 1,2?q1;q2;cE?et2?q1;q2;cF?pour le joueur 2. Etant donnes les types possibles de tous les joueurs (contenus dansTi pour chaque joueur),t? ?t1;:::;tn?represente une distribution particuliere des types des joueurst?T?Xi?ITi. Dans notre exemple de duopoleT? ??c1;cF?;?c1;cE??avecT1? ?c1? etT2? ?cF;cE?.18Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien Nous pouvons alors noter, comme pour un prol de strategies, par t ?i? ?t1;:::;ti?1;ti?1;:::;tn?une distribution particuliere des types de tous les joueurs sauf celui du joueuri. Dans cette approche le joueuriconnait son propre typetimais il a juste une distribution de probabilites conditionnelles sur les types des autres joueurs :pi?t?i?ti?. Si les types des joueurs sont independants, cette distribution se reduit a p i?t?i?comme c'est le cas dans notre exemple. La representation en termes de types nous permet de formuler un cadre general pour analyser ce type de jeux.

19Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Denition : Jeu bayesien statique

Unjeu bayesien statiqueen forme normale est decrit par les elements

suivants :Unensembledenjoueurs:I? ?1;2;:::;n?.Pour chaque joueuri,i?I,un ensemble d'actionAi, qui contient toutes les actions possibles

de ce joueur et un ensembleTiqui contient les dierents types possibles de ce joueur.ai?Aiest une action particuliere du joueuri etti?Tiest un type du joueuri. SoitT?Xi?ITil'ensemble des

types des joueurs ett?T, un prol de types.une fonction de gain (VNM),uiqui represente les preferences du

joueuriet qui donne la valeur pour le joueuride chaque resultat du jeu etant donnee la distribution des types : u i:?Xi?IAi?XT?R ?a1;a2;:::;an;t1;t2;:::;tn? ??ui?a;t?20Le r^ole de la natureEx : duop oleEquilibre de Nash bayesien unedistribution de probabilitespiqui donne ses croyances quant aux types des autres joueurs p i:T? ?0;1? ?t1;t2;:::;tn? ??pi?t?i?ti? qui resulte de laregle de Bayesquand elle peut ^etre appliquee apres la revelation de son type au joueuri p i?t?i?ti? ?p?t?i;ti?p?ti??p?t?i;ti?? t ?i?T?ip?t?i;ti? Le dernier element de cette denition donne son nom a ce type de jeux.

21Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Les strategies d'un joueur dans ce jeu doivent ^etre construites a partir de l'ensemble des actions du joueur et de son ensemble de types :Denition Unestrategiedu joueurin'est pas directement donnee dans la denition du jeu mais elle est denie de maniere a preciser une action pour chaque typeti?Tia partir de l'ensemble des actionsAi: s i:Ti?Ai t i??si?ti? ?ai22Le r^ole de la natureEx : duop oleEquilibre de Nash bayesien

On parle alors de :

strategie separatricequand chaque type choisit une action dierente et destrategie melangeante(pooling strategy) quand tous les types du joueur choisissent la m^eme action.

23Le r^ole de la natureEx : du opoleEquilibre de Nash bayesien

Equilibre de Nash bayesienL'equilibre de Nash en strategies pures d'un jeu statique bayesien est un prol de strategiess?? ?s?1;:::;s?n?sis?i?ti?est la solution du probleme suivant pour chaque joueuriet pour chacun des typesti?Ti de ce joueur??i;?ti?Ti?: max a i?Ai? t ?i?T?iu

i?s?1?t1?;:::;s?i?1?ti?1?;ai;s?i?1?ti?1?;:::;s?n?tn?;t?pi?t?i?ti?24Le r^ole de la natureEx : duop oleEquilibre de Nash bayesien

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