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individus agressifs `a-0,75.´Ecrire la matrice des gains correspondante. Calculer l"efficacit´eEpa(p) de la strat´egie pacifique etEag(p)
de la strat´egie agressive en fonction du pourcentagepd"individus pacifiques dans la population. paag pa1 20 ag1-0,75 Lors d"une rencontre un individu a donc une probabilit´epd"ˆetre face `a un individu pacifique et 1-pd"ˆetre face `a un individu agressif. L"efficacit´eEpa(p) de la strat´egie pacifique est donn´ee par legain moyentir´e d"une telle rencontre : E pa(p) =p×12+ (1-p)×0 =12p
De mˆeme l"efficacit´eEag(p) de la strat´egie agressive est donn´ee par E ag(p) =p×1-(1-p)×0,75 =-0,75+ 1,75p2. D´eterminer le pourcentagep0d"individus pacifiques pour lequel il y a ´equilibre.
Il y a ´equilibre lorsque les efficacit´es des deux strat´egies sont ´egales : E pa(p) =Eag(p)??12p=-0,75 + 1,75p??p0=0,751,25= 0,6
3. TracerEpa(p) etEag(p) en fonction dep. Pour quelles valeurs depa-t-onEpa(p) quelles valeurs depa-t-onEpa(p)>Eag(p) ? Justifier par un calcul. 01 -11 0,5 -0,75 p 0pE ag E paD"apr`es le graphiquelorsquep > p0,Epa(p) est plus petite queEag(p), lorsquep < p0,Epa(p) est plus grande queEag(p). Par le calcul
E pa(p)2p <-0,75+ 1,75p??p >0,751,25=p0
E pa(p)>Eag(p)??1 Par le calcul
E pa(p)2p >-0,75+ 1,75p??p <0,751,25=p0.
4. En d´eduire sip0est un ´equilibre stable ou instable. Justifier
p0est un ´equilibre stable car
sip > p0alorsEpa(p)5. Un individu pris au hasard dans la population a une probabilit´epd"ˆetre pacifique et 1-pd"ˆetre
agressif. Calculer l"efficacit´e moyenneEmoy(p) pour un individu pris au hasard dans la population.
Comme on a une probabilit´epd"avoir un individu pacifique et 1-pd"avoir un individu agressif l"efficacit´e
moyenneEmoy(p) est la somme deEpa(p) et deEag(p) pond´er´ee par le poids des populations respectives
soitEmoy(p) =pEpa(p) + (1-p)Eag(p) =p×12p+ (1-p)×(-0,75 + 1,75p)
en d´eveloppantEmoy(p) =12p2-0,75 + 1,75p+ 0,75p-1,75p2
apr`es simplificationEmoy(p) =-1,25p2+ 2,5p-0,756. TracerEmoy(p) en fonction dep. Pour quelle valeurpmdepatteint-on le maximum deEmoy(p) ?
Justifier par un calcul.
0 -11 0,5 0,3 -0,75 p 0pE moyLe graphe deEmoy(p) est une parabole orient´ee vers le bas puisque le coefficient dep2est n´egatif. On ne trace que la partie obtenue pourpallant de 0 `a 1. On voit que E moy(0) =-0,75 puisqu"il n"y a que des individus agressifs et E moy(1) = 0,5 puisqu"il n"y a que des individus pacifiques.On calcule quelques valeurs :
p00,20,40,60,81Emoy(p)-0,75-0,30,050,30,450,5
On voit donc que le maximum est atteint pourp= 1.
Par le calcul, la d´eriv´ee deEmoy(p) est-2,5p+ 2,5. Elle s"annule enp= 1 qui est donc le sommet de la parabole.Doncpm= 1.
7. La valeurpmpour laquelle est atteint le maximum deEmoy(p) n"est pas l"´equilibrep0.
CalculerEmoy(p0) etEmoy(pm). Donner une interpr´etation biologique `a cet apparent paradoxe.Dans la question pr´ec´edente on a calcul´eEmoy(p0) =Emoy(0,6) = 0,3 etEmoy(pm) =Emoy(1) = 0,5.
L"efficacit´e moyenne maximale est atteinte pourp= 1, c"est-`a-dire pour une population compos´ee uni-
quement d"individus pacifiques.Mais la th´eorie des jeux d´ecrit la situation du point de vue de l"individu qui constate que, si la proportion
d"individus pacifiquespest plus grande quep0= 0,6 alors l"efficacit´epour un individude la strat´egie
agressive est meilleure que celle de la strat´egie pacifique. Le nombred"individus ayant un comportement
agressif va donc augmentermˆeme sicela fait baisser l"efficacit´e pour l"ensemble de la population.
8. Reprendre les questions 1. et 2. en fixant legain n´egatifr´esultant de la rencontre de deux individus
agressifs `a-x. Vers quoi tendp0lorsquextend vers 0 et lorsquextend vers +∞? Interpr´eter biologiquement paag pa1 20 ag1-x L"efficacit´eEpa(p) de la strat´egie pacifique est donn´ee par E pa(p) =p×12+ (1-p)×0 =12p.
De mˆeme l"efficacit´eEag(p) de la strat´egie agressive est donn´ee par E ag(p) =p×1 + (1-p)×(-x) =-x+ (1 +x)p. On a ´equilibre lorsque les efficacit´es des deux strat´egies sont ´egales : 12p=-x+ (1 +x)p??p0=x0,5+x.
Lorsquextend vers 0,p0tend vers 0 : lorsque le coˆut des combats tend vers 0 le pourcentage d"in- dividus pacifiques tend vers 0, on gagne plus `a ˆetre agressif.Lorsquextend vers +∞,p0tend vers 1 : lorsque le coˆut des combats devient tr`es grand le pourcentage
d"individus agressifs tend vers 0.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12[PDF] théorie des jeux cours
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