Chapitre13 : Fonctions hyperboliques
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/ I Les fonctions hyperboliques directes ... B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique).
FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES
Responsable : Alessandra Frabetti. Printemps 2010 http ://math.univ-lyon1.fr/?frabetti/TMB/. FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES. 1. Définitions :.
Chapitre III - Fonctions hyperboliques
A Fonctions hyperboliques directes. A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique. A.1.1 Définition. On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh
Petit formulaire bien utile Formules trigonométriques
Fonctions hyperboliques. On rappelle que les fonctions sinus hyperbolique sh cosinus hyperbolique ch et tangente hyper- bolique th sont définies sur R. Par
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cosinus hyperbolique et un paramètre a (qui dépend de la longueur du fil et de l'écartement des poteaux) : y = ach. ( x a. ) 1. Logarithme et exponentielle.
sh(x) = b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x)
1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = ex ? e?x cours. Soit z ? C fixé et z = x + iy sa décomposition en partie réelle et partie imaginaire.
Synthèse de cours PanaMaths ? Fonctions hyperboliques
La fonction réciproque de la fonction cosinus hyperbolique est appelée « argument cosinus hyperbolique » et est notée arg cosh (ou arg ch ).
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Chapitre III Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques A Fonctions hyperboliques directes A 1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique
Comment calculer la fonction hyperbolique ?
sh ( x ) = e x ? e ? x 2 . C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur R et dont la courbe représentative est : cosinus hyperbolique : ch(x)=ex+e?x2. ch ( x ) = e x + e ? x 2 .Comment calculer Argsh ?
En outre, on peut donner une expression exacte pour argsh , qui est argsh(x)=ln(x+?x2+1). ? La fonction ch est une bijection de R+ sur [1,+?[ . Sa réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée argch .Quelle est la dérivée de cosinus hyperbolique ?
Sa dérivée est la fonction sinus hyperbolique, notée sinh. cosh est paire. Les primitives de cosh sont sinh + C, où C est une constante d'intégration.- Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x2 + y2 = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x2 – y2 = 1.
Chapitre III
Fonctions hyperboliquesA Fonctions hyperboliques directesA.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique
A.1.1 D´efinition
On appelle fonctionsinus hyperboliquela fonction sh :R→R,x?→shx=ex-e-x2 .On appelle fonctioncosinus hyperboliquela fonction ch :R→R,x?→chx=ex+e-x2 .A.1.2 Remarques ?La fonction sh est impaire et la fonction ch est paire. En effet, elles sont d´efinies surRet, pour toutx?R, on a sh(-x) =e-x-e-(-x)2 =--e-x+ex2 =-shxet ch(-x) =e-x+e-(-x)2 =e-x+ex2 = chx.Le graphe de la fonction sh admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a sh0 = 0.
Le graphe de la fonction ch admet donc l"axe des ordonn´ees pour axe de sym´etrie.?Pour toutx?R, on a ch2x-sh2x= 1.
En effet, pour toutx?R, on a
ch2x-sh2x=?ex+e-x2
2-?ex-e-x2
2=?ex?2+ 2exe-x+?e-x?24
-?ex?2-2exe-x+?e-x?24 d"o`u ch2x-sh2x=4exe-x4
= 1.?Pour toutx?R, on a chx?1. En effet, soitx?R, on aex>0 ete-x>0 donc chx >0. D"autre part, la relation ch2x= 1+sh2x donne ch2x?1 donc chx?1 ou chx?-1. Comme chx >0, c"est donc que chx?1.
2Chapitre III- Fonctions hyperboliquesA.1.3 Proposition
La fonction sh est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est ch.La fonction ch est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est sh.D´emonstration
La fonction exponentielle est d´erivable surR, de mˆeme que la fonctionx?→e-x, donc les fonctionch et sh sont d´erivables surR(ce sont des sommes de fonctions d´erivables). Pour toutx?R, on a
sh ?x=?ex-e-x2 ?=ex-?-e-x?2 =ex+e-x2 = chxi.e.sh?= ch. De mˆeme, pour toutx?R, on a ch ?x=?ex+e-x2 ?=ex+?-e-x?2 =ex-e-x2 = shxi.e.ch?= sh.Passons `a l"´etude des variations de ces deux fonctions.?Pour la fonction sh, il suffit de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire. La d´eriv´ee
de sh est ch et on a vu que chx?1>0 pour toutx?Rdonc sh est strictement croissante surR.On a ch0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
f(x) = shx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eef?(x) = chx-1?0. La fonctionfest donc
croissante surRorf(0) = 0 doncf(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de sh est situ´e au-dessus de la droite Δ pourx?0 et en-dessous de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc shx----→x→+∞+∞. Cherchons
maintenant si le graphe admet une asymptote en +∞; pour toutx >0, on a shxx x→+∞+∞.Il n"y a donc pas d"asymptote en +∞.
On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe.x-∞0 +∞
sh?x= chx+ + shx+∞ -∞0 0A- Fonctions hyperboliques directes3
?Pour la fonction ch, il suffit l`a aussi de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction paire. La
d´eriv´ee de ch est sh et on a vu que shx >0 pourx >0 donc ch est strictement croissante sur ]0,+∞[.
On a sh0 = 0 donc le graphe de sh admet la droite Δ ?d"´equationy= 1 pour tangente en 0. Comme chx?1 pour toutx, le graphe de ch est situ´e au-desus de Δ?.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc chx----→x→+∞+∞. De mˆeme
que pour la fonction sh, le graphe de ch n"admet pas d"asymptote en +∞.On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe.x-∞0 +∞
ch?x= shx-+ chx+∞+∞10Δ
?A.2 Tangente hyperboliqueLe fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s"annule pas permet d"introduire la fonction suivante :
A.2.1 D´efinition
On appelle fonctiontangente hyperboliquela fonction th :R→R,x?→thx=shxchx=ex-e-xe x+e-x.A.2.2 Remarques?La fonction th est impaire (puisque sh est impaire et ch est paire). Son graphe admet donc l"origine
pour centre de sym´etrie; en particulier, on a th0 = 0.?Pour toutx?R, on a 1-th2x=1ch 2x.En effet, on peut ´ecrire : 1-th2x= 1-sh2xch
2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.A.2.3 Proposition
La fonction th est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est donn´ee par : th?(x) = 1-th2x=1ch 2x.4Chapitre III- Fonctions hyperboliquesD´emonstration
Les fonctions sh et ch sont d´erivables surRet la fonction ch est d´efinie sur toutRdonc le quotientth =
shch d´efinit bien une fonction d´erivable surR. Pour toutx?R, on a th ?x=?shxchx? ?=sh?xchx-shxch?xch2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.Passons `a l"´etude des variations. Il suffit d"´etudier th sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire.
La d´eriv´ee de th est?1ch
2donc th est strictement croissante surR.
On a ch0 = 1 donc le graphe de th admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
g(x) = thx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eeg?(x) =?1-th2x)-1?0. La fonctiongest donc
d´ecroissante surRorg(0) = 0 doncg(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de th est situ´e en-dessous de la droite Δ pourx?0 et au-dessus de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on a :
thx=ex-e-xe x+e-x=exe x1-e-2x1 +e-2x=1-e-2x1 +e-2xmaise-2x----→x→+∞0 donc le num´erateur et le d´enominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux
vers 1. Donc lim x→+∞thx= 1. Il s"ensuit que le graphe de th admet la droite d"´equationy= 1 pourasymptote en +∞(donc, par imparit´e, il admet la droite d"´equationy=-1 pour asymptote en-∞).
On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe.x-∞0 +∞
th?x=1ch2x+ + thx1 -10 0 -11B Fonctions hyperboliques r´eciproquesB.1 R
´eciproque de la fonction sinus hyperbolique?La fonction sh est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son imageRet on peut d´efinir son application r´eciproque.B.1.1 D´efinition On appellefonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh :R→R,x?→Argshx ,l"application r´eciproque de la fonction sinus hyperbolique.Pour toutx?R, on a sh?Argshx?=xet Argsh?shx?=x.
B- Fonctions hyperboliques r´eciproques5
Les variations de la fonction Argsh surRsont les
mˆemes que celles de la fonction sh surR.x-∞0 +∞Argshx+∞
-∞0 0ΔB.1.2 Proposition
La fonction Argsh est d´erivable surRet
pour toutx?R,Argsh?(x) =1⎷1 +x2.B.2 R´eciproque de la fonction cosinus hyperbolique?La fonction ch est continue et strictement croissante sur [0,+∞[, elle r´ealise donc une bijection de
cet intervalle sur son image [1,+∞[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.2.1 D´efinition
On appellefonction argument cosinus hyperbolique, et on noteArgch : [1,+∞[→[0,+∞[,x?→Argchx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique `a l"intervalle [0,+∞[.B.2.2 Remarques
?Pour toutx?1, on a ch?Argchx?=x.?Pour toutx?0, on a Argch?chx?=x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l"expression Argch?chx?est d´efinie pour toutx?R mais ne vaut exactementxque lorsquex?0. Les variations de la fonction Argch sur [1,+∞[ sont les mˆemes que celles de la fonction ch sur [0,+∞[. x1 +∞Argchx+∞
00 16Chapitre III- Fonctions hyperboliquesB.2.3 Proposition
La fonction Argch est d´erivable sur ]1,+∞[ et pour toutx?R,Argch?(x) =1⎷x2-1.B.3 R
´eciproque de la fonction tangente hyperbolique?La fonction th est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son image ]-1,1[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.3.1 D´efinition
On appellefonction argument tangente hyperbolique, et on noteArgth :]-1,1[→R,x?→Argthx ,l"application r´eciproque de la fonction tangente hyperbolique.
B.3.2 Remarques
?Pour toutx?]-1,1[, on a th?Argthx?=x.?Pour toutx?R, on a Argth?thx?=x. Les variations de la fonction Argth sur ]-1,1[ sont les mˆemes que celles de la fonction th surR.x-1 0 1Argthx+∞
-∞0 0-11ΔB.3.3 Proposition
La fonction Argth est d´erivable sur ]-1,1[ et
pour toutx?]-1,1[,Argth?(x) =11-x2.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] fonction reciproque sh
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