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Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/ I Les fonctions hyperboliques directes ... B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique).



FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

Responsable : Alessandra Frabetti. Printemps 2010 http ://math.univ-lyon1.fr/?frabetti/TMB/. FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES. 1. Définitions :.



Chapitre III - Fonctions hyperboliques

A Fonctions hyperboliques directes. A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique. A.1.1 Définition. On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh 



Petit formulaire bien utile Formules trigonométriques

Fonctions hyperboliques. On rappelle que les fonctions sinus hyperbolique sh cosinus hyperbolique ch et tangente hyper- bolique th sont définies sur R. Par 



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http://ginoux.univ-tln.fr. 1. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4. A. Fonctions exponentielle puissance et logarithme. 1. La fonction exponentielle de base a (.



Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

hyperboliques. 1 Rappel de cours. 1.1 Fonctions trigonométriques On définit les fonctions cosinus sinus et tangente



Cours de mathématiques - Exo7

Vidéo ? partie 3. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses de nouvelles fonctions : ch sh



Fonctions usuelles (Exo7)

cosinus hyperbolique et un paramètre a (qui dépend de la longueur du fil et de l'écartement des poteaux) : y = ach. ( x a. ) 1. Logarithme et exponentielle.



sh(x) = b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x)

1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = ex ? e?x cours. Soit z ? C fixé et z = x + iy sa décomposition en partie réelle et partie imaginaire.



Synthèse de cours PanaMaths ? Fonctions hyperboliques

La fonction réciproque de la fonction cosinus hyperbolique est appelée « argument cosinus hyperbolique » et est notée arg cosh (ou arg ch ).



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4 0 International » https://www immae eu/cours/ I Les fonctions hyperboliques directes B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique)



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FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 1 Définitions : Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et coth x en fonction de shx :



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http://ginoux univ-tln 1 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 A Fonctions exponentielle puissance et logarithme 1 La fonction exponentielle de base a (



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RECIPROQUES FONCTIONS HYPERBOLIQUES Définition On appelle fonction sinus hyperbolique cosinus hyperbolique tangente hyperbolique et cotangente



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10 1 2 Définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique On démontrera dans le cours d'analyse les résultats suivants Théorème 1



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Fonctions trigonométriques et hyperboliques réciproques I Quelques formules de trigonométrie 1 Identité remarquable 2 + 2 = 1; ?



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Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Corrections de Léa Blanc-Centi 1 Fonctions circulaires inverses Exercice 1 Vérifier arcsinx+arccosx =



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Chapitre III Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques A Fonctions hyperboliques directes A 1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique

  • Comment calculer la fonction hyperbolique ?

    sh ( x ) = e x ? e ? x 2 . C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur R et dont la courbe représentative est : cosinus hyperbolique : ch(x)=ex+e?x2. ch ( x ) = e x + e ? x 2 .

  • Comment calculer Argsh ?

    En outre, on peut donner une expression exacte pour argsh , qui est argsh(x)=ln(x+?x2+1). ? La fonction ch est une bijection de R+ sur [1,+?[ . Sa réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée argch .

  • Quelle est la dérivée de cosinus hyperbolique ?

    Sa dérivée est la fonction sinus hyperbolique, notée sinh. cosh est paire. Les primitives de cosh sont sinh + C, où C est une constante d'intégration.
  • Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x2 + y2 = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x2 – y2 = 1.
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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme

1. La fonction exponentielle de base a (

0a) xLn ax f xyfxae

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : xLn a xLn axx a e Ln a e Ln a a

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

01

1 ; eee

x xLn e x Ln x xex 2 xyxy xyeee 2 ,, x xy y exy ee 1, nxnxx x neeee ux ux euxe http://ginoux.univ-tln.fr 2

Limites :

0

1lim 1

x x e x lim x x e lim 0 x x e lim ; x x e x

2. La fonction logarithme de Neper

:f xyfx Lnx

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit :

1'Ln x

x

Propriétés

10Ln 1Ln e x xLn e x Ln x xex 2 ,, xy Lnx y Lnx Lny 2 ,, xxyLnLnxLnyy n n Lnx n Lnx

01 , 0xLnx

http://ginoux.univ-tln.fr 3

Limites

lim x Ln x 0 lim x Ln x 1 lim 11 x Ln x x lim 0 ; x Ln x x 00

1lim lim 11

xx Ln xx xLnx 0 lim 0 ; 0 x xLnx

3. La fonction puissance

mLn xm f xyfxxe

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 1 mm xmx http://ginoux.univ-tln.fr 4

4. La fonction cosinus hyperbolique

2 xx f eexychx

La fonction

ychx est une fonction PAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'ch x sh x

5. La fonction sinus hyperbolique

2 xx f eexyshx

La fonction

yshx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'shx chx http://ginoux.univ-tln.fr 5

6. La fonction tangente hyperbolique

xx xx f sh xeexythxch x e e

La fonction

ythx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'th xch x

Relations importantes

22

1ch x sh x

x ch x sh x e x ch x sh x e 2 2

11th xch x

Lien hypertexte

: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique http://ginoux.univ-tln.fr 6

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

2

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

2

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1, et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1, 1 et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argth x

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T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

: Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyperbolique.

N°2

: Étudier les fonctions :

1, , , 1x

ch x sh x th x th x

N°3

: Démontrer que : 2 2tan2 1tan 2 x sin x x 2 22
1 2 x th sh x x th

N°4

: Démontrer que

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

: Étudier la fonction 2 2 1 1x fx Argch x

N°6

: Démontrer que 11 21x

Argth x Ln

x

N°7

: Étudier la fonction

1fx Argth

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