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Chapitre III

Fonctions hyperboliques et applications

r

´eciproquesA Fonctions hyperboliques directes

A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperboliqueOn va d´efinir de nouvelles fonctions inspir´ees notamment par les formules d"Euler concernant les fonc-

tions sinus et cosinus.A.1.1 D´efinitionOn appelle fonctionsinus hyperboliquela fonction sh :R→R,x?→shx=ex-e-x2 .On appelle fonctioncosinus hyperboliquela fonction ch :R→R,x?→chx=ex+e-x2 .A.1.2 Remarques ?La fonction sh est impaire. En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a sh(- x) =e-x-e-(-x)2 =--e-x+ex2 =-sh x.

Le graphe de la fonction sh admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a sh0 = 0.?La fonction ch est paire.

En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a ch(- x) =e-x+e-(-x)2 =e-x+ex2 = chx.

38Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesLe graphe de la fonction ch admet donc l"axe des ordonn´ees pour axe de sym´etrie.

?Pour toutx?R, on a ch2x-sh2x= 1.

En effet, pour toutx?R, on a

ch

2x-sh2x=?ex+e-x2

2-?ex-e-x2

2=?ex?2+ 2exe-x+?e-x?24

-?ex?2-2exe-x+?e-x?24 d"o`u ch

2x-sh2x=4exe-x4

= 1.?Pour toutx?R, on a chx?1. En effet, soitx?R, on aex>0 ete-x>0 donc chx >0. D"autre part, la relation ch2x= 1+sh2x donne ch

2x?1 donc chx?1 ou chx?-1. Comme chx >0, c"est donc que chx?1.A.1.3 Proposition

La fonction sh est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est ch.La fonction ch est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est sh.D´emonstration

La fonction exponentielle est d´erivable surR, de mˆeme que la fonctionx?→e-x, donc les fonctionch et sh sont d´erivables surR(ce sont des sommes de fonctions d´erivables). Pour toutx?R, on a

sh ?x=?ex-e-x2 ?=ex-?-e-x?2 =ex+e-x2 = chxi.e.sh?= ch. De mˆeme, pour toutx?R, on a ch ?x=?ex+e-x2 ?=ex+?-e-x?2 =ex-e-x2 = shxi.e.ch?= sh.Passons `a l"´etude des variations de ces deux fonctions.

?Pour la fonction sh, il suffit de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire. La d´eriv´ee

de sh est ch et on a vu que chx?1>0 pour toutx?Rdonc sh est strictement croissante surR.

On a ch0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions

la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction

f(x) = shx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eef?(x) = chx-1?0. La fonctionfest donc

croissante surRorf(0) = 0 doncf(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de sh est situ´e au-dessus de la droite Δ pourx?0 et en-dessous de Δ pourx?0.

En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc shx----→x→+∞+∞. Cherchons

maintenant si le graphe admet une asymptote en +∞; pour toutx >0, on a shxx x→+∞+∞.

On dit que le graphe de sh admet en +∞unebranche paraboliquede direction l"axe des ordonn´ees.

A- Fonctions hyperboliques directes39

On peut pr´eciser ce r´esultat puisque

shx-ex2 =-e-x2 ----→x→+∞0- i.e.le graphe de sh et celui de la courbeCd"´equationy=ex2 sont asymptotes en +∞; de plus, la limite

´etant 0

-, le graphe de sh est situ´e en-dessous deC.

On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe.x-∞0 +∞

sh?x= chx+ + shx+∞ -∞0 0

ΔC?Pour la fonction ch, il suffit l`a aussi de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction paire. La

d´eriv´ee de ch est sh et on a vu que shx >0 pourx >0 donc ch est strictement croissante sur ]0,+∞[.

On a sh0 = 0 donc le graphe de sh admet la droite Δ ?d"´equationy= 1 pour tangente en 0. Comme chx?1 pour toutx, le graphe de ch est situ´e au-desus de Δ?.

En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc chx----→x→+∞+∞. De mˆeme

que pour la fonction sh, le graphe de ch admet en +∞unebranche paraboliquede direction l"axe des

ordonn´ees; plus pr´ecis´ement, on a chx-ex2 =e-x2 ----→x→+∞0+

40Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesi.e.le graphe de ch et celui de la courbeCd"´equationy=ex2

sont asymptotes en +∞; de plus, le graphe de ch est situ´e au-dessusC.

On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe.x-∞0 +∞

ch?x= shx-+ chx+∞+∞

10Δ

CA.2 Tangente hyperbolique

Le fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s"annule pas permet d"introduire la fonction suivante :

A.2.1 D´efinition

On appelle fonctiontangente hyperboliquela fonction th :R→R,x?→thx=shxchx=ex-e-xe x+e-x.A.2.2 Remarques ?La fonction th est impaire. En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a th(-x) =sh(-x)ch(-x)=-shxchx=-thx.

Le graphe de la fonction th admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a th0 = 0.?Pour toutx?R, on a 1-th2x=1ch

2x.

En effet, pour toutx?R, on a

1-th2x= 1-sh2xch

2x=ch2x-sh2xch

2x=1ch

2x.

A- Fonctions hyperboliques directes41

?On rencontre parfois la fonctioncotangente hyperboliquequi est la fonctionx?→1thx(mais qui n"est

pas d´efinie en 0).A.2.3 Proposition La fonction th est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est donn´ee par : th?(x) = 1-th2x=1ch

2x.D´emonstration

Les fonctions sh et ch sont d´erivables surRet la fonction ch est d´efinie sur toutRdonc le quotientth =

shch d´efinit bien une fonction d´erivable surR. Pour toutx?R, on a th ?x=?shxchx? ?=sh?xchx-shxch?xch

2x=ch2x-sh2xch

2x=1ch

2x.Passons `a l"´etude des variations. Il suffit d"´etudier th sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire.

La d´eriv´ee de th est?1ch

2donc th est strictement croissante surR.

On a ch0 = 1 donc le graphe de th admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions

la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction

g(x) = thx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eeg?(x) =?1-th2x)-1?0. La fonctiongest donc

d´ecroissante surRorg(0) = 0 doncg(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de th est situ´e en-dessous de la droite Δ pourx?0 et au-dessus de Δ pourx?0.

En ce qui concerne les limites, on a :

thx=ex-e-xe x+e-x=exe x1-e-2x1 +e-2x=1-e-2x1 +e-2x

maise-2x----→x→+∞0 donc le num´erateur et le d´enominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux

vers 1. Donc lim x→+∞thx= 1. Il s"ensuit que le graphe de th admet la droite d"´equationy= 1 pour

asymptote en +∞(donc, par imparit´e, il admet la droite d"´equationy=-1 pour asymptote en-∞).

On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe.x-∞0 +∞

th?x=1ch2x+ + thx1 -10 0 -11

42Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesB Fonctions hyperboliques r

´eciproquesB.1 R

´eciproque de la fonction sinus hyperbolique?La fonction sh est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet

intervalle sur son imageRet on peut d´efinir son application r´eciproque.B.1.1 D´efinition On appellefonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh :R→R,x?→Argshx ,l"application r´eciproque de la fonction sinus hyperbolique.

B.1.2 Remarque

Pour toutx?R, on a sh?Argshx?=xet Argsh?shx?=x.

Les variations de la fonction Argsh surRsont les

mˆemes que celles de la fonction sh surR.x-∞0 +∞

Argshx+∞

-∞0 0

ΔB.1.3 Proposition

La fonction Argsh est d´erivable surRet

pour toutx?R,Argsh?(x) =1⎷1 +x2.D´emonstration

En effet, pour toutx?R, on a

Argsh ?(x) =1sh ?(Argshx)=1ch(Argshx).Mais la fonction ch est positive donc on peut ´ecrire Argsh ?(x) =1? ch

2(Argshx)=1?

1 + sh

2(Argshx)et la conclusion vient du fait que sh(Argshx) =x.

B- Fonctions hyperboliques r´eciproques43

B.2 R

´eciproque de la fonction cosinus hyperbolique?La fonction ch est continue et strictement croissante sur [0,+∞[, elle r´ealise donc une bijection de

cet intervalle sur son image [1,+∞[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.2.1 D´efinition

On appellefonction argument cosinus hyperbolique, et on note

Argch : [1,+∞[→[0,+∞[,x?→Argchx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique `a l"intervalle [0,+∞[.B.2.2 Remarques

?Pour toutx?1, on a ch?Argchx?=x.?Pour toutx?0, on a Argch?chx?=x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l"expression Argch?chx?est d´efinie pour toutx?R mais ne vaut exactementxque lorsquex?0. Les variations de la fonction Argch sur [1,+∞[ sont les mˆemes que celles de la fonction ch sur [0,+∞[.x1 +∞

Argchx+∞

00 1B.2.3 Proposition

La fonction Argch est d´erivable sur ]1,+∞[ et pour toutx?R,Argch?(x) =1⎷x

2-1.D´emonstration

En effet, pour toutx?R, on a

Argch ?(x) =1ch

?(Argchx)=1sh(Argchx).Mais Argchx?0 et la fonction sh est positive sur [0,+∞[ donc sh(Argchx)?0 et on peut ´ecrire

Argch ?(x) =1? sh

2(Argchx)=1?

ch

2(Argchx)-1et la conclusion vient du fait que ch(Argchx) =x.

44Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesB.3 R

´eciproque de la fonction tangente hyperbolique?La fonction th est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet

intervalle sur son image ]-1,1[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.3.1 D´efinition

On appellefonction argument tangente hyperbolique, et on note

Argth :]-1,1[→R,x?→Argthx ,l"application r´eciproque de la fonction tangente hyperbolique.

B.3.2 Remarques

?Pour toutx?]-1,1[, on a th?Argthx?=x.?Pour toutx?R, on a Argth?thx?=x. Les variations de la fonction Argth sur ]-1,1[ sont les mˆemes que celles de la fonction th surR.x-1 0 1

Argthx+∞

-∞0 0-11

ΔB.3.3 Proposition

La fonction Argth est d´erivable sur ]-1,1[ et

pour toutx?]-1,1[,Argth?(x) =11-x2.D´emonstration

En effet, pour toutx?]-1,1[, on a

Argth ?(x) =1th ?(Argthx)=11-th2(Argthx).et la conclusion vient du fait que th(Argthx) =x.

C- Identit´es et relations45

C Identit

´es et relationsC.1 Quelques formules de trigonom

´etrie hyperboliqueLes formules de trigonom´etrie classiques ont des analogues en"trigonom´etrie hyperbolique». Outre la

formulech2a-sh2a= 1, on a par exemplech(a+b) = chachb+ shashb ch(a-b) = chachb-shashb sh(a+b) = shachb+ chashb sh(a-b) = shachb-chashb th(a+b) =tha+ thb1 + thathb th(a+b) =tha-thb1-thathb d"o`u l"on d´eduitch(2a) = ch2a+ sh2a= 2ch2a-1 = 1 + 2sh2a sh(2a) = 2shacha th(2a) =2tha1 + th 2a.

Notons en outre le lien suivant entre les fonctions trigonom´etriques et les fonctions hyperboliques :

cha= cos(ia) et sha=-isin(ia).C.2 Expression des fonctions hyperboliques r ´eciproques avec le logarithme n´ep´erienC.2.1 Proposition (a)Pour toutx?R, on a : Argshx= ln?x+?x

2+ 1?.(b)Pour toutx?1, on a : Argchx= ln?x+?x

2-1?.(c)Pour toutx?]-1,1[, on a : Argthx=12

ln?1 +x1-x? .D´emonstration (a)La relationy= shxsignifie 2y=ex-e-xi.e.?ex?2-2yex-1 = 0, d"o`u y= shx??? X=ex X

2-2yX-1 = 0???X=ex

X=2y±⎷4y2+42

=y±?y 2+ 1

46Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesmaisX=ex>0 alors quey-?y

2+ 1<0 donc

y= shx??ex=y+?y

2+ 1??x= ln?y+?y

2+ 1?donc Argshy= ln?y+?1 +y2?.(b)La relationy= chxsignifie 2y=ex+e-xi.e.?ex?2-2yex+ 1 = 0, d"o`u

y= chx??? X=ex X

2-2yX+ 1 = 0???X=ex

X=2y±⎷4y2-42

=y±?y

2-1mais on a

ln ?y-?y

2-1?= ln?

?y-?y

2-1??y+?y

2-1?y+?y

2-1? = ln?1y+?y 2-1?

y→+∞-∞alors que la limite devrait ˆetre +∞donc cette solution est exclue. Ainsi, on a

y= chx??x= ln?y+?y

2-1?ce qui signifie que Argchy= ln?y+?y

2-1?.(c)On posef(x) =12

ln?1 +x1-x? pour toutx?]-1,1[ alors f ?(x) =12

2(1-x)211+x1-x=1(1-x)(1 +x)=11-x2doncf?(x) = Argth?(x) pour toutx?]-1,1[. On en d´eduit que les deux fonctionsfet Argthdiff`erent d"une constante sur l"intervalle ]-1,1[ or on a

f(0) =12 ln?1 + 01-0? = 0 = Argth(0)donc les fonctionsfet Argth sont ´egales sur ]-1,1[.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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