[PDF] Filtres numériques Synthèse des filtres RIF. ?

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UV Traitement du signalCours 9Filtrage numériqueASI 3

2 TdSContenu du coursIntroductionCaractérisations des filtres numériquesRéponse impulsionnelle, Equation aux différences, Fonction de transfert en z

Etude des filtres RIFCaractéristiques et propriétésSynthèse des filtres RIFSynthèse des filtres RII Méthode de l'invariance impulsionnelleTransformation bilinéaire

3 TdSPourquoi des filtres numériques ?2 critères pour comparer : nombre de poles et de zérosrapiditéAvantages du numérique:Reproductibilité Souplesse (chgt de coefficients)Mise en série de filtresInsensibilité au bruitStabilité des caractéristiques avec le temps, la T°, etc.

4 TdSCaractérisations d'un filtre numériqueFiltre = système, => Réponse impulsionnelle h(n)

Remarque : h(n) peut être infini => calculs délicatsEquation aux différences (relation entrée-sortie)Fonction de transfert en zFiltre h(n)x(n))(nyyn=hn∗xn=∑m=-∞

hmxn-mavec -=-M r r N k krnxbknya 00 -=-M r r N k krnxbknya 00 )()()()()(nxnhny*= )().()(zHzXzY= 011

011)(azaza

bzbzbzHNN MM ouCalculs finis !

5 TdSFiltres numériques : problématiqueSynthèse de filtres : étant donné un gabarit, comment trouver les coefficients de h(n) ou H(z) ?Avec les contraintes suivantes sur h(n) :HCausalité du filtreHStabilitéPour H(z), les contraintes sont :Comment réaliser le filtre ?La méthodologie dépend du type de filtre : RIF ou RII00)(<"=nnhLe filtre est stable ssi la réponse impulsionnelle est absolument sommable

-¥=n

nh)(Le filtre est causal ssi la réponse impulsionnelle est causaleUn filtre numérique linéaire et causal est stable ssi tous les pôles

li Î de H(z) sont à l'intérieur du cercle unitéℂEn considérant un filtre causal, la RDC est donnée par

îíì>Î=ii

xmazzRDCl/ℂf|H( f )|fcfs1- d11+ d1 d2

6 TdSCaractérisations d'un filtre numériqueHProblème : h(n) potentiellement infini !Deux solutions = deux types de filtres Réponse impulsionnelle finie (RIF) : limitation à M du nombre d'échantillonsHRéponse impulsionnelle : Filtre causal => Toujours stablesHEquation aux différences : N=0 => réponse non récursiveRéponse impulsionnelle infinie (RII) : mémorisation des sortiesHRéponse impulsionnelle infinie : Filtre causal => stabilité à vérifierHMémorisation du signal de sortie => la réponse impulsionnelle infinie peut se calculer en un temps finiHÉquation aux différences : N³1 => réponse récursiveå=

-=M r rrnxbny 0 M r r N k krnxbknyany 01 hkxn-k yn=∑k=0 hkxn-kFiltre h(n)x(n) hkxn-kavec

7 TdSFiltre à réponse impulsionnelle finie (RIF)Propriétés Stabilité inconditionnelleLes filtres à réponse impulsionnelle finie sont toujours stables car ils n'admettent pas de pôles. ApproximationToute fonction de filtrage numérique stable et causale peut être approchée par la fonction de transfert d'un filtre RIF Phase linéaireLes filtres RIF peuvent générer des filtres à phase linéaireSi un filtre est à phase linéaire, sa réponse fréquentielle est de la formet : constanteFiltre à phase linéaire

1 0 N n nnzbzH tpjjff2)(0+=)()()(fjefRfHj-=

)2cos()(fnanxp=)22cos()()(0tpjpffnfaRny++=On montre qu'un filtre FIR est à phase linéaire si ses coefficients sont symétriques

)1()(nNhnh--=

8 TdSFiltre à réponse impulsionnelle finie (RIF)ExempleSoit le filtre défini par la relation entrée-sortie suivante : y Réponse fréquentielleFiltre passe-bas())2()1(2)(4

1)(-+-+=nxnxnxnyy Réponse impulsionnelle

())2()1(2)(4

1)(-+-+=nnnnhddd)(cos)(22fefHfjpp-=• Module• Phase

)(cos)(2ffHp=()ffHp2)(arg-=On remarque que la phase est linéaire par rapport à f(Voir TD)

9 TdSMéthodes de synthèse d'un filtre numérique RIFIl existe de nombreuses méthodes Méthode de la fenêtreOptimisation par moindres carrésCalcul des coefficients par approximation de tchebycheffPar TFD récursiveetc.

10 TdSSynthèse de filtre RIFMéthode de la fenêtrey ProblématiqueA partir du gabarit fréquentiel, effectuer la synthèse d'un filtre RIF réalisable (causalité) à phase linéaire  contrainte de symétrie des coefficients)1()(nNhnh--=f|H( f )|

fcfs1- d11+ d1 d2 csffF-=D: largeur de la bande de transition 2

10-££Nnavecyla bande passante BPyla bande atténuée (ou coupée)yla largeur DF de la zone de transitionyl'amplitude des oscillations en bande passante

d1 yl'amplitude des ondulations en bande atténuée d2Filtre caractérisé par : y Gabarit réel continu

11 TdSSynthèse de filtre RIFMéthode de la fenêtre : méthodologiey A partir du gabarit réel du filtre, déterminer la longueur de la RIF : (rmq : bande de transition + importante que les oscillations)y A partir du gabarit idéal du filtre, on peut déterminer les coefficients du filtre par TFTD-1. ò-

2/1 2/1

2)()(dfefHnhfnjpPondération de la réponse impulsionnelle idéale h(n) par une suite discrète w(n) : H Limitation de la réponse impulsionnelle à N échantillons (troncature)

f FMe

D»)10

1(log3

2 21
10ddN h(n) symétrique car H(f) réel -> linéaireen revanche, h(n) est potentiellement infini )().()(nwnhnhN=Exemple : w(n) est la fenêtre rectangulaire.En fréquence, on a donc : )()()(fWfHfHN*=)sin( )sin()(f fNfWp p=avecf|H( f )| f1f2avec 2/ 2/ 2)()( B B fnjdfefHnhp n Bnnhp p)sin()(=

221ffB+=ò-

2/ 2/ 2)()( Fe Fe fnjdfefHnhpAvec H(f) :

12 TdSSynthèse de filtre RIFMéthode de la fenêtre : méthodologiey On a trouvé la réponse hN(n), mais celle ci est centrée sur 0y Donc elle n'est pas causale !Solution :En la retardant de N/2

échantillons, la réponse impulsionnelle devient causale !Facile à implémenter car numérique.(mémoires à décalage)Mathématiquement, cela revient à multiplier HN(f) par un exponentiel complexe=> déphasage, mais déphasage linéaire 2pi f

13 TdSSynthèse de filtre RIF : exempleMéthode de la fenêtre : effets de la limitation du nombre d'échantillons à N•La pondération temporelle introduit des ondulations et limite la raideur de coupure du filtre. Un compromis est à faire entre la raideur et l'amplitudes des ondulations.)().()(nwnhnhN=

)()()(fWfHfHN*=•Cette méthode donne des ondulations de même amplitude dans la bande passante et dans la bande atténuée.

)(fHN)(fHA

lfy Allure de W( f ) pour une fenêtre rectangulaireFenêtre de pondérationRéponse idéaleRéponse obtenue par limitation du nb d'échantillon à N

14 TdSSynthèse de filtre RIF : méthode de la fenêtreChoix de la fenêtre de pondérationl : largeur du lobe principalA : amplitude des lobes secondairesy RemarqueRelation entre la longueur N

de la fenêtre et la bande de transition DF du filtre obtenustecFN=D.yQq propriétés des fenêtres Si N croit, l décroît  bande de transition DF faible

 A est indépendant de la longueur de la fenêtre On ne peut pas réduire simultanément A et ly Réglages

d2 désirée  choix type de fenêtre DF désirée  choix de NAdBlDF d2 (dB)Rectangulaire-134/N0.9/N -21

Hanning-318/N 3.1/N -44

Hamming-418/N 3.3/N -53

Blackman-5712/N 5.5/N -74A

lf|W( f )|Critères de qualité :

15 TdSSynthèse de filtre RIF : méthode de fenêtreChoix de la fenêtrey Types de fenêtre utilisée de longueur N ou d'ordre N-1

Bartlett1

2 12 1)(- ae-- -=N Nn nwHamming÷ø ae --=1

2cos46.054.0)(N

nnwpHanning÷ø ae --=1

2cos5.05.0)(N

nnwp

16 TdSSynthèse de filtre RIF Il existe d'autres méthodes :Méthode itérative par TFD :HInitialiser h(n) sur N points au hasardH1) Calculer la TFD sur N0 points avec N0>N, et forcer les valeurs de H(k) n'étant pas dans le gabaritH2) Faire une TFD-1 sur N0 points et ne conserver que N points autour de l'origineH3) recommencer en 1) jusqu'à ce qu'un critère d'erreur soit satisfaitMoindres carrésHIdée : calculer les coefficients de h(n) de manière à ce que la fonction de transfert approche la fonction voulue par un critère de moindres carrés.Calcul des coefficients par approximation de tchebycheffHApproximation de la fonction de transfert par un polynôme au sens de tchebycheff, ce qui permet d'obtenir des ondulations d'amplitude constante...

17 TdSRéalisation des filtres numériquesRéalisation de filtres RIFFiltre causal à réponse impulsionnelle finie de longueur N :

3 opérations élémentaires :HRetard (registre à décalage)HOpérateurs arithmétiques + et *HRegistres pour la pondérationRéalisation non-récursiveå-

-=1 0 )()()(N k khknxnyz-1x(n) ++z-1+z-1++y(n)h(N -1)h(0)h(1)h(2)h(N-2)

18 TdSFiltre à réponse impulsionnelle infinie (RII)Synthèse des filtres RIIy Principe• Calculer un filtre analogique H(s)• Transformer le filtre analogique en un filtre numérique équivalent H(z)y Contraintes Transformer le demi-plan complexe gauche en l'intérieur du cercle unité Transformer l'axes des imaginaires en cercle unité• Transformer une fonction rationnelle H(s)

en une fonction rationnelle H(z)

• Conserver la stabilité du filtre analogiqueyMéthodes• Transformation bilinéaire• Conservation de la réponse impulsionnelle du filtre analogique ("numérisation")Plan des s

r=1Plan des z

19 TdSFiltre RII : synthèseMéthode de l'invariance impulsionnelle y Principe : On échantillonne la réponse impulsionnelle d'un filtre analogique connuy Pôles : Correspondance entre les pôles de H(s) et les pôles de H(z) :

Si Re(b)<0, alors |exp(b)|<1 : le pôle du filtre numérique appartient au cercle unitéOn a donc bien une conservation de la stabilitéy Réponse en fréquenceL'échantillonnage de ha(t) entraîne une périodisation du spectrey PrécautionsLa réponse du filtre numérique sera proche de celle du filtre analogique dans la bande [-Fe/2, Fe/2] si le filtre analogique a une réponse fréquentielle nulle en dehors de cette bande. Cette méthode est utile seulement dans le cas de filtres analogiques à bande limitée.enTtaedaTLathnThthsH==¾¾¾¾¾®¾¾¾®¾-

)()()()(nagenolEchantil1 ae+= keaedT kfHTfH1)(Condition de Shannon à respecter par conséquent bebTeExemple : soit le filtre analogique défini par :

Hs=1

1-ebTe

z-1=z z-ebTeTL-1échantillonnageTZ

20 TdSFiltre RII : synthèseTransformation bilinéaireSi s a une partie réelle négative, z est de module inférieur à 1 0 conservation de la stabilitéy Déformation des fréquencesLa transformation entraîne une relation non linéaire entre les fréquences fa du domaine analogique et les fréquences fd du domaine numériqueTe : fréquence d'échantillonnageavecy Pôles)()(zHsH®1

1 1 1.2- -=z z Tse sTe sTez- +=/2 /2Plan des s r=1Plan des z )tan(1TefTefdapp=

)(tan11eaedTfTfpp-=y Méthodologie- Définir le gabarit du filtre numérique- Convertir ce gabarit en un gabarit correspondant au filtre analogique par la relation (2)

- Faire la synthèse du filtre analogique (Butterworth, Tchebychev ...)  Ha(s) - Transformer Ha(s) en Hd(z) en utilisant (1)(1)(2)(3)Passer de Distortion harmonique

21 TdSTransformation bilinéaireExempleOn utilise des fonctions modèles classiques de types filtres de Butterworth, Tchebychev....Soit un filtre de Butterworth analogiqueOn applique la transformation bilinéaireAprès calcul et en prenant2=cw2=eT

5724.04514.1

)12(0302.0)(2 2 ++=zz

zzzHFréquence de coupure du filtre numériqueFréquence de coupure du filtre analogiqueFc =0.318 HzFc=0.176 Hz

22
2 2)( cc c sssHww w 1 1 1 1.2- -=z z Tes )(fH Fc=1

22 TdSClassification des filtres numériquesRéalisation des filtresRéalisation récursiveFiltre causal à réponse impulsionnelle infinie :åå==

-+--=M r r N k krnxbknyany 01 )()()(x(n) z-1+b0 z-1+ z-1++b1 b2 bMbM -1+ +z-1 +-a1 z-1z-1y(n) -a2 -aN-1-aN

23 TdSRIFToujours stable.Phase linéaire.Facile à concevoir.La durée des transitoires = longueur du filtre.RII

Peuvent être instables.Phase non linéaire.Nécessitent moins d 'opérations et de places mémoires.Plus efficaces que RIFComparaison RIF - RII1. S. Mitra, "Digital Signal Processing : A computer based approach", McGraw Hill Edt, 1998.2. Y. Thomas, "Signaux et Systèmes Linéaires", Edition Masson, 1994.3. M. Bellanger, " Traitement numérique du signal", Edition Dunod, 1993.4. G. Blanchet, M. Charbit "Traitement numérique du signal", Edition Hermès, 19985. A. Quinquis "Le traitement du signal sous Matlab", Edition Hermès, 2000• Conclusion sur les filtres• Bibliographie

24 TdSTable de la TZ

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