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Comment calculer le degré d’hyperstaticité d’un système en treillis ?

Cas des poutres en treillis : La formule ci-dessous permet de déterminer le degré d’hyperstaticité dans le cas des systèmes en treillis : : Le nombre de barres ou membrures : Le nombre de nœuds : Le nombre de réactions verticales et horizontales : Dans le cas d’un appui double : Dans le cas d’un appui simple Exemples : Figure 1.8.

Quels sont les différents types d'équations d'équilibre dans une structure hyperstatique ?

Equations canoniques : Dans le paragraphe précédent nous avons noté que pour une structure hyperstatique, il faut utiliser en plus des trois équations d'équilibre, des équations supplémentaires. Dans la méthode des forces, ces équations sont connues sous le nom des équations "canoniques" de la méthode des forces.

M. Cupani Page 1 sur 21 RDM

Déformation

RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES

L p kN/m L/2 pL kN P L/2

Sommaire

1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX ....................................................................................................................... 2

2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):.............................................................. 3

3. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle) ....................................................................... 5

4. Méthode formule des 3 moments(Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle). ............................................. 7

5. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ...................................................... 8

6. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ............................................................. 10

7. Méthode formule des 3 moments (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) .................................. 12

8. Poutres hyperstatiques (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme) ............................... 13

9. Méthode formule des 3 moments. (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)............. 15

10. Console avec charge triangulaire: ............................................................................................................... 16

11. Calcul des déformées charge triangulaire ................................................................................................... 17

12. Méthode des intégrales de Mohr (Charge Triangulaire): ............................................................................ 18

M. Cupani Page 2 sur 21 RDM

Déformation

1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX

La "déformée" représente l'allure de la ligne moyenne après déformation. Les "flèches" représentent les déplacements maximums pris par la déformée. Relation entre la rotation et le rayon de courbure : dx. La variation de la rotation de la section en x à la section en x + dx vaut dȦ.

On démontre que:

la rotation dȦpeut être assimilée à sa tangente car elle est infiniment faible.

Relation entre la flèche et le moment :

En combinant les différentes relations on obtient:

En résumé:

En intégra apparaissent.

Afin de déterminer leurs valeurs, il est nécessaire de connaître la flèche ou la rotation en certains points

particuliers. Nous savons que les appuis bloquent des mouvements :

Conditions aux limites

Appui simple Articulation Encastrement

flèche nulle y = f = 0 flèche nulle y = f = 0

Ȧrotation nulle

flèche nulle y = f = 0 )(1)(')(''xEI xMxxf GZ z UZ²)( )()(dxxEI xMxf GZ zdxxEI xMxfx GZ z )( xEI xM GZ z

Ȧ Equation de la déformée f(x)

M. Cupani Page 3 sur 21 RDM

Déformation

2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):

Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis.

Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations .

Exemple 1:

Une poutre AB de longueur L = 4m

IPE 120 (IGZ = 317,8 cm4 ; E = 2.105 MPa)

Encastrée à ses deux extrémités

supporte en C une charge

NF.5000

Déterminer les actions en A et B

Equations de statique :

2 FByAy (Symétrie)

02/u LBYMBFLMAAMz

avec MBMA (symétrie)

Equation de déformation :

Calcul du moment fléchissant quand

20Lxd

MAxAYMfz .

Utilisation de

MAxAYyIEGZ .''..

1.2

².'..CxMAxAYyIEGZ

21
3 .2

².6...CxCxMAxAYyIEGZ

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