[PDF] BTS 2014-2015 corriges Un artisan fabrique des vases

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A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 1 / 22

MATHEMATIQUES

BTS1 2014-2015

Corrigés des devoirs

CC 22 /09/2014 page2

CC 17/10/2014 page 4

BTS Blanc 11/12/2014 page 6

CC 05/01/2015 page 10

CC 03/02/2015 page 13

BTS Blanc 04/03/2015 page 14

CC 31/03/2015

BTS Blanc 20/05/2015

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 2 / 22

BTS1 22/09/2014 1h

EXERCICE I : (6 points)

1° a) 0,25 + 12 - 36

= 0,25- 36 + 12 - 432 = 0.25- 9 + 3 - 108 = 0,25- 6 - 108 b) Etudier le signe de

0,25² - 6 - 108 pour ∈ [0 ;100]

0 36 100 0,25 +12 -36 - 0 + Racines : -12∉[0;100]

36∈[0;100]

0,25+12-36 - 0 +

2° Factoriser, puis étudier le signe de

3- 24 pour ∈ [0 ;50]

Pour ∈ [0 ;50] : 3- 24 = 3 - 24 0 8 100 Racines : 3-24

0 + +

- 0 +

0∈[0;50]

8∈[0;50]

3-24 0 - 0 +

EXERCICE II : (14 points)

Un artisan fabrique des vases qu"il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus.

L"artisan veut faire une étude sur la production d"un nombre de vases compris entre 0 et 60.

Coût de production de x vases fabriques :

= ² - 10 + 500 où ∈ [0 ;60 ].

Chaque vase est vendu 50 euros.

On a tracé la courbe représentative de la fonction et la droite d"équation = 50 1°

Par lecture graphique,

a) le coût de production de 40 vases fabriqués et d"environ 1700€

b) la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de 1250 euros est d"environ 32 vases

2° On note la recette, en euros, correspondant à la vente de vases fabriqués. a) Exprimer en fonction de .

1vase est vendu 50€ donc vases sont vendus 50€

D"où = 50

b) Déterminer graphiquement le nombre de vases que l"artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice.

L"artisan doit fabriquer de10 à 50 vases pour réaliser un bénéfice.

3° Pour

∈ 0 ;60 ≥ ⟺ 50 ≥ - 10 + 500 ⟺ -+ 60 - 500 ≥ 0 On cherche les racines du polynôme, puis on le factorise

Δ = 60² - 4 ×-1×-500= 1600 = 40> 0

Deux racines :

%$= 50 =%&')(' %$= 10

D"où la forme factorisée :

-+ 60 - 500 = -1 - 50 - 10

On étudie le signe :

0 10 50 60 -1 -50 -10 - - 0 + - 0 + + Racines :

50∈[0;60]

10∈[0;60]

-1-10-50 - 0 + 0 -

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 3 / 22

On a ≥ pour ∈ [10 ;50] . On retrouve le résultat obtenu graphiquement. 4° a) Bénéfice : *= - = 50 -- 10 + 500= 50 - + 10 - 500 = -+ 60 - 500

D"où

*= -+ 60 - 500 où x appartient à l"intervalle [0, 60]. b) Calculer le bénéfice pour trente vases fabriqués et vendus. *30= -30+ 60 × 30 - 500 = 16600 Pour 30 vases fabriqués et vendus, le bénéfice sera de 400€

5° L"artisan veut établir une table de bénéfice.

Formules à écrire dans les cellules A4 et B3 pour établir la table

Dans A4 : = +3 + 1

Dans B3 : = -1 × +3+ 60 × *3 - 500

ANNEXE : Les traits de construction seront laissés apparents. 1 2 3 4 5 A B nombre de tables bénéfice xB(x) 0

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 4 / 22

BTS1 17/10/2014 1H

Ex2 : A : 2pts B : 1° 3pts 2° 5,5pts 3° 5,5 pts

Partie A

1° pour une production de 12tonnes, le coût total est d"environ 1080€

2° pour un coût total de 1800€, on produit environ 16,75 tonnes d"acier.

Partie B

1° a) Recette pour une production de 12 tonnes :

12 " 100

1200€

b) Recette pour une production de tonnes : " 100

100€

Tracé de la droite : pour

0;

0. Pour

12; 1200
2.a.

Bénéfice : Pour tout x de [0 ; 18] on a :

100

24 217 200

- 24 117
200

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 5 / 22

2.b. Dérivée : Pour tout x de [0 ; 18] on a :

*/= -3+ 48 - 117

De plus :

-3 - 3 - 13= -3- 13 - 3 + 39= -3+ 48 - 117 Donc */= -3 - 3 - 13 c. Signe de la dérivée : */ a pour racines les réels 3 et 13 0 3 13 18 -3 -3 -13 - 0 + + - - 0 + */ - 0 + 0 - d. Tableau de variations

0 3 0 13 1 1 8

*/ - 0 + 0 - -200 138

0 0

-362 -362 e. Bénéfice maximum :

L"entreprise doit produire et vendre 13 234456 d"acier pour réaliser un bénéfice maximal de 138 €.

3. a. Montrer que l"équation

*= 0 admet une unique solution dans [3 ;13].

La fonction

* est dérivable (donc continue) et strictement croissante sur [3 ;13]

L"intervalle image de

[3 ;13] est [-362 ;138]

0 ∈ [-362 ;138]

Donc l"équation

*= 0 admet une unique solution dans [3 ;13] , on la note 0

3° b) encadrement de α

9,54 0 9,55 -0,1523 0 +0,52613

Donc 9,54<0<9,55 à 0,01 près

c. Dresser le tableau de signe de *. D"après le tableau de variations complété avec 0et 1 0 9,54 0 9,55 15,78 1 15,79 18 */ - 0 + 0 -

e. D"après le tableau de signe de la question précédente, l"entreprise doit produire et vendre entre 9,55 et

15,78 tonnes pour réaliser un bénéfice.

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 6 / 22

EXERCICE I : (4 points)

Par lecture graphique, 1° Déterminer :

81
58/1
6 86
3;8/6 3 4 87

3,4;8/7

0

2° L"équation de la tangente à la courbe

9 en

A est : ;

8/1" 1 81 6 1 5 6 11

L"équation de la tangente à la courbe

9 en ?

est : @,A

BTS1 Blanc 11/12/2014 (2heures)

EXERCICE I : (4 points) 1° 0.5 2° 0.75 3° 1 4° 1 5° 0,75 On donne la courbe représentative d"une fonction 8 définie sur 2;∞.

Par lecture graphique, compléter au mieux.

1° Limites

CDEF→FH8

∞ CDEF→)I8

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 7 / 22

2° Asymptotes : La droite d"équation = 2

La droite d"équation = - + 7

3° a) 83= 0 8

/3= 3 b) Equation de la tangente à

9 en + : = 3 - 9

4° Tableau de variation de la fonction

8 2 4 +∞

8′ + 0 -

8 1

5° Tableau de signe de

8 2 3 6 +∞

8 || - 0 + 0 -

EXERCICE II : (10 points)

Partie A : Etude de la fonction 8 sur ]0; +∞[ 1°-2° : 2.5 3° : 1.5

On considère la fonction

8 définie sur ]0 ;+∞[ par 8= - 14 +$''

F

1. Déterminer la limite en 0. Interpréter graphiquement.

⋆ CDEF→' - 14= -14 ⋆ CDE

F→'FH' 100

Ainsi CDE

F→'FH' 8= +∞ et la droite D d"équation = 0 est asymptote à .

2. a. Déterminer la limite en +∞

⋆ CDEF→)I - 14= +∞ ⋆ CDE

F→)I 100

= 0

Ainsi CDE

F→)I 8 = +∞

2. b. Pour

∈]0 ;+∞[

8- - 14= L - 14 +100

M - - 14=100

= 0 R34S CDEF→)I T8- - 14U= 0 Ainsi la droite d"équation = - 14 est asymptote oblique à Tracé : pour = 14 = 14 - 14 = 0 Pour = 24 = 24 - 14 = 10

3. a. Montrer que

8/=-10+10

2

Pour ∈]0 ;+∞[

8 = - 14 +100 = - 14 + 100 ×1 P=1 P/=-1

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 8 / 22

8/=1 100 "

1 1 100
100
100

De plus

10 10

² 10

10 100
100

D"où

8/

10 10

3. b. Etudier le signe de 8′

0 10 ∞ 10 10

0 +

0 + +

8′ ||

0 +

3. c. Dresser le tableau de variation de la fonction

8 0 10 ∞

8′

0 +

8 6 Partie B : 1° : 1 2° : 2 3° : 1 4°-5° : 2

1.a. Le coût unitaire est minimal pour 10 repas servis, et ce coût minimum est de 6€ par repas.

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 9 / 22

1.b. le prix de vente d"un repas est 18€, or la droite d"équation =18 est au-dessus de la courbe du coût

pour # 3,6 , le restaurateur fera un bénéfice à partir de 4 repas servis. 2.a. 8 8

14 $''

V

6,5 Pour 8 repas fabriqués, le coût unitaire est de 6,50€

b. le coût total de fabrication des 8 repas : W8 8 " 8

8 " 6,50

52€

c. le chiffre d"affaires obtenu pour ces 8 repas servis : 8

8 " 18

144€

d. le bénéfice ainsi réalisé par le restaurateur : *8 144
52

92€

3. On suppose que

repas sont fabriqués et servis ( entier compris entre 2 et 20). a. Chiffre d"affaires réalisé : 18 b.. Coût total : X 18 " L

14 100

M 18 14 100
32
100

4. On considère la fonction

* définie et dérivable sur l"intervalle 2;20 par * 32
100
a. Pour ∈ 2;20 */ 2 32

Signe de

2 16 20 *′ + 0 b.. Tableau de variation de la fonction * sur l"intervalle 2;20. 2 16 20 *′ + 0 156

40 140

5. Le restaurateur doit servir 16 repas pour réaliser un bénéfice maximal qui sera de 156€

EXERCICE III : (6 points) A 1pt B : 2a-2b : 2 pts 2c-2d : 1.5pts 3° : 1.5pts

A.Berger BTS 1 Année 2014 -2015 10 / 22

Partie A : 1° Les courbes représentatives 9 et Y se coupent en Z1,2 ;1,75.

2° On considère la fonction ℎ définie sur [0 ; 3] par ℎ= 8- \=3-3 - = 3+ - 3

2.a. Dérivée : pour tout

∈ [0 ;3] ℎ/= 3² + 1

Signe de la dérivée : pour tout

∈ [0 ;3], on a : ≥ 0 donc ² ≥ 0 donc 3² ≥ 0 donc 3² + 1 > 0 donc ℎ/> 0

Sens de variation :

La fonction ℎ est strictement croissante sur [0 ; 3].

2.b. Tableau de variation de

0 ' 3 27
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