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La variance et l'écart type permettent de mesurer la « dispersion » des valeurs de la série autour de la moyenne Si les valeurs de la série possèdent une
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3 8 Le calcul de la médiane par extrapolation Le mode x La moyenne d'une série statistique X ?X L'écart-type de X Var(X) La variance de X
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médiane de la variable statistique est alors la moyenne de ses valeurs qui Déterminons la variance et l'écart-type de la variable « Note à l'Examen de
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•Moyenne •Mode et classe modale •Médiane •Quartiles •Quintiles •Déciles •Centiles •Étendue •Variance et Écart-type •Coefficient de variation
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15 déc 2010 · 1 Variables données statistiques tableaux effectifs moyenne et du mode et est standardisé par l'écart-type :
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Exercice exemple E3: Mode= 4; remarque: ici le calcul du mode est peu pertinent (cf valeurs comme moyenne ou médiane écart type ou quantiles
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Mode • Médiane (Q2) • Moyenne • Q1 et Q3 Le mode =25 ; 30 ; 50 Les valeurs de la dispersion de la distribution : variance l'écart type et
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On se place dans le cadre des séries statistiques pour lesquelles le Mode - Étendue - Médiane La variance d'une série statistique est la moyenne
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tendance centrale : les moyennes la médiane le mode; de dispersion : écart type variance; l'asymétrie et la kurtose) Pouvoir calculer des statistiques
Première ES - Statistiques descriptives - Variance et écart type
f(x) l’´ecart-type et s2 la variance de la s´erie (x i) n i=1 1 Montrez que f > 0 d`es que p > 1 2 Minimiser f sur IR 3 En d´eduire que la valeur moyenne de la s´erie est le nombre qui minimise l’´ecart quadratique moyen 4 Calculer s en fonction a = x?x 1 pour n = 2 3 Stabilit´e de la moyenne
Cours 2 : Statistiques descriptives - University of Ottawa
section « La moyenne et la variance en tant qu’estimateurs » exclusivement Objectifs Pouvoir comprendre la notion de statistiques descriptives connaître les plus usuels (de tendance centrale : les moyennes la médiane le mode; de dispersion : écart type variance; l’asymétrie et la kurtose)
Statistiques I Moyenne variance et écart type
La médiane 23 et les quartiles 1 et 1 sont des paramètres de position qui permettent de partager la population suivant le schéma : 50 des valeurs 50 des valeurs
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L'écart-type exprime la dispersion des valeurs de la série autour de sa moyenne Méthode : Calculer la variance et l’écart-type d’une série Vidéo https://youtu be/CiFoBkipJQk Le tableau présente une série statistique : $ $ Calculer la moyenne pondérée la variance et l’écart-type de la série Correction
Comment calculer la variance et l’écart type ?
La variance et l’écart type permettent de mesurer la « dispersion » des valeurs de la série autour de la moyenne. Si les valeurs de la série possèdent une unité, l’écart type s’exprime dans la même unité. Autre formule pour calculer la variance : V =. Ú bz.
Qu'est-ce que la moyenne et la médiane d'une série statistique ?
La moyenne, la médiane et le mode sont les mesures principales de tendance centrale d'une série statistique. Elles servent à synthétiser la série étudiée au moyen d'un petit nombre de valeurs "caractéristiques". Moyenne : la valeur « moyenne » est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs de la série par l’effectif total.
Comment calculer la médiane d’une série statistique ?
La médiane est la valeur centrale d’une série statistique — la moitié des observations lui sont inférieures ou égales et la moitié des observations lui sont supérieures ou égales. On classe les valeurs de la série statistique dans l’ordre croissant : Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu.
Quelle est la différence entre mode et médiane ?
Mode : Le mode est la valeur la plus fréquente dans un échantillon. Médiane : la médiane est un nombre qui divise en 2 parties la population telle que chaque partie contient le même nombre de valeurs. Dans la même logique, il y a les quartiles, déciles et centiles, qui divisent respectivement en 4, 10 et 100 la population.
Statistiques
Moyenne, M´ediane
On consid`ere une population denindividus, num´erot´es de 1 `an. Sur cette population on mesure un
caract`erex: taille, poids, salaire moyen, ...On notexila valeur du caract`ere pour l"individu num´eroi.
On obtient ainsi (xi)ni=1une s´erie statistique simple, `a une variable. On num´erote les individus de
mani`ere `a ce que la s´erie soit ordonn´ee. En pratique, on est en g´en´eral oblig´e de trier les valeurs de la s´erie.
xLorsque la s´erie prend plusieurs fois les mˆeme valeurs, on utilise les s´eries statistiques pond´er´ees :
(yj,nj)p y1< y2<···< yn,
n j= cardinal{i? {1,2,···,n}tel quexi=yj}, N f j=njn F j=NjnC"est `a dire que :
-pest le nombre de valeurs que prend la s´erie (xi)ni=1, -{y1,y2,···,yp}est l"ensemble des valeurs prise par la s´erie (xi)ni=1.,-njest l"effectif des individus qui prennent la valeuryj, i.e. le nombre de fois que la s´erie (xi)ni=1prend
la valeuryj,-Njest l"effectif cumul´e pour la valeuryj, i.e. le nombre de fois que la s´erie (xi)ni=1prend une valeur
inf´rieure ou ´egale `ayj, -fjest la fr´equence ou proportion d"individus de la population qui prennent la valeuryjpour le caract`erex, -Fj=Njn est la fr´equence cumul´ee.Lorsque l"on a beaucoup de valeurs, ou un caract´ere continu, on peut regrouper la s´erie (xi)ni=1par
classe : ([aj-1,aj[,nj)p j=1,o`unjest l"effectif des individus dont la valeur du caract`ere est dans l"intervalle [aj-1,aj[. Ainsi, on a
toujours n1+n2+···+np=n.
11 Calcul de la moyenne
On notex=1n
n i=1x ila moyenne statistique de la s´erie (xi)ni=1. Lorsque la s´erie (xi)ni=1est regroup´ee par classe on note?x=1n n j=1b jnjla moyenne aprroch´ee de la s´erie (xi)ni=1, o`ubjd´esigne le milieu de l"intervalle [aj-1,aj[.1. Montrez quex=p?
j=1y jfj.Quand a-t-on ´egalit´e :|x-?x|=h2
2 Ecart-type
Soitf(x) =1n
n i=1|xi-x|2. On notes=?f(x), l"´ecart-type et,s2la variance de la s´erie (xi)ni=1.1. Montrez quef >0 d`es quep >1.
2. MinimiserfsurIR.
3. En d´eduire que la valeur moyenne de la s´erie est le nombre qui minimise l"´ecart quadratique moyen.
4. Calculersen fonctiona=x-x1pourn= 2.
3 Stabilit´e de la moyenne
On suppose que l"on cherche `a mesurer une quantit´eξpr´ecis´ement. On fait plusieurs mesures (xi)ni=1de cette quantit´e. En raison d"erreurs de mesures on a
x i=ξ+εi, o`uεid´esigne l"erreur dˆue `a la mesure num´eroi.On va ´etudier la pr´esicion obtenue surξen prenant comme approximation deξla moyenne :x. On
remarquera dans tous les cas suivants que bien que chaquexiest une mauvaise approximation deξ,x donnera une bonne approximation deξ.1. On se place dans le cas o`u les mesures sont ind´ependantes de mˆeme variance, i.e. (εi)ni=1est une suite
de variables al´eatoires ind´ependantes, d"esp´erance nulle et de variances2. avec une probabilit´e d"environ 95% pour un ´echantillon assez grand. Sinest pair, v´erifier que l"on a mˆemex=ξ. 23. On suppose que (εi)iest une suitek-p´eriodique de moyenne nulle :
i+k=εipour touti,1k k i=1ε i= 0. , avecA=k? i=1|εi|. V´erifiez que la suiteεi= sin(iαπ) satisfont les hypoth`eses pourαrationnel.4. On suppose que les sommes des perturbations sont toujours born´ees. C"est `a dire qu"il existe un
nombreC >0 tel que pour toutj: ?????j i=1ε i? V´erifiez que la suiteεi= sin(iαπ) satisfont les hypoth`eses pourα?IR.4 Quelques propri´et´es de la moyenne
1. Associativit´e: Si une populationPdenindividus de moyenne du caract`erex, est partag´ee entre
deux populationsPaetPb, dena, respectivementnbindividus et de moyenne du caract`erex a, respectivementx b.Montrez quex=nax
a+nbx bn2. Valeur aberrante: Soitξla "vraie" valeur de la moyenne de la s´erie statisiques (xi)ni=1. On suppose
quexn=ξ. On est dans le cas o`u une seule valeur de la s´erie statistique est aberrante. Pour cela on
remplace la vraie valeur dexnparξ+A,|A|>>1. (a) Quelle erreur fait-on maintenant surξen l"´evaluant avecx?(b) Justifier le proc´ed´e qui consiste `a enlever les valeurs aberrantes avant de calculer les moyennes,
les variances. 35 Calcul de la m´ediane
Lorsque la s´erie (xi)ni=1est ordonn´ee, on d´efinit la m´ediane suivant la parit´e den:
Med=?xksi n = 2k-1,x
k+xk+12 si n = 2k1. Calculer la m´ediane des s´eries suivantes (1,3), (1,1,1), (2,1,1).
2. V´erifier que au moins 50% des individus ont une valeur du caract`ere inf´erieure ou ´egale `a la m´ediane.
De mˆeme, v´erifier que au moins 50% des individus ont une valeur du caract`ere sup´erieure ou ´egale
`a la m´ediane. Ces deux propri´et´es caract´erisent la m´ediane. On dit que la valeur m´ediane partage en "deux moiti´es" la population.3. Si la s´erie est pond´er´ee, montrez que
Med=?yksiFk-1<0,5< Fk,y
k-1+yk2 siFk= 0,54. Si la s´erie est regroup´ee par classe. On obtient la classe m´ediane en appliquant l"algorithme du calcul
de la m´ediane d"une s´erie pond´er´ee utilisant les fr´equences cumul´ees. V´erifiez que la m´ediane appartient bien `a la classe m´ediane obtenue.6 L"´ecart absolue moyen
Soitg(x) =1n
n i=1|xi-x|. On noteMl"ensemble des points qui minimisegsurIR.1. Repr´esenter le graphe deget expliciterMpour les s´eries suivantes : (-1,1), (-1,0,1).
2. Montrer quegest continue et affine sur les intervalles ]- ∞,y1], [y1,y2], ..., [yp-1,yp], [yp,+∞[.
Sur chaque intervalle, on exprimera la pente degen fonction des fr´equences cumul´ees.3. En d´eduire que la m´ediane apartient toujours `aM.
Plus pr´ecis´ement, montrez queMest un point ou un intervalle, et que, dans ce dernier cas, la m´ediane est le milieu de cet intervalle.4. Ainsi la m´ediane est un nombre qui minimise l"´ecart absolu moyen.
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