[PDF] Résolution numérique dune équation des ondes avec condition aux

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REVUE FRANÇAISE D"INFORMATIQUE

ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLEV.GIRAULT

avecconditionauxlimitesnonlinéairepar uneméthodedecaractéristiques Revue française d"informatique et de recherche opérationnelle,tome 1, n o4 (1967), p. 51-62

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R.I.R.O.

année N< 4 1967
p 51-62

RESOLUTIO

N

NUMERIQU

E D'UN E

EQUATIO

N DE S ONDE S AVE C

CONDITIO

N AU X

LIMITE

S NO N

LINEAIR

E PA R UN E

METHOD

E D E

CARACTERISTIQUE

S pa r V

GIRAUL

T

Résumé,

Cette

étude

utilise la méthode des caractéristiques pour résoudre

numéri-quement une équation des ondes à une dimension avec une condition non linéaire sur lafrontière. La méthode est simple à appliquer, demande peu de calculs et les résultatsobtenus sont remarquablement précis, contrairement à ceux des méthodes classiques deGalerkin et différences finies.

0

INTRODUCTIO

N L e bu t d e c e travai l es t l'étud e numériqu e d u problèm e suivan t

Problèm

e 1

Trouve

r un e fonctio n u(x,t) satisfaisan t l'équatio n de s onde s (0.1 (x,t) (x,t) pou r s€ 0 1 e t 0 ox ut ave c le s condition s initiale s (0.2 u(x,0) 0 (xfi) 0 pou r x£ [0, 1 ot e t le s condition s au x limite s (0.3 u(l," 0 pou r t>0 (0.4 {0,t) 2u (0,t) f{t) pou r 0Ox o _o, 5 [(0,5 - * V(t (0,5-t 3 a e t a("

52V. GIRAULT

C e problèm e adme t un e solutio n local e uniqu e explicité e pa r

Goldbe

r get Neimark [3] : u(x, t) -0 (t-xf l~2(t-x] l~2{t xpour 0 < t < x (48( t x) 32
pou r 0 x t . - x+2 (48( t x) 32
1 2(x t 2 )(48(s + i - 2) - 32) pou r2 et X<1- L e problèm e I a déj ét

étudi

d u poin t d e vu e numériqu e (cf [1]

)par des méthodes classiques de différences finies et Galerkin. Les résultatsobtenus montrent que ces méthodes s'adaptent mal à la résolution de ceproblème non-linéaire. En effet, la solution du problème I n'est pas bornée1sur la ligne t = x + K' H n'est donc pas possible de calculer par desM

méthode s d e différence s finies e t

Galerki

n l a solutio n approché e pou r1t ^ rt* car le calcul de la solution approchée au point t nécessite les valeur s d e l a solutio n approché e a u poin t t k,onk es t l e pa s d e l'approxi -mation sur Taxe des L De plus l'approximation s'est avérée fort mau-. . . . . 1 vais e dan s u n voisinag e d e t Nou s allon s montre r dan s cett e not e comment a u contraire u

nusage convenable de la méthode des caractéristiques permet d'obtenird'excellents résultats.

1

RAPPEL

S SU R LE S

CARACTERISTIQUE

S Poson s (1.1 )P =x T - 9 u dxs =du t d\ dx dt8 u di2 9

RESOLUTION NUMERIQUE PAR CARACTERISTIQUES 53

o n a don c (1.2 du pdx qdt (1.3 dp r dx s dt (1.4 dq s dx 9 dt Soi t l'équatio n d u secon d ordr e dan s R 2 (1.5 ar bs ct e o a 6 c e t e son t de s fonction s d e M p a e t t mai s n e dépenden t pa s d e r 5 e t v. Nou s pouvon s considére r (1.3) (1.4 e t (1.5 comm e

étan

t u n systèm e linéair e e n r 5 e t E n

éliminan

t r e t 9 o n obtien t (1.6 s(a(dtf b dx dt c(dxf) a dp dt c dq dx e dxquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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