[PDF] Equations locales de lélectromagnétisme

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Equations locales de l"électromagnétisme

I) Densité volumique de courant :

On considère un ensemble de particules de charge q, de densité particulaire n * et ayant un mouvement d"ensemble à la vitesse v.

On notera dans la suite :

qnm*=ρla densité de charges mobiles (exprimée en C.m - 3). Comment définir l"intensité qui traverse une surface dS quelconque ? nrθvr dtvr dS

θτcos))((dSvdtdVolume=

vr M (q)

La quantité de charges électriques dq qui traverse la surface élémentaire dS pendant l"intervalle de

temps dt est : qvdtdSnqdndq)cos(**θτ== Or, dSnvdSvrr.cos=θ, d"où : dtdSnjqdtdSnvndqvrrr.).(*== où l"on a défini : vvqnjmrrrρ==* le vecteur densité de courant. L"intensité i : dSnjdt dqirr.==

s"interprète comme le flux du vecteur densité de courant à travers la surface dS orientée.

L"intensité qui traverse une surface finie (S) sera alors : dSnji S rr. Diverses schématisations d"une distribution de charges : 2

Distribution volumique surfacique linéique

Charge τρddq= dSdqσ= lddqλ=

Courant τdjCdrr= dSjCdS

rr= lrrdICd= Intégration ∫∫∫)(V ∫∫)(S ∫)(C

Intensité dSnjdirr.= lrrdjdiS.= i = dq / dt

II) Equation locale de conservation de la charge :

On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d"étude).

Soit ρm la densité volumique de charges mobiles dans le milieu. La charge totale Q(t) comprise dans le volume à l"instant t vaut :

τρdtQmV∫∫∫=

nrjr dS

VVolume

ρρρρm

La conservation de la charge électrique permet d"écrire :

Straversàtidt

dQ)(-=

Par conséquent :

SVmdSnjdtMdtd

rrτρ

Le volume (V) étant fixe :

Vm

VmdttMdtMdtdτρτρ

Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à

SVmdSnjdttMrrτρ

En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky :

ττρdjdivdttM

VVm ),( soit 0),( Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :

0),(=+∂∂jdivt

tMmrρ C"est l"équation locale de conservation de la charge électrique. * Remarque : une telle forme d"équation se retrouve couramment lorsque l"on fait le bilan d"une

grandeur scalaire extensive qui, en l"absence de sources, obéit à un principe de conservation :

3 • Conservation de l"énergie EM (vecteur de Poynting) • Conservation de la masse (en mécanique des fluides) • Equations de la diffusion et de la chaleur (phénomènes de transport). * Densité de courant et intensité en régime permanent :

On a alors

0),(=∂∂t

tMmρ et donc 0=jdivr.

On en déduit :

• L"intensité totale qui sort d"une surface fermée (S) quelconque est nulle en régime

permanent : 0.. VS rrr

• En régime permanent, l"intensité a même valeur à travers toutes les sections d"un même

tube de champ. On considère une surface fermée (S) constituée par un tube de champ (T) du champ jr (appelé tube de courant) et deux surfaces (S

1) et (S2) s"appuyant sur deux contours de même

orientation tracés sur (T) et soient I

1 et I2 les intensités, flux de jr respectivement à travers

(S

1) et (S2).

(T) (S 1) (S 2) (C2) (C1) I1 I2

21)(21)(.0.IIdSnjIIdSnj

TS+-=++-==∫∫∫∫

rrrr

Soit :

III==21

En régime permanent, l"intensité du courant électrique prend la même valeur dans toute section d"une branche de circuit. On peut également en déduire la loi des noeuds (conservation du flux du vecteur densité de courant).

III) Equations de Maxwell :

4

Dans la théorie de Maxwell, l"interaction entre deux particules est transmise par l"intermédiaire de

modifications de proche en proche du champ EM. Cette propagation de l"interaction par

l"intermédiaire du champ EM se fait précisément sous forme d"ondes EM avec la célérité c.

Pour se représenter l"interaction de deux particules dans le cadre d"une théorie de champ, une image possible est celle de deux bouchons A et B flottant sur l"eau et initialement immobiles. Une oscillation verticale de A engendre des oscillations de l"eau qui se transmettent de proche en

proche dans toutes les directions jusqu"à ce qu"elles atteignent B qui est alors mis en mouvement.

Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expriment des relations entre le champ EM ),(BErr et ses sources ),(jrρ : r rrr rr r * Les équations de Maxwell et la conservation de la charge : • Les équations de Maxwell contiennent le principe de conservation de la charge. En effet, si l"on prend la divergence de l"équation de MA :

ρμμεμμεμrrrrrr

00000000)(

Soit :

0=∂∂+tjdivρr

Ainsi, il n"est pas nécessaire d"ajouter la conservation de la charge aux postulats de l"EM dans la

mesure où celle-ci découle des équations de Maxwell. • Nécessité du courant de déplacement t Ej

D∂∂=

rr

0ε :

En régime quelconque, on pose

)(0DjjBrotrrr+=μ. Alors :

DDjdivjdivBrotdivjdivrrrr-=-=)(1

0μ Soit encore, si l"on veut respecter le principe de conservation de la charge : tjdivjdivD∂ ∂-=-=ρrr

En utilisant l"équation de MG :

()EdivttjdivD rr

0ερ

∂-=∂∂-=- soit 00=)) ∂∂-tEjdivD rrε 5

La solution la plus simple de cette équation correspond bien au choix du courant de déplacement

t Ej

D∂∂=

rr

0ε.

* Les équations de propagation du champ EM :

Soit une distribution (D) de charges localisées autour d"un point O, dont les densités sont

fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs

Er et Br variables dans le

temps qui vont s"établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé

en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en tB∂∂/r et tE∂∂/r

" provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de

Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps ... On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche en proche à la surface de l"eau.

" Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées

partielles par rapport au temps tB∂∂/r et tE∂∂/r est à l"origine du phénomène de propagation du champ EM. » Obtention des équations de propagation du champ EM : On calcule le rotationnel de l"équation de Maxwell-Faraday : ()()BrottErotrotrr Or : ()()EEdivgradErotrotrrrΔ-= Avec tEjBrotetEdiv∂∂+== rrrr 000

0μεμερ, il vient :

tEjtEgrad rrr 000

0μεμερ

Soit, finalement :

tjgradtEE∂∂+=∂∂-Δ rrr 0 022

001μρεμε

De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA : ()()()ErottjrotBBdivgradBrotrotrrrrr ∂+=Δ-=000μεμ

Soit :

∂∂-∂∂+=Δ-tB tjrotBgrad rrr

0000μεμ

Finalement :

jrottBBr rr 022

00μμε-=∂∂-Δ

6 Dans une région sans charges ni courants (00rr==jetρ) : 0022
0022
00 Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l"on note s(t) l"une des six coordonnées des champ EM (E x,...., Bx,...), alors : )1(01000222 222
vssoittss C"est l"équation de d"Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIII ème siècle pour modéliser les vibrations d"une corde tendue. Comme le montre le paragraphe suivant, les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité v. * Résolution de l"équation de d"Alembert : (voir cours sur les ondes mécaniques) On se propose de résoudre l"équation de d"Alembert unidimensionnelle : 0122

222=∂∂-∂∂

ts vxs De manière symbolique, cette équation peut s"écrire : 0.=) ∂∂+∂∂stxvtxv

On pose :

v xtqet v xtp-=+= et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q : qpvqxq pxp x1 qpqtq ptp t∂

On en déduit :

qtxvetptxv∂ ∂=∂∂+∂∂22 L"équation de d"Alembert prend alors la forme : 0 2 qs pqps

Par conséquent,

)(qqs?=∂∂ et, si f(q) désigne une primitive de ?(q), alors : )()()()(v xtg v xtfpgqfs++-=+= Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : 7 )(),(v xtftxs-=

On constate que :

)()(v xxttf v xtfΔ+-Δ+=- pour tout couple Δx et Δt vérifiant : tvxΔ=Δ. Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens positif.

O Instant

t

Instant

t+ΔΔΔΔt )(),(vxtftxs-=+ tvxΔ=Δ x

La solution

)(),(v xtftxs+= - représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens négatif. On se propose maintenant de résoudre l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : ),,,(),(0122

2tzyxstrsavects

vs==∂∂-Δr

On vérifie que des fonctions de la forme :

)(),,,(;)(),,,(;)(),,,(,,,v ztftzyxs v ytftzyxs v xtftzyxs zyxmmm===±±±

sont solution de l"équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de

directions de propagations respectives zyxuetuurrr,, dans le sens positif ou négatif).

Des ondes sphériques sont également solution de l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : on

cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien

en coordonnées sphériques, il vient :

01)(122

222=∂∂-∂∂

ts vrsrr

Soit encore :

0)(1)(22

222=∂∂-∂∂rstvrsr

On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l"équation unidimensionnelle de

d"Alembert. Par conséquent : )()(),(v xtg v xtftrrs++-= 8

Soit :

)(1)(1),(v xtg rv xtf rtrs++-= Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et

convergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de

l"affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r. * Changement de référentiel :

Soit, dans le référentiel du laboratoire (R), un faisceau de protons de densité particulaire n

homogène, d"axe (Oz) et de rayon a. Le faisceau est dit homocinétique lorsque toutes les

particules ont la même vitesse zuvvrr=. Une étude de symétries conduit à (dans le référentiel du laboratoire) :

θurBBeturEErrrrr)()(==

On se place maintenant dans le référentiel (R") lié aux charges, c"est-à-dire se déplaçant en

translation rectiligne par rapport à (R) à la vitesse zuvvrr=. Les charges, immobiles, ne créent pas de champ magnétique ( )0'rr=B et ne subsiste donc q"un champ électrique 'Er. Cet exemple simple illustre le fait que le champ EM dépend du référentiel considéré.

Formule de changement de référentiel :

Soit

vr la vitesse d"une particule de charge q dans un référentiel (R) et soit 'vr sa vitesse dans un

référentiel (R") animé de la vitesse evr par rapport à (R).

La force de Lorentz doit être identique dans les deux référentiels (principe d"invariance de la

force en mécanique newtonienne), par conséquent : ()()'''BvEqBvEqfrrrrrrr?+=?+= On utilise la relation de composition des vitesses evvvrrr+=' : ''')'(BvEBvvEe rrrrrrr?+=?++

Soit :

''''BvEBvBvEequotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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