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Ondes dans les milieux

diélectriques

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2 I) Notions d"électromagnétisme dans les milieux diélectriques :

Dans la matière, un champ EM agit sur les atomes, les molécules ou les ions en les déformant. Le

milieu matériel va ainsi : • Se polariser sous l"action du champ électrique • S"aimanter sous l"action du champ magnétique

Ces modifications vont alors provoquer l"apparition d"un champ électrique (ou magnétique)

induit par le champ EM externe, qui s"ajoute à celui-ci. Le but de ce paragraphe est d"expliquer comment ces phénomènes microscopiques se traduisent à l"échelle macroscopique dans l"expression des équations de Maxwell.

Dans certains milieux (métaux, plasmas), les charges se déplacent librement (on parle de charges

et de courants libres). Dans les diélectriques, les charges ne se déplacent que très peu et

s"organisent sous forme essentiellement de dipôles électriques (on néglige les contributions dues à

l"apparition de quadripôles ou même d"octopôles électriques).

Le champ électrique ne pénètre pas dans les milieux conducteurs, la densité surfacique de charges

libres d"ajustant pour annuler le champ créé par les charges externes. Par contre, le champ

électrique pénètre à l"intérieur d"un matériau isolant et agit sur les porteurs de charge de la

matière, d"où le nom de diélectrique (du grec, signifiant " à travers »).

On peut citer l"expérience de l"introduction de matière isolante entre les armatures d"un

condensateur, réalisée historiquement par Faraday : on constate que la capacité augmente, d"un

facteur qui dépend du matériau, appelé permittivité relative de l"isolant et notée

εr. Pour maintenir

le même potentiel, le générateur auquel sont reliées les armatures doit fournir une quantité

d"électricité plus importante.

Pour interpréter de manière qualitative cette expérience, on peut suivre la démarche suivante :

• Charger un condensateur plan, puis l"isoler ; quelle conséquence cela a-t-il par la suite sur

les charges libres des armatures ?

• Introduire un diélectrique entre les armatures ; quelles sont les caractéristiques du vecteur

polarisation dans le diélectrique ? • Qu"en déduit-on sur les charges volumiques de polarisation ? Et en surface ? (s"aider de petits dipôles) • Dans quel sens a varié le potentiel pendant l"introduction ? Et la capacité ? 3

Le vecteur polarisation vaut 0eP Eε χ=r r, où Er est le champ total à l"intérieur du condensateur.

Sur l"armature gauche, la charge surfacique de polarisation est .( )P xP u Pσ= - = -rr. Le champ électrique créé par cette répartition est alors 0 0P

P x x e

PE u u Eσχε ε= - = - = -r rr r. Par conséquent, le champ global Er, somme du champ initial et de celui créé par les charges de polarisation vaut : 0 001 1 e e rEE E E soit E Eχχ ε= - = =+ rr r r r r 4 Remarque : on montre bien que le vecteur Dr reste constant :

0 0 0 0 01

r rE E soit D E E Dε ε εε= = = =r r r r r r Quelques remarques sur la piézoélectricité :

1 - Vecteur polarisation :

• Vecteur polarisation : Dans la plupart des milieux (comme l"air ou l"eau, par exemple) soumis à un champ électrique

extérieur, les chargées liées se déplacent à l"échelle atomique et il apparaît alors des dipôles

électriques : le milieu se polarise.

5 Un milieu susceptible de se polariser est un " diélectrique ».

On peut citer différentes types de polarisation : la polarisation électronique (ou atomique), la

polarisation d"orientation ou encore la polarisation ionique :

* Polarisation électronique : un matériau isolant initialement neutre peut être constitué d"atomes

ou de molécules présentant une symétrie telle qu"ils ne possèdent pas de moment dipolaire

électrique permanent (H

2, O2, ...). En revanche, plongé dans un champ électrique, la molécule se

déforme (le nuage électronique surtout) et le barycentre des charges négatives diffère de celui des

charges positives ; il y a apparition d"un moment dipolaire induit par le champ électrique.

* Polarisation d"orientation : pour des molécules polaires (ayant déjà un moment dipolaire), la

présence d"un champ électrique a tendance à orienter les moments dipolaires dans le sens du

champ, faisant apparaître ainsi à l"échelle mésoscopique un moment dipolaire résultant non nul.

En l"absence de champ (figure (a)), l"orientation des dipôles élémentaires est aléatoire. En

présence de champ (figure (b)), les dipôles ont tendance à s"orienter davantage dans la direction

du champ (malgré l"effet antagoniste de l"agitation thermique).

* Polarisation ionique : un cristal ionique se déforme dans un champ électrique et il apparaît alors

un moment dipolaire résultant. Illustration schématique des différents mécanismes de polarisation. 6

On note Pr le vecteur polarisation, défini comme étant le moment dipolaire par unité de volume :

τd pdPrr= où pdr désigne le moment dipolaire du volume mésoscopique τd. Le vecteur polarisation peut s"exprimer sous la forme : *dpP n pdτ= = rrr où n

* est la densité particulaire de moments dipolaires (nombre de dipôles par unité de volume).

Modèle de polarisation électronique de l"atome : (fig) et 7 • Vecteur densité volumique de courants liés :

Ces charges liées se déplacent et créent un courant de charges liées dont on peut définir son

vecteur densité volumique.

Volume dτ

Oi

Mi (qi)

vi ri

Mi : barycentre des charges

négatives (q i < 0) O i : noyau fixe

Le vecteur polarisation vaut :

iii iiiirqdMOqddpdPrrr 11 (la somme s"effectue sur toutes les charges q i contenues dans le volume mésoscopique dτ). En dérivant par rapport au temps : (les points O i sont fixes) liées iiijvqdtPrrr

1 ; liéesPjt

∂=∂rr où

liéesjr désigne, par une définition analogue à celle du vecteur densité de courants de charges

libres, le vecteur densité volumique de courants de charges ici liées. 8 • Densité de charges liées correspondantes :

On peut étudier l"état électrique d"un milieu matériel polarisé en définissant une densité

volumique de charges liées. En l"absence de charges et de courants libres, le principe de conservation de la charge conduit ici

0=+∂∂

liéesliéesjdivt rρ

Soit :

( )0)(=+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂PdivtPdivttt Pdiv tliéesliéesliées rrr

Par conséquent,

Pdivliées

r+ρ est indépendante du temps. En considérant l"état de repos du système, il vient :

0=+Pdivliées

rρ Ainsi, tout se passe comme si apparaissait une densité de charges liées égale à :

Pdivliées

r-=ρ

Ainsi, dans un milieu matériel, on pourra utiliser les équations de Maxwell dans le vide à

condition de tenir compte de ces différentes densités volumiques de charges et de courants.

Densité surfacique de charge de polarisation :

1

ère méthode : la relation Pdivliées

r-=ρ permet d"affirmer (par analogie à l"équation de Maxwell-

Gauss) que :

21,1,2→-=-nPPliéesnnrrrσ

Si le milieu (2) est le vide et

nr le vecteur normal du diélectrique vers le vide (normale sortante) : nPliéesrr.=σ 2

ème méthode (neutralité du milieu) :

La charge électrique portée par le diélectrique doit rester nulle ; ainsi :

0liées liéesV Sd dSρ τ σ+ =∫∫∫ ∫∫

Soit :

( ) ( . ) 0liées liéesV S SdivP d dS P n dSτ σ σ- + = - + =∫∫∫ ∫∫ ∫∫

r rr Cette égalité doit être valable pour tout volume (V), par conséquent : nPliéesrr.=σ.

2 - Equations de Maxwell dans les milieux :

La densité totale de charges dans le milieu matériel peut s"écrire, en tenant compte des charges

libres et des charges liées de polarisation : 9

Pdivlibresliéeslibres

r-=+=ρρρρ De même, en tenant compte des effets de polarisation, la densité de courants devient : t Pjjjj libresliéeslibres∂∂+=+= rrrrr Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère donnent ensuite : )(1 00

PdivEdivlibres

rr-==ρεερ Et : tE tPjtEjBrotlibres∂∂+)) rrrrrr

000000μεμμεμ

On définit le champ :

PEDrrr+=0ε

Dr est le vecteur déplacement électrique.

Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère deviennent : ∂∂+==tDjBrotetDdiv libreslibres rrrr

0μρ

Les deux autres équations, ne faisant pas intervenir les sources, restent inchangées : t

BErotetBdiv∂∂-==rrr0

On obtient ainsi les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques.

Dans la suite, on considère des milieux diélectriques dépourvus de charges et de courants libres.

Les équations de Maxwell deviennent :

t

BErotBdiv

t 0μ

Remarque (discontinuités des champs) :

On a montré dans le cours sur les équations locales que les discontinuités ou continuités des

champs Er et Br découlaient des équations de Maxwell de la manière suivante :

0div B=r d"où 2 10N N NB B BΔ = - =rr r r

Brot Et

ruuurr d"où 2 10T T TE E EΔ = - =rr r r 0 div Eρ

ε=r d"où 2 11 2

0

N N NE E E nσ

ε→Δ = - =r r rr

10

0 0 0Erot B jtμ ε μ∂= +∂

ruuurrr d"où 2 10 1 2T T T SB B B j nμ→Δ = - = ?r r rrr

De la même manière, dans un diélectrique dépourvu de charges et de courants libres, les

équations de Maxwell :

t

BErotBdiv

t

DBrotDdiv

rrrrrr;0;;00μ conduisent uniquement aux relations de continuités suivantes :

2 10N N ND D DΔ = - =rr r r ; 2 1T T TB B BΔ = -r r r ; 2 10N N NB B BΔ = - =rr r r ; 2 10T T TE E EΔ = - =rr r r

3 - Théorème de Gauss pour

Dr :

Il se réécrit simplement :

Ainsi, en l"absence de charges libres :

0.)(=∫∫SdSnDrr

Le vecteur

Dr devient à flux conservatif.

4 - Milieu linéaire, homogène et isotrope :

La plupart des milieux ne présentent pas de polarisation permanente. Pour ces milieux, lorsque l"intensité du champ électrique Er (variable éventuellement dans le temps) n"est pas trop importante, le lien entre la polarisation

Pr du milieu et Er reste linéaire.

Lorsque les variations de

Er sont rapides, la polarisation induite ne suit pas toujours instantanément les variations du champ, mais avec un certain retard (déphasage).

Les composantes de

Er et de Pr sont liées par des équations différentielles linéaires.

Lorsque le champ

Er varie sinusoïdalement dans le temps, on adopte la notation complexe et les composantes de Er et de Pr sont alors liées par des relations linéaires du type : zyx zzezyezxeyzeyyeyxexzexyexxe z yxEEE P PP

0χχχχχχχχχ

soit []EPe rrχε0= où []eχ est une matrice appelée tenseur de susceptibilité électrique.

Le milieu linéaire est homogène si ses propriétés ne dépendent pas du point M ; les coefficients

de la matrice []eχ ne sont pas fonction de la position.

Il est isotrope si la matrice

[]eχ est scalaire (pas de direction privilégiée). 11

Finalement, dans un DLHI (diélectrique linéaire homogène isotrope), la relation entre les champs

Er et Pr est : (en notation complexe)

EPe rrχε0= où eχ est la susceptibilité du milieu (sans dimension), fonction de la pulsation ω du champ

électrique.

Remarque : pour le vide,

0=eχ.

Expression du vecteur déplacement électrique (ou induction électrique) Dr :

Les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques font apparaître un nouveau champ

inconnu Dr :

PEDrrr+=0ε

Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope : (et en notation complexe)

EEPEDe

rrrrrεχεε=+=+=)1(00

ε est appelé permittivité diélectrique complexe du milieu. C"est une constante caractéristique du

matériau.

Dans le cas du vide,

)0(0 rrrr==PEDε, alors 0εε=vide.

On définit la permittivité relative

εr (constante sans dimension) par :

rεεε0= soit erχε+=1

L"équation de Maxwell

libresDdivρ=r se réécrit alors, en faisant apparaître le champ électrique : rlibres

Edivεε

0 =r (dans la zone où εr est réelle)

En régime stationnaire,

εr peut se mesurer par le rapport des capacités d"un condensateur avec et sans diélectrique. Elle dépend de la température et de la pression.

Quelques ordres de grandeurs :

* Solides : εr (paraffine) = 2,1 ; εr (verre) = 5,4 à 10 * Eau :

εr (eau) = 81

* Air :

εr (verre) = 1,000590 (à 20°C et 1 bar)

II) Etude d"un modèle de polarisation électronique, le modèle de l"électron

élastiquement lié :

1 - Le modèle de l"électron élastiquement lié :

Ce modèle est dû au physicien hollandais Lorentz (1853 - 1928). 12 Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti par frottement fluide (perte d"énergie par rayonnement dipolaire).

Il est placé dans un champ électrique supposé uniforme à l"échelle de la molécule, de la forme

)cos(0tEEωrr=.

Le PFD appliqué à l"électron donne :

Eqvfrkamrrrr+--=

Remarques :

* Le champ de l"onde est uniforme à l"échelle de la molécule : la longueur d"onde de l"onde est >> que les dimensions de la molécule.

* Pour un milieu peu dense, on néglige les champs créés par les molécules voisines. Le champ

électrique local est confondu avec celui de l"onde. * On néglige l"action du champ magnétique de l"onde.

Dans la suite, on pose :

02 0 22
0 ;;εωτωmen fm mkp===

Alors :

Em qrrrrr&r&&r=++2

01ωτ

On peut définir

τω0=Q le facteur de qualité de l"oscillateur :

EmqrrQrrrrrr&r&&rr&r&&r=++=++2

002

01ωωωτ

En régime sinusoïdal forcé :

E Q jmq r rr 2 02 02 011

2 - Vecteur polarisation :

Le moment dipolaire de la molécule est

Erqprrrα== (où α est la polarisabilité de la molécule).

Le vecteur polarisation s"en déduit : (n

* désigne le nombre de charges liées par unité de volume) E Q jmqn P rr 2 02 02 02*11

3 - Susceptibilité complexe du milieu :

A partir de

EPe rrχε0=, on déduit : 13 -+=2 002* 0 2 02 00 2 02 02

002*:1111ωεχ

ωωωεχmqnAvec

Q jQjmqne χ0 est la susceptibilité diélectrique statique (pour ω = 0).

On pose

21χχχje-=, alors :

02 02 2 02 0 202
02 2 022
02 1111
111
QQ Q

Dans la réalité, Q est de l"ordre de 10

3 à 10 4.

Remarque : on reconnaît des expressions semblables aux fonctions de transfert d"un filtre

rejecteur de bande pour

1χ et passe-bande pour 2χ.

On constate que les grandeurs

1χ et 2χ varient notablement dans la bande passante Q

0ωω≈Δ,

de part et d"autre de

0ω (voir figures (a) et (b)).

14 (Le facteur de qualité vaut ici Q = 10) Dans cette bande passante, 2χ prend des valeurs importantes. En dehors de cette zone, 2χ est très faible (passe-bande très sélectif).

La figure suivante donne les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité avec deux pulsations

de résonance, l"une à la limite visible - UV et l"autre à la limite UV - Rayons X : 15

On peut montrer que

2χ est directement reliée à la puissance moyenne volumique dissipée.

En effet, celle-ci vaut :

()*.Re2

1.EjEjP

liéesliéesd rrrr== or :

EjjPjjliées

rrr)(210χχωεω-==

D"où :

2 020 2 1EP dχωε= Ainsi, l"absorption de l"onde EM sera surtout importante pour des pulsations comprises autour de

ω0.

Ainsi, lorsque la bande d"absorption est éloignée du domaine d"étude (généralement le visible),

alors il est inutile de tenir compte du terme d"amortissement dans le PFD appliqué à l"électron. La

susceptibilité et l"indice sont alors réels (c"est l"EM dans le vide où c est remplacé par c / n !).

4 - Polarisation totale et ordre de grandeurs :

Un milieu contient souvent plusieurs types de charges susceptibles de se déplacer sous l"action du

champ EM de l"onde : * Les autres électrons liés à l"atome ou à la molécule. 16 * Les noyaux même lourds.

Toutes ces charges liées contribuent au vecteur polarisation total qui peut se mettre sous la

forme : E Q jmqn P i iiiiiii rr∑ -+=2 ,02 ,02 ,02*11 A chaque type d"oscillateur correspond une zone d"absorption. Entre ces zones, la dissipation d"énergie au sein du milieu est faible.

Quelques ordres de grandeurs :

* Les pulsations caractéristiques de la polarisation électronique

ω0,e sont situées dans le domaine

visible et l"UV (fréquences de l"ordre de 10

14 à 10 15 Hz).

* Les pulsations propres associées aux mouvements des atomes d"une molécule ou des ions d"un

cristal ionique, beaucoup plus massifs que les électrons, sont nettement plus faibles. Les

pulsations caractéristiques de la polarisation atomique ou ionique

ω0,i, suivant les cas, apparaissent

dans le domaine IR (fréquences de l"ordre de 10

12 à 10 14 Hz).

Les facteurs de qualité associés sont élevés, de l"ordre de 10

4 en moyenne, de sorte que l"on

observe des zones d"absorption distinctes correspondant aux polarisations électroniques et

ioniques. Intervention des divers types de polarisation (représentation schématique,quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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