[PDF] Equations locales de lélectromagnétisme

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1 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) PC*

Equations locales de

l"électromagnétisme 2 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme)

Equations locales de l"électromagnétisme

I) Equation locale de conservation de la charge :

On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d"étude). nr jr dS

VVolume

C"est l"équation locale de conservation de la charge électrique. (M,t ) divj 0 t r 3 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) • Densité de courant et intensité en régime permanent : (M,t ) 0 t donc

0=jdiv

r • L"intensité totale qui sort d"une surface fermée (S) quelconque est nulle en régime permanent : 0..

τdjdivdSnji

VS r rr • En régime permanent, l"intensité a même valeur à travers toutes les sections d"un même tube de champ. (T) (S 1) (S 2) (C 2) (C 1) I1 I2 4 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme)

II) Equations de Maxwell :

Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expriment des relations entre le champ EM ),(BEr r et ses sources ),(jr )()()()(0 0000 r rrr rr r 5 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) III) Contenu physique des équations de Maxwell : Ce paragraphe permet de montrer que les équations " locales » de Maxwell donnent, par intégration, des lois et théorèmes connus qui peuvent être vérifiés expérimentalement. • Equation de Maxwell-Gauss et théorème de Gauss : • Equation de Maxwell-Ampère et théorème d"Ampère " généralisé » : • Equation du flux magnétique et champ magnétique à flux conservatif : • Equation de Maxwell-Faraday et loi de Faraday : 6 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) IV - Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) :

Quelques ordres de grandeur :

Pour le courant industriel fourni par le secteur ( Hz50 ), alors kmc0006== L"ARQS est donc valable lors de l"étude du champ magnétique d"un solénoïde parcouru par un courant alternatif. Avec mMHz30,10 , de telle sorte que l"ARQS reste valable lors de l"étude de circuits réalisés en TP sur une table de dimensions de l"ordre du mètre.

Dans le domaine des hyperfréquences (

cmsoitGHz30,1 ), l"ARQS n"est plus valable et les phénomènes de propagation tiennent alors un rôle important. 7 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) V - Loi d"Ohm dans les conducteurs ohmique dans le cadre de l"ARQS : Pour un conducteur comme le cuivre par exemple, le temps de relaxation (" durée » de collision des porteurs de charges) est de l"ordre de s 14 10 Or on sait que, dans un conducteur, la loi d"Ohm est satisfaite si le temps caractéristique d"évolution du système T vérifie >>T . Dans le cadre de l"ARQS, cette condition sera bien vérifiée. Ainsi, dans le cadre de l"ARQS, la loi d"Ohm locale sera valable : j E r r 8 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) Le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction dans un conducteur ohmique : 0 E j E t ∂<< =∂r r r On note T le temps d"évolution (la période) caractéristique de la distribution (D) :

000εσ

εσT

T EE t

EE=≈

∂∂r r

Pour le cuivre de conductivité

117
.10.6

Ω=m

, ce rapport est de l"ordre de T 1810
(avec T en s). Ainsi, même si T est de l"ordre de s 10 10 (soit une fréquence de 10 GHz) : 8 0

10≈

tEE r r L"équation de Maxwell-Ampère s"écrit alors :

EjBrotr

r r

σμμ00

9 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) Neutralité électrique : On suppose qu"à l"instant t = t

0, il existe en un point M intérieur au conducteur une

charge volumique ),(0tM Comment varie dans le temps cette charge volumique ? 0;; 0 ∂+==tjdivEjEdiv r r r r 011 00 tsoittjdiv r

Par intégration : σεττρρ000

exp),(),(=)) d d avectttMtM

Pour le cuivre,

s d14 10.4 : très rapidement, le conducteur devient neutre en volume :

0),(=tM

Ainsi, comme en régime stationnaire, les charges s"accumulent au voisinage immédiat de la surface d"un conducteur, d"où l"intérêt de la notion de charge surfacique σ. 10 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme)

Equations de Maxwell dans un conducteur :

Finalement, dans le cadre de l"ARQS, le champ EM vérifie les équations de

Maxwell " simplifiées » suivantes :

EjBrottBErotEdivBdiv

r rrr rr r

σμμ00

00 Ainsi, dans un conducteur, l"ARQS ne diffère des régimes stationnaires que par la prise en compte des phénomènes d"induction (équation de Maxwell-Faraday). 11 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) VI) Continuités ou discontinuités spatiales du champ EM : Pour le champ électrique : 21

012→

=-=ΔnEEEr r r r (Continuité de la composante tangentielle et discontinuité de la composante normale)

Pour le champ magnétique :

21012→

?=-=ΔnjBBB S r r r r r (Continuité de la composante normale et discontinuité de la composante tangentielle) 12 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme) VII) Densité volumique d"énergie électromagnétique, vecteur de Poynting, équation locale de conservation de l"énergie :

1 - Puissance volumique cédée par le champ EM à la matière : Un champ EM

),(BEr r va interagir avec des particules chargées et leur fournir de l énergie. Une charge q est soumise de la part de ce champ EM à la force de Lorentz, dont la puissance s"écrit : vEqvBvEqP L rr r r r r n est le nombre de porteurs de charges par unité de volume. La puissance volumique cédée par le champ EM à la matière s"écrit donc : L

L,voldP

p nq E.v j.E dτ r r r r Remarque : la puissance reçue par le champ EM de la part des porteurs de charge est Lp- (permet de faire l"analogie avec p S, puissance volumique reçue par un milieu conducteur de la chaleur de la part des sources de chaleur). 13 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme)

2 - Equation locale de conservation de l"énergie : A partir des équations de Maxwell (admis) :

).()(22 002 2 0

EjBEdivBE

trr r r r r

Interprétation (bilan d"énergie EM) :

nr Πr dS

VVolume

eem eme div j.E t r r r em(V ) ( S ) (V )e d .n dS j.E d t r r r r Densité volumique d"énergie électromagnétique : 02 2 0

22μεBEe

em r r

Vecteur de Poynting :

0μ BEr r r?=Π

τμτμεdEjdSnBEdBE

t VSV rrr r r r r ..)22( )(0)(02 2 0 14 O Granier, PC* J Decour (Equations locales de l'électromagnétisme)

3 - Bilan énergétique pour un fil conducteur ohmique :

On considère un fil conducteur ohmique de conductivité γ, assimilé à un cylindre d"axe (Oz) et de rayon a, soumis au champ électrique uniforme et permanent (à l"intérieur et à l"extérieur du fil) : zuEEr r 0 Le fil est alors parcouru par des courants de densité zzuEujjr r r

0γ==

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