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PROBL

EMES DE

THERMODYNAMIQUE (L3)

et leurs corriges

Christian Carimalo

TD1

I. Formes dierentielles, facteur integrant

1 )Soit la forme dierentielle a deux variablesxety:

D=X(x;y)dx+Y(x;y)dy(1)

Rappeler la condition necessaire et susante pour que (1) soit la dierentielle d'une fonction Z=Z(x;y). On dit dans ce cas queDest une dierentielle totaledZ. Indiquer alors comment on peut obtenir la fonctionZ(x;y). 2 )Les formes dierentielles suivantes sont-elles des dierentielles totales? Si oui, determiner la fonction correspondante, a une constante pres. D

1=y2dx+x2dy(x+y)2;D2=az

dxbz dy+byaxz

2dz;D3=dx+xdy;D4=yzdx+dy+dz

D

5=CvdT+RTV

dV;D6=RTV dV;D7=D5+D6 Dans ces expressions,a;b;CvetRsont des constantes. 3 )Pour les formes qui ne sont pas des dierentielles totales, peut-on leur trouver un facteur integrant?

II. Coecients thermoelastiques

Les trois variables thermodynamiques pressionP, volumeVet temperatureTd'un systeme binaire sont liees par une equation d'etat que l'on peut ecrire sous la forme

F(P;V;T) = 0

L'une quelconque de ces trois variables peut donc ^etre consideree comme une fonction des deux autres, ces dernieres devant alors ^etre considerees comme independantes. Si l'on se donneVetT,Pest alors determine :P=P(V;T); siPetTsont donnees,Vest determine :V=V(P;T); siPetVsont donnees c'estTqui est determine :T=T(P;V). 1 )Etablir les relations @P@V T =1 @V@P

T;@P@V

T @V@T P @T@P V =1 2 )On denit les coecients thermoelastiques =1V @V@T P ; =1P @P@T V T=1V @V@P

TChristian Carimalo2TD de Thermodynamique - L3

a) Nommer ces coecients. Preciser leurs caracteres extensif ou intensif. b) Montrer que=PT. c) Determiner;etTpour une mole de gaz parfait d'equation d'etatPV=RT; un kilogramme de gaz parfait; une mole de gaz de Van der Waals d'equation d'etat P+aV 2 (Vb) =RT. III. Determination d'une equation d'etat a partir des coecients thermoelastiques A/Montrer que pour un systeme binaire, la connaissance de deux coecients thermoelastiques permet de determiner l'equation d'etat. On donne =1T

1 +3aV T

2 T=1P

1 +aV T

2

Vetant le volume molaire etaune constante.

a) Quelle est la dimension de la constantea? b) Verier que les expressions des deux coecients sont compatibles avec les proprietes des derivees partielles d'une fonction. c) Determiner l'equation d'etat correspondante. On imposera a l'equation trouvee d'avoir comme limite l'equation d'etat des gaz parfaits pour les grands volumes. d) Faire le m^eme exercice si l'on se donne =R(V+a0)2PV

2(V+ 2a0); =R(V+a0)PV

2 Vetant le volume molaire,Rla constante des gaz parfaits eta0une constante. B/Des mesures des coecientsetTde l'eau pour des temperatures entre0C et10C et pour des pressions inferieures a 20 atm. ont donne les resultats suivants (T;P) = 2A(TT0) +B(PP0); T(T0;P) =0 ouA,B,T0etP0sont des constantes positives,Tla temperature etPla pression;0est une constante positive independante deP. 1 )Determiner l'expression deT(T;P). 2 )Determiner l'equation d'etat de l'eau dans le domaine considere, sachant que pourP= P

0etT=T0, le volume massique prend la valeurv0.

C/Demontrer qu'un

uide pour lequel =RRT+bP; T=RTP(RT+bP);et limb!0V(T;P) =RTP a pour equation d'etatV(T;P) =RT+bPP (Vest le volume molaire).Christian Carimalo3TD de Thermodynamique - L3

IV. Echelles de temperatures

Dans le domaine de temperatures comprises entre0C et816C, une resistance de platine varie en fonction de la temperature Celsiustselon la loi R(t)R

0= 1 +

tt100 t100 1 ouR(t)est la valeur de la resistance atC,R0sa valeur pourt= 0C; les parametres etont pour valeurs respectives= 3;92103,= 1;49. Dans l'intervalle[0C,100C], on veut utiliser cette resistance comme grandeur thermometrique pour denir une echelle centesimale de temperature=AR(t) +Btelle que= 0pour t= 0C (R=R0) et= 100pourt= 100C (R=R100). 1 )Montrer que l'on denit ainsi une echelle de temperature dierente de l'echelle Celsius. 2 )Determiner l'ecartten fonction det. Pour quelles valeurs detl'ecart est-il maximum? 3 )Jusqu'a quelle temperaturetau-dela de100C peut-on utiliser l'echellede telle sorte que l'ecart relatifjtt jreste inferieur a 1%?Christian Carimalo4TD de Thermodynamique - L3

Corrige TD1

I. Formes dierentielles, facteur integrant

1 )et2)L'egalite@X@y =@Y@x est la condition necessaire et susante pour qu'une forme dierentielleDa deux variablesxetysoit la dierentielle d'une fonctionZ=Z(x;y). On verie que seulesD1etD7la satisfont. L'integration deD7qui ne fait intervenir que la seule variableTest immediate. On trouveZ7=CvT+ constante. Le cas deD1est un peu plus complique. On doit avoir @Z1@x =X1=y2(x+y)2, d'ou Z

1(x;y) =y2x+y+'(y)

ou'est fonction de la seule variabley. Comme on doit avoir@Z1@y =Y1=x2(x+y)2=

2yx+y+y2(x+y)2+'0(y), on trouve'0(y) = 1et par suite'(y) =y+ constante. On a

nalementZ1(x;y) =xyx+y+ constante. Dans le cas de formes dierentiellesD=Xdx+Y dy+Zdza trois variablesx,yetz, il faut et il sut que soit veriees les trois conditions 1 R x=@Z@y @Y@z = 0; Ry=@X@z @Z@x = 0; Rz=@Y@x @X@y = 0 SeuleD2les satisfait et l'on trouveF2(x;y;z) =axbyz + constante. 3 )Le facteur integrant d'une forme dierentielleDqui n'est pas la dierentielle d'une fonc- tion est une fonctiontelle que le produitDsoit la dierentielle d'une fonction2. Une formeDa deux variables possede toujours des facteurs integrants. Pour trouver leur forme generale, on procede de la facon suivante en prenantD3comme exemple. On resout tout d'abord l'equationD3= 0, ce qui donne ici la relationu3(x;y) = lnx+y= constante. Considerant une fonctionarbitraire3(u3), un facteur integrant3deD3satisfait les equations3X3= 03(u3)@u3@x et3Y3= 03(u3)@u3@y , ce qui conduit ici a

3(x;y) =1x

03(lnx+y)

On verie notamment que1=xest l'un des facteurs integrants deD3, conduisant a la fonction F

3(x;y) =y+lnx+constantetelle quedF3=D3=x. Mais(lnx+y)=xest aussi un facteur

integrant, conduisant cette fois a la fonctionF3(x;y) =12 ln2x+12

y2+ylnx+constante.1. Qui signient que les composantesRx,RyetRzdu rotationnel du champ de vecteurs de compo-

santesX,YetZdoivent ^etre nulles.

2. Voir J. Bass : \Cours de Mathematiques", Tome I, p 577, Masson et Cie ed., 1968.Christian Carimalo5TD de Thermodynamique - L3

Par le m^eme procede, on trouve

4(T;V) =1T

04(CvlnT+RlnV); 6(T;V) =VT

06(V) Le cas des formes dierentielles a trois variablesD=Xdx+Y dy+Zdzqui ne sont pas des dierentielles de fonctions est plus complique. Elles ne possedent de facteurs integrants que si et seulement si le champ de vecteurs de composantesX,YetZest orthogonal a son rotationnel. On verie queD4ne satisfait pas cette condition et ne possede donc aucun facteur integrant. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

II. Coecients thermoelastiques

1 )PosantF0P=@F@P , etc, et ecrivantdF=F0PdP+F0VdV+F0TdT= 0, on en deduit dP=1F

0PF0VdV+F0TdT; dV=1F

0VF0TdT+F0PdP

dT=1F

0TF0PdP+F0VdV

d'ou @P@V T =F0VF

0P;@P@T

V =F0TF

0P@V@T

P =F0TF

0V;@V@P

T =F0PF

0V@T@P

V =F0PF

0T;@T@V

P =F0VF 0T

On en deduit aisement les relations mentionnees.

2 ) a),etTsont de caractere intensif;, homogene a l'inverse d'une temperature, est le coecient de dilatation isobare;, homogene a l'inverse d'une temperature, est le coecient d'augmentation de pression isochore;T, homogene a l'inverse d'une pression, est le coecient de compressibilite isotherme. b) La relation=PTse deduit aisement des relations etablies au1). c) Pour le gaz parfait :==1T etT=1P et ce, pour une masse quelconque de gaz.

Pour une mole de gaz de Van der Waals :

=1T 1bV

112aRTV

(1bV )2; =1T

1 +aPV

2 T=1P 1bV 1aPV

2+2abPV

3Christian Carimalo6TD de Thermodynamique - L3

A noter queetTont ete calcules de facon astucieuse en tenant compte des relations@T@V P =1V et@P@V T =1V T. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx III. Determination d'une equation d'etat a partir des coecients thermoelastiques

A/Recherchons par exemple l'equation d'etat d'un

uide sous la formeV=F(P;T). Celle-ci s'obtient en principe en integrant la dierentielle dV=@V@T P dT+@V@P T dP=V dTV TdP ou encore en integrant la dierentielledlnV=dTTdP. On voit ainsi que la donnee des deux coecientsetTpermet de determiner l'equation d'etat. a) Dans l'exemple propose, la dimension de la constanteaest celle du produit d'un volume et du carre d'une temperature. b) L'integration de la dierentielledlnVne peut ^etre mene a son terme que si l'on a bien@@P T =@T@T P . Pour l'exemple propose, on a @@P T =3aV 2T3 @V@P T =3aV T

3T=3aPV T

3

1 +aV T

2 et @T@T P =aP 2V T

3+1V T

2 =3aPV T 3

1 +aV T

2

L'egalite est donc bien veriee dans ce cas.

c) Choisissons ici comme point de depart l'integration deT. On doit resoudre l'equation @V@P T =VP

1 +aV T

2 qui peut ^etre recrite sous la forme

V+P@V@P

T =aT 2=@@P (PV) T d'ouPV=aT

2P+'(T). On pourrait determiner immediatement la fonction'(T)en

utilisant la condition que pour les grands volumes l'equation d'etat doit se confondre avec celle des gaz parfaits,PV=RT, d'ou'(T) =RT. Mais continuons plut^ot le processus d'integration en utilisant l'expression dequi impose que @V@T P =2aT 3+'0P =V =VT +3aT 3=2aT 3+'PT soit'0='= 1=T, donc'(T) =KTouKest une constante que l'on ajuste au moyen de ladite condition limite. On trouve ainsiK=R.Christian Carimalo7TD de Thermodynamique - L3 d) Si l'on se donne =R(V+a0)2PV

2(V+ 2a0); =R(V+a0)PV

2 le mieux est alors de rechercher l'equation d'etat sous la formeT=F(P;V), c'est-a-dire, integrer les relations @T@V P =1V =PV(V+ 2a0)R(V+a0)2;@T@P V =1P =V2R(V+a0)

De facon evidente, commencons par la seconde :

T=PV2R(V+a0)+'(V)

Puis, en utilisant la premiere :

@T@V P =1V =PV(V+ 2a0)R(V+a0)2+'0(V) =PV(V+ 2a0)R(V+a0)2 on en deduit'(V) = constante =K. La condition limite des gaz parfaits donne alorsK= 0.

On obtient nalement l'equation

PV=RT

1 +a0V

B/ 1 )@T@T P =@@P T =B, d'ouT(T;P) =B(TT0) +'(P). Mais

T(T0;P) =0='(P)est independant deP. Ainsi,

T(T;P) =0B(TT0)

2 )@lnV@P T =T, d'ou3lnV=0(PP0) +B(PP0)(TT0) + (T). Sans aller plus loin, il sut de consid'erer la conditionlnV(T0;P0) = lnMv0= (T),Metant la masse molaire de l'eau, pour trouver que (T)est en fait une constante. Finalement, l'equation d'etat recherchee prend la forme lnV(T;P) =0(PP0) +B(PP0)(TT0) + lnMv0

C/L'integration de1V

@V@T P ==RRT+bPdonneV=f(P)(RT+bP). Utilisant ensuite l'expression deT, il vient @V@P T =V T=RTVP(RT+bP)=f0(RT+bP) +bf=RTfP d'ouf0=f=1=Petf(P) =K=PouKest une constante. Celle-ci est facilement determinee par la condition limite preconisee. On trouveK= 1. L'equation d'etat recherchee

est donc :3. Pour simplier la suite, on a considerePP0comme primitive de 1 dans l'integration surP.Christian Carimalo8TD de Thermodynamique - L3

V(T;P) =RT+bPP

A noter que le coecientprend ici une expression tres simple : =P T=1T xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

IV. Echelles de temperatures

1 )La nouvelle echelleest denie par = 100RR0R

100R0=t

1100
t100 1 et est donc dierente de l'echelle Celsius (6=t, sauf aux pointst= 0C ett= 100C). 2 )L'ecartt=t100 t100 1 est maximum pourt= 50Cet vaut alors=4 = 0;37C. 3 )jtt j=100 t100 1

102pourt100(1 +11;49), soitt167C.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxChristian Carimalo9TD de Thermodynamique - L3 TD2

I - Coecients calorimetriques

Au cours d'une transformation innitesimale reversible au cours de laquelle sa pressionP, son volumeVet sa temperatureTvarient respectivement dedP,dVetdT, un gaz recoit une quantite de chaleur innitesimaledQque l'on peut ecrire sous trois formes equivalentes : dQ=CvdT+`dV=CpdT+hdP=dP+dV 1 )Donner les denitions deCv;Cp;`;h;eten precisant leurs caracteres extensif ou intensif. 2 )Exprimer les rapports=Cv;=Cp;`=hen fonction des coecients thermoelastiques; etT, et montrer queCpCv=V `. 3 )On suppose le gaz parfait. a) On a alors`=P. En deduire dans ce cas l'expression deCpCv. b) Dans l'hypothese ou le rapport =Cp=Cvest constant, determiner l'equation des isen- tropiques (adiabatiques reversibles) pour ce gaz.

II - Barre metallique

On considere une barre metallique de longueur`, de section droite, de masse volumique , de capacite calorique par unite de masse a force constante (chaleur massique)C, sur laquelle s'exerce une force de tractionFdans la direction de la longueur. L'etat d'equilibre de la barre est decrit par une equation d'etat`=`(F;T). 1 )Soit une transformation innitesimale reversible ou la force de traction, la temperature, la longueur varient respectivement dedF,dTetd`. a) Quel est le travail elementairedWrecu par la barre? b) La chaleur recue par la barre s'ecritdQ=A(F;T)dT+k(F;T)dF. Que represententA etk? ExprimerAen fonction deC;;et`. c) Exprimerket@A@F T a l'aide deTet des derivees de`. 2 )On eectue une traction adiabatique reversible. a) Quelle est la variationdT1de temperature consecutive a une variation innitesimaledF1 de la force? Quel est son signe? b) On appelle coecient de dilatation lineairede la barre la grandeur=1` @`@T F

Exprimer

dF1dT

1en fonction deT;;C;et.

c) Application : calculer la variation de temperature resultant d'une traction adiabatique pour

laquelle la traction par unite de surface passe de0a10kg mm2, sur une barre de cuivre aChristian Carimalo10TD de Thermodynamique - L3

27

C. On donne= 1;6105K1;C= 400J kg1;= 9103kg m3.

3 )On chaue reversiblement la barre en maintenant la longueur constante. a) Quelle forcedF2faut-il exercer si on augmente la temperature dedT2? b) Le module d'elasticite isothermeETde la barre est deni par1E T= 1` @`@F T . Exprimer dF 2dT

2a l'aide de;ET;.

c) Application : pour la barre precedente,ET= 121010N m2. Quelle force par unite de surface faut-il exercer pour elever la temperature de 1 K en maintenant la longueur constante? 4 )On denit le module d'elasticiteESa entropieSconstante par1E S= 1` @`@F S

Montrer que

1E T1E T=T2C

III - Corps solide

Pour un solide soumis a des variations de pression et de temperature pas trop elevees, on admet que le coecient de dilatation lineairelina pression constante ainsi que le coecientquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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