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Ecole Normale Superieure de Lyon Universite de Lyon Licence de Physique, Parcours Sciences de la Matiere, A. A. 2013-2014

Premiere exploration du monde quantique

TD1: Dualite onde-matiere, amplitudes et interference

1 Double fente avec detecteurs

On reprend l'experience de la diusion d'electrons par la double fente, avec deux modica- tions importantes.

1.1 Detecteurs imparfaits aux deux fentes

On imagine que pres des deux fentes on place deux detecteurs, qui sont capables de detecter le passage de l'electron par la fente 1 ou 2. On imagine que les electrons passent un par un par les deux fentes, et que les deux detecteurs sont capables de detecter le passage de la particule avec une probabilitef <1. On fait l'hypothese simplicatrice que les deux detecteurs ont des ecacites parfaitement correlees, c'est-a-dire soit ils sont tous les deux actifs, soit aucun des deux ne l'est (pour prendre un exemple concret, on peut imaginer que les deux detecteurs sont parfaits, mais qu'ils sont allumes au hasard avec une probabilite f).|sα|1φ|2?|x? sourceécran détecteurdétecteur1.1.1 Ecrire l'amplitude et la probabilite correspondante que l'electron soit detecte enjxiquand la detection de la fente par la quelle il est passe a eu lieu (Utiliser les symbolesjsi;j1i;j2i, etc...: par exemple, l'amplitude d'aller de la sourcesa la fente 1 s'ecrit commeh1jsi). 1.1.2 Ecrire l'amplitude et la probabilite correspondante que l'electron soit detecte enjxiquand aucun detecteur ne s'est declenche. 1 1.1.3 En deduire la probabilite de detection de l'electron enjxiquel que soit l'etat des detecteurs. De combien est-ce que le contraste des franges d'interference a ete attenue par rapport au cas sans detecteurs?

1.2 Photo-detecteurs aux deux fentes avec \cross-talk"

Maintenant on essaie de modeliser le processus de detection plus en detail. On imagine de placer une source de photons derriere la paroi centrale de la double fente; les photons issus de cette source subissent une diusion Compton par les electrons qui traversent la double fente, et sont ensuite captes par un des photo-detecteursD1ouD2. On imagine ici avoir des detecteurs parfaits, avec une ecacite de 100%. Les photons etant des particules quantiques, il faut aussi tenir compte de leur etat nal dans le calcul des amplitudes. En particulier, on indique paraij, (i;j= 1;2) l'amplitude qu'un photon, diuse par un electron qui passe par la fentei, soit detecte dans le detecteurDj. Ceci signie qu'on envisage aussi le processus ou un photon diuse par la fente 1 est capte parD2, et vice-versa.|sα|1φ|2?|x? sourceécran photo- détecteur D 1 D

21.2.1

Ecrire l'amplitude de probabiliteA(x;D1) que l'electron soit detecte enjxiet le photon en D

1, puis l'amplitudeA(x;D2) que l'electron soit detecte enjxiet le photon enD2.

1.2.2 Ecrire la probabiliteP(x) que l'electron soit capte enjxiindependamment de l'etat nal du photon. Pourquoi est-ce queP(x)6=jA(x;D1) +A(x;D2)j2? Soita11=a22=aet a

12=a21=b, avecjaj2+jbj2= 1 (justier). Pour quelles conditions suraetbest-ce qu'on

obtient l'interference maximale et l'interference minimale dans l'expression deP(x)?

2 Eet photoelectrique.

L'energie maximale des electrons ejectes d'une photocathode par une radiation de longueur d'onde= 253.7 nm (respectivement 589.0 nm) est 3:14eV (respectivement 0:36eV).

En deduire :

1) La valeur de la constante de Planck.

2

2) L'energie minimale d'extraction des electrons.

3) La longueur d'onde maximale produisant un eet photoelectrique sur cette photocathode.

3 Diusion d'electron par un cristal: experience de Davisson-

Germer (1927-28)

La premiere mise en evidence de la nature ondulatoire de la matiere (notamment des electrons) et due a Davisson et Germer, qui montrerent que les electrons sont diuses par un cristal comme la lumiere est diusee par un reseau de diraction. L'experience conrma quantitativement la theorie de Louis de Broglie pour la premiere fois, ce qui lui permit d'obtenir le prix Nobel en 1929.-d cannon

à electrons

détecteur Ve e e e -d cannon

à electrons

détecteur Ve e e e a)b)

PHYSICS:DAVISSONANDGERMER

REFLECTIONANDREFRACTIONOFELECTRONSBYA

CRYSTALOFNICKEL

ByC.J.DAVISSONANDL.H.G}RM}R

BuLLTELEPHONELAoBRAToRIEs

ReadbeforetheAcademyApril23,1928

raysfromacrystalface. .23L

0246ioIA

i

4122242

vi

FIGURE1

tensityvs.V1/2 (2d/n)

619VOL.14,1928

c)Comme montre dans la gure (panneau a), dans l'experience de Davisson et Germer un faisceau d'electrons est accelere par une dierence de potentielVet collimate vers un cristal de Nickel. Les electrons sont diuses par les atomes sur la surface du cristal, avec un pas cristallind, comme indique dans la gure, et captes par un detecteur place a un angle d'emergence. 3.1 Soitpl'impulsion avec laquelle les electrons arrive sur la surface du cristal. Exprimerp en terme de la longueur d'onde de de Broglie. Quelle condition doit satisfaireppour que l'onde electronique diusee par deux atomes voisins sur la surface presente une interference constructive en arrivant au detecteur? 3.2 Le pas cristallin du Ni estd= 2:15A. Dans l'experience de Davisson et Germer de 1927 V= 54 V, qui donne aux electrons une energie cinetiqueeV(e= 1:61019C). Calculer l'impulsion correspondante (sachant que la masse de l'electron vautm= 9:11031Kg) et la longueur d'onde de de Broglie. Est-elle comparable avecd? Davisson et Germer 3 trouverent un pic de diraction a un angle= 50o, comme montre dans la gure (panneau b). Verier que ce pic correspond au premier ordre de diraction (n= 1). A quel angle auraient-ils trouve le deuxieme pic de diraction? 3.3 Dans une deuxieme experience en 1928 Davisson et Germer mesurerent la variation de l'intensite du faisceau electronique diuse a un angle donneen fonction du voltage V, comme indique dans la gure (panneau c). Expliquer qualitativement la dependence periodique de cette intensite enV1=2. Quelle devrait ^etre la periode? 4 Ecole Normale Superieure de Lyon Universite de Lyon Licence de Physique, Parcours Sciences de la Matiere, A. A. 2013-2014

Premiere exploration du monde quantique

TD2: Polarisation, spin, et operateurs hermitiques

1 Interferometre de Mach-Zender, experience \which-path",

et \quantum eraser" Un interferometre de Mach-Zender est compose d'un separateur de faisceau (beam splitter, BS) qui separe un faisceau entrant dans le brasjAien deux faisceaux de m^eme intensite, diriges sur les deux bras de l'interferometre,jB1ietjB2i. Les deux faisceaux sont ramenes sur un deuxieme BS, qui en recombine une partie. Par rapport a l'interferometre MZ traditionnel on ajoute aussi un polariseur horizontal (H) qui selectionne la polarisation Havant que les photons arrivent sur l'ecran de detection. On indique parjXij il'etat conjoint de \position" des photons (X) et de polarisation ( ). L'amplitude du passage entre un etatjXij iet un etatjX0ij 0ipeut ^etre decomposee en amplitude de passage pour la partie spatiale et pour la partie de polarisation des photons, c'est-a-direA(X; ! X

0; 0) =hX0jXih 0j i.écranBSBS

|A?|??|B 1 ?|φ?|B 2

φ|ψφ|xψ|Hψ

polariseur H1.1 Interference dans le MZ standard Soitj i=jHi+jVi(;2C;jj2+jj2= 1). Ecrire l'amplitudeA1de detection d'un photon enjxijHipassant par le brasjB1ide l'interferometre, puis l'amplitudeA2associee au passage par le brasjB2i. En deduire la probabiliteP(x;H) de detection d'un photon en jxijHi. Montrer qu'elle contient un terme d'interference.

1.2 MZ modie et contr^ole de la gure d'interference

Maintenant on considere un interferometre de Mach-Zender modie, ou le premier BS de- vient un separateur-polariseur (polarizing beam splitter, PBS), qui est transparent pour la polarisationjHiet completement re echissant pour la polarisationjVi. Donc les deux bras de l'interferometre sont maintenant distingues par leur etat de polarisation. Par contre on imagine que le polariseur devant l'ecran de detection puisse ltrer une polarisation arbitraire j 0i. 5

écranBSPBS

|A?|φ? polariseur |B 1

φ|Hφ|B

2

φ|Vφ|x?|ψ

?1.2.1 Soitj 0i=jHiouj 0i=jVi. A l'aide du calcul precedent, montrer que la gure d'interference a ete detruite par l'introduction du PBS. 1.2.2 Soit maintenantj 0i=ajHi+bjVi(a;b2C;jaj2+jbj2= 1). Montrer que la gure d'interference peut reappara^tre; pour quels valeurs deaetbsa visibilite est-elle maximale? [Cet exemple montre que le polariseur peut \eacer" l'information additionnelle donnee par l'introduction du PBS - il se comporte donc comme un \eaceur quantique" (quantum eraser)].

2 Experience de Stern-Gerlach avec orientation arbitraire du

gradient de champ magnetique On considere un faisceau d'electrons dont les spins sont tous dans l'etatj "zipolarise suivant l'axez. On fait passer ce faisceau par un appareil de Stern-Gerlach dans lequel le gradient de champ magnetique est applique suivant une direction arbitraire ^n(SGn).|φ z n n "Initialement on imagine qu'un spin polarise suivant la direction ^npositive est dans un etat j " ni j "zi+j "xi, avec;2C. 2.1 Ecrire la forme normalisee dej "ni, et trouver l'etatj #niqui lui est ortogonal,h#nj "ni= 0; 6 2.2 Donner la fractionF("n) du faisceau d'electrons qui est recoltee dans l'etat de spinj "ni apres avoir traverse l'appareil SG n. Maintenant on prend le cas le plus general possible, dans lequel ^n= (cossin;sinsin;cos), ou les angles;sont associes a un referentiel dont l'axezest l'axe de polarisation initial des spins des electrons avant de traverser l'appareil SG n. On verra plus tard dans le cours que les etats de spin polarises le long de ^ns'ecrivent comme j " ni= cos(=2)j "zi+ sin(=2)eij #2i j # ni=sin(=2)eij "zi+ cos(=2)j #2i(1) 2.3 Justier avec un argument simple pourquoi le nombre d'electrons dans chaque faisceau (avec spinj "nietj #nirespectivement) qui sort du SGnne peut pas dependre de l'angle . Ensuite calculer les fractionsF("n) etF(#n). Maintenant on revient a l'analogie entre etats de spin et etats de polarisation en choisissant j " ni ! jHietj #ni ! jVi. Donc le SGnagit comme un separateur-polariseur. 2.4 Justier pourquoi l'etatj "zicorrespond a une polarisation elliptique: j " zi !cos(=2)jHi eisin(=2)jVi:(2) 2.5 Ecrire les composantes du champ electriqueE(t) = (Ex(t);Ey(t)) (avec modulejEj2=E0), et justier queEx(t)E0cos(=2) etEy(t)E0sin(=2). Le champE(t) decrit une ellipse dont le grand axe fait avec les axes de coordonnes un angle controle par l'angle. Justier geometriquement que le module du champ qui sort par exemple de la brancheH du separateur-polariseur ne depend pas de, en utilisant le fait que le champ est donne par la projection de l'ellipse sur l'axex(=H).

3 Questions variees sur les operateurs hermitiques

3.1 Valeurs propres

On suppose quejiietjjisont des kets propres d'un operateur hermitique^A.A quelle condition peut-on conclure quejii+jjiest aussi un ket propre de^A?

3.2 Projecteurs

3.2.1

Montrer qu'un projecteur

^Pa=jaihajest un operateur hermitique. (jaiest un ket norme). 3.2.2

Montrer que

^P2a=^Pa. 7 3.2.3 On considere un ket quelconquejbi. Montrer que^Pajbiest un vecteur propre de^Paet determiner la valeur propre correspondante. 3.2.4

Trouver les valeurs propres de

^Pa.

3.3 Operateur de spin 1/2

L'operateur hermitique

^Ad'un systeme a deux etats est donne par :

A=j " ih " j j # ih # j+j " ih # j+j # ih " j

ouj " ietj # isont les vecteurs propres de^Sz.

Ecrire

^Aen termes des operateurs^Sx,^Syet^Sz. Trouver les valeurs propres de cet operateur et les kets propres correspondants. On utilisera une representation de l'espace des etats pour faire le calcul. 8 Ecole Normale Superieure de Lyon Universite de Lyon Licence de Physique, Parcours Sciences de la Matiere, A. A. 2013-2014

Premiere exploration du monde quantique

TD3: Operateurs, valeurs moyennes et mesure

1 Sphere de Bloch pour le spinS= 1=2

Considerons un etat arbitraire normalise d'un spinS= 1=2, qui admet la forme generale (a un terme de phase globale pres): j i= cos(=2)j "zi+ sin(=2)eij #zi:(1) 1.1 Calculer les valeurs moyennesh^Si=h j^Sj ipour=x;y;z, et montrer queh^Siest un vecteur de module~=2 dont la direction est donnee par les angles (;) (polaire et azimuthal respectivement). 1.2 Sur la sphere denie par toutes les directions deh^Si(dite sphere de Bloch) localiser les etats propres de^Sx,^Syet^Sz.

2 Systeme a trois etats

On considere un systeme physique dont l'espace des etats a 3 dimensions est rapporte a une base (j1i,j2i,j3i). Dans cette base, deux operateurs,^Aet^B, sont representes par : A=a0 @1 0 0 0 2 0

0 0 21

A ^B=b0 @1 0 0 0 0 1

0 1 01

A ouaetbsont des constantes positives. 2.1

Aet^Bsont-ils hermitiques ? Commutent-ils ?

2.2 Le systeme physique est a l'instantt= 0 dans l'etat : j i=1p2 j1i+12 j2i+12 j3i

On mesure

^Aa cet instant. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilites ?

Calculerh^Aiet l'ecart quadratique moyen ^A.

9 2.3 Le systeme etant toujours dans l'etatj i, on mesure^B. Quelle est la valeur deh^Bi? Quels resultats peut-on trouver et avec quelles probabilites ? Quel est le ket d'etat du systeme immediatement apres la mesure ? 2.4

On mesure

^Aet on trouve 2a, puis on mesure^Bet on trouveb. Quel est l'etat du systeme apres ces deux mesures ? On mesure a nouveau^A. Combien trouve-t-on ?

3 Molecule de benzene

Une molecule est formee de 6 atomesA1; A2; :::; A6formant un hexagone regulier. On considere un electron qui peut ^etre localise sur le n iemeatome (n= 1;2; :::;6). L'etat correspondant est alors notejni. On se limitera pour les etats de l'electron a l'espace engendre par lesjni, qui sont supposes orthonormes. 3.1

On denit l'operateur

^Rpar les relations :

Rj1i=j2i^Rj2i=j3i:::^Rj6i=j1i

Est-ce que

^Rest hermitique? Trouver les valeurs propres et les etats propres de^R. Montrer que les vecteurs propres de^Rforment une base orthonormee de l'espace des etats. 3.2

On considere maintenant l'operateur

^Wqui fait sauter l'electron d'un atome a l'autre:

W(j1i) =aj6i aj2i

W(j2i) =aj1i aj3i

W(j6i) =aj5i aj1i

ouaest nombre reel { on apprendra dans la suite du cours que^West lie physiquement a l'energie cinetique de l'electron. Montrer que^Rcommute avec^W, et que^W=a(^R+^Ry). En deduire les etats propres et les valeurs propres de^W. Dans les etats propres, l'electron est-il localise sur un site?

4 Theoreme de Hellmann-Feynman

Considerons un operateur

^H() dependant d'un parametre reel. Soitj()iun vecteur propre norme de^H() :^H()j()i=E()j()i h()j()i= 1:

Demontrer quedd

E() =h()jdd

^H()j()i: 10 Ecole Normale Superieure de Lyon Universite de Lyon Licence de Physique, Parcours Sciences de la Matiere, A. A. 2013-2014

Premiere exploration du monde quantique

TD4: Principe(s) d'indetermination de Heisenberg, evolution temporelle

1 Principe d'indetermination de Heisenberg pour deux ope-

rateurs non commutants

Soient

^Aet^Bdeux operateurs hermitiques qui ne commutent pas, [^A;^B]6= 0, et soitj i un etat arbitraire norme de l'espace d'Hilbert. On denit les operateurs: ^A=^A h^Ai ^B=^B h^Bi (1) ouh:::i =h j:::j i. 1.1

Montrer que (

A)2=h(^A)2i , ou on a deni ( A)2=h^A2i h^Ai2 . Utiliser l'inegalite de Cauchy-Schwarz pour montrer que

A)2( B)2 jh j^A ^Bj ij2(2)

1.2 En introduisant l'anticommutateurf^A;^Bg=^A^B+^B^A, montrer que ^A ^B=12 [^A;^B] +f^A;^Bg :(3) Justier que [^A;^B] est un operateur anti-hermitique (tel que^Cy=^C), etf^A;^Bgest un operateur hermitique. Justier que si^Cest hermitique,h^Ci est un nombre reel, et que si ^Cest anti-hermitique,h^Ci est un nombre imaginaire pur. 1.3 Conclure avec le principe d'indetermination d'Heisenberg pour deux operateurs non com- mutants:

A)( B)12

jh[^A;^B]i j(4)

2 Theoreme de Ehrenfest et principe d'indetermination de

Heisenberg temps-energie

Soit ^Hle Hamiltonien de notre systeme,^Aun operateur hermitique (dont la denition peut dependre du temps), etj (t)il'etat evolue de notre systeme, qui satisfait l'equation de

Schrodinger.

11 2.1

Demontrer le theoreme de Ehrenfest:

i~ddt h^Ai (t)=h[^A;^H]i (t)+i~* @^A@t (t)(5) 2.2

Pour la suite on imagine que la denition de

^Ane depend pas du temps. Si [^A;^H]6= 0 ecrire le principe d'indetermination d'Heisenberg entre^Aet^Ha l'instantt. En deduire le principe d'indetermination energie-temps: (t)H) (A)~2 (6) ou (A) = ( (t)A)ddt h^Ai (t) 1 (7) Justier que le temps (A) est le temps caracteristique dans lequel la position de la moyenne deAse decale d'un intervalle comparable a la largeur de la distribution des valeurs possibles deA. 2.3 Considerons un noyau instable qui se desintegre par emission d'un proton. Si le temps de desintegration est= 1s, quelle est l'incertitude sur l'energie du proton emis?

3 Oscillations de Rabi libres et eet Zenon quantique

Considerons un spin sujet a un champ selonx

H=!1^Sx(8)

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