Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé

FONCTION DERIVÉE

Pour tout nombre a on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a. On a donc défini sur R une fonction

Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée

On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2x. 2 Dérivées des fonctions usuelles : Fonction. Fonction dérivée pour tout

Dérivation

Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles. Fonction constante. ? k. 0. Fonction affine. ? ax+b a. Carré. ? x2. 2x.

Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation. 1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée.

Tableau de dérivées

Si et sont deux fonctions dérivables sur l'ensemble D (D étant un intervalle ou une réunion d'intervalles) et ? est un nombre réel on a : Fonction.

3x +2 f (x)= 2×5x ? 3

La fonction f admet un minimum égal à -7 en x = 2. III. Tangente en un point de la parabole. 1) Nombre dérivé. Méthode : Calculer un nombre

Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul

Exercice 15.5: On considère la fonction f (x) = x2 + 2x – 8. a)Calculer sa dérivée. b)Déterminer la pente de la tangente à la courbe y = f (x) au.

Chapitre 4: Dérivée dune fonction et règles de calcul

2Mstand/renf – JtJ 2019. Exercice 4.3 : Calculer la dérivée des fonctions f suivantes: 1) f (x) = 3x + 6. 2) f (x) = 4x2 – 2x + 5. 3) f (x) = 3x3 – 2x + 5.

DÉRIVATION

3) Formules de dérivation des fonctions usuelles : f '(x) = 2x ... 2 x. 0;+?????. Exemples : a) Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x6 ...

Dérivée d’une fonction - e Math

2x0 On a même montré que le nombre dérivé de f en x0 est 2x0 autrement dit : f0(x)?2x Exemple 2 Montrons que la dérivée de f(x)?sinx est f0(x)?cosx Nous allons utiliserles deux assertions suivantes : sinx x ¡¡¡! x!0 1 et sinp¡sinq?2sin p¡q 2 ¢cos p¯q 2 Remarquons déjà que la première assertion prouve f(x)¡f(0) x¡0 ? sinx

Tableau de dérivées - Parfenoff org

Exemple 3 : Calculer la dérivée de la fonction ???? : ????(????) = 1 ????2?2????+4 ????2?2????+4=0 n’a pas de solution dans ? car ?=4?4×4= ?12

Exercices corrigés – Révisions – Thème : Dérivation

2 Déterminer la fonction dérivée de la fonction f 3 Déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles f’(x) = 0 4 Donner le tableau de signes de f ' et le tableau de variations de f sur l’intervalle [-6 ; 6] 5 Tracer la courbe représentative C f de la fonction f dans un repère orthogonal (O i j) r r; ; :

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maths et tiques

Comment calculer les fonctions dérivées?

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 1) f 1 (x)=5x32) f 2 (x)=3x2+4x3) f 3 (x)= 1 2x2+5

Comment savoir si une fonction est dérivable ?

f0(x0)g(x0)¯g0(x0)f(x0). Ceci étant vrai pour tout x02 I la fonction f £g est dérivable sur I de dérivée f0g¯ f g0. 2.2.Dérivée de fonctions usuelles Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître, x est une variable.

Qu'est-ce que la fonction dérivée?

f'(x)=2x. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f. Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un cours d’eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction.

Quelle est la dérivée de fonctions usuelles ?

2.2.Dérivée de fonctions usuelles Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître, x est une variable. Le tableau de droite est celui des compositions (voir paragraphe suivant), u représente une fonction x7!u(x). Fonction Dérivée xnnxn¡1(n2Z) 1 x¡ 1 2 p x1 2 p1 x x??x?¡1(?2R) exex lnx1 x

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

DÉFINITIONEtant donnéfest une fonction définie sur un intervalleIcontenant le réela,fest dérivable enasif(a+h)f(a)h

tend vers un réel, appelé alors nombre dérivé defenaet notéf0(a), lorsquehtend vers 0.

Sifest dérivable pour tous les éléments deI, on dit quefest dérivable surIet on appelle dérivée defla fonction, notée

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta,f(a+h)f(a)h

=(a+h)2a2h =a2+2ah+h2a2h =2a+h. Ce quotient tend vers 2aquandhtend vers 0. Pour touta,fest donc dérivable enaetf0(a) =2a. On dit quefest dérivable surRet que sa fonction dérivée est définie parf0(x) =2x.

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

f(x) =af

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

f(x) =2x4)f0(x) =2f(x) =xn(nentier>2)f

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

f(x) =x3)f0(x) =3x2f(x) =1xf

0(x) =1x

2R f(x) =1x n(nentier>2)f

0(x) =nx

n+1R f(x) =1x

2)f0(x) =2x

3 f(x) =1x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

px]0;+¥[1 reSérie Technologique - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net1

3Étude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

Avertissement :Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à

dire que la dérivée dex2est égale à 2x(alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui àxassociex2est la

fonction qui àxassocie 2x).

Il ne faut jamais oublier que l"on ne doit pas confondre unefonctionfavecf(x)(l"image dexparfqui est unréel) et que la

dérivéef0est elle-même unefonctionqui à toutxassocief0(x)(le nombre dérivé defenx, qui est unréel).

afin de nous concentrer sur l"utilisation des formules.

3-1Formef+g

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionf+gest aussi dérivable surIet(f+g)0=f0+g0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

est définie par : f

0(x) =12

px |{z} d

´eriv´eedepx

(1)x 2|{z} d

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIet sikest un réel alors la fonctionkfest aussi dérivable surIet(kf)0=kf0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

=21x est définie par : f

0(x) =2(1)x

2|{z} d

´eriv´eede1x

=2x 2

3-3Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionfgest aussi dérivable surIet(fg)0=f0g+fg0.2

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Dérivation

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

px |{z} d

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

px |{z} d

´eriv´eede3+px

3-4Formef2

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIalors la fonctionf2est aussi dérivable surIetf20=2f0f.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3-5Forme1f

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleI(oùf(x)ne s"annule pas) alors la fonction1f

est aussi dérivable surIet 1f 0 =f0f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3-6Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI(oùg(x)ne s"annule pas) alors la fonctionfg

est aussi dérivable surI et fg 0 =f0gfg0g 2.1 reSérie Technologique - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net3

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =7x2x+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede7xz}|{

(7)(2x+3)(7x)d

´eriv´eede2x+3z}|{

(2)(2x+3)2=14x+2114x(2x+3)2=21(2x+3)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2z}|{

(2x)(3x+1)(x2)d

´eriv´eede3x+1z}|{

4Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :FonctionFonction dérivée

f+gf

0+g0kf(k2R)kf

0fgf

0g+fg0f

22f0f1

f f0f 2f gf

0gfg0g

25Exemples de dérivation nécessitant l"utilisation de plusieurs formes :

La première chose à faire avant de dériver une fonction est de déterminer sa structure (somme, produit, quotient ...) afin de déter-

miner quelles sont les formes à utiliser.

Exemples :

1)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x3+5x2+7x5 :

La fonction se présente d"abord comme une somme de termes, on utilise donc la formef+g(de dérivéef0+g0) et pour

dériver 2x3et 5x2on utilise la formekf. Ce qui donne : f

0(x) =2(3x2)|{z}

´eriv´eedex3+5(2x)|{z}

´eriv´eedex2+ (7)|{z}

´eriv´eede7x5=6x2+10x+7

2)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (8x2+5)px:

La fonction se présente sous la forme d"un produit, on utilise donc la formefg(de dérivéef0g+fg0). La dérivée de 8x2

(formekf) est égale à 8(dérivée dex2) =8(2x) =16x. La dérivée de 5 est elle égale à 0. Donc la dérivée de 8x2+5

est égale à 16x.

D"où le résultat final :

0(x) =16x|{z}

´eriv´eede8x2+5px+(8x2+5)12

px |{z} d

´eriv´eedepx

=16xpx+8x2+52 px 4 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Dérivation

3)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =147x2:

La fonction se présente sous la forme d"un inverse, on va donc utiliser la forme 1f (de dérivéef0f

2). On aura donc besoin

de la dérivée de 47x2:

La dérivée de7x2(formekf) est égale à7(dérivée dex2) =7(2x) =14x. La dérivée de 4 étant nulle, la

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Comment calculer les fonctions dérivées?

Comment savoir si une fonction est dérivable ?

Qu'est-ce que la fonction dérivée?

Quelle est la dérivée de fonctions usuelles ?

1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta,f(a+h)f(a)h

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

0(x) =1x

0(x) =nx

2)f0(x) =2x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

P.Brachet -www .xm1math.net1

3Étude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

3-1Formef+g

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

0(x) =12

´eriv´eedepx

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

0(x) =2(1)x

´eriv´eede1x

3-3Formefg

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

´eriv´eede3+px

3-4Formef2

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3-5Forme1f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3-6Formefg

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Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =7x2x+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede7xz}|{

´eriv´eede2x+3z}|{

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2z}|{

´eriv´eede3x+1z}|{