[PDF] Chapitre 4: Dérivée dune fonction et règles de calcul





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FONCTION DERIVÉE

Pour tout nombre a on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a. On a donc défini sur R une fonction



Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée

On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2x. 2 Dérivées des fonctions usuelles : Fonction. Fonction dérivée pour tout 





Dérivation

Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles. Fonction constante. ? k. 0. Fonction affine. ? ax+b a. Carré. ? x2. 2x.



Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation. 1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée.



Tableau de dérivées

Si et sont deux fonctions dérivables sur l'ensemble D (D étant un intervalle ou une réunion d'intervalles) et ? est un nombre réel on a : Fonction.



3x +2 f (x)= 2×5x ? 3

La fonction f admet un minimum égal à -7 en x = 2. III. Tangente en un point de la parabole. 1) Nombre dérivé. Méthode : Calculer un nombre 



Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul

Exercice 15.5: On considère la fonction f (x) = x2 + 2x – 8. a)Calculer sa dérivée. b)Déterminer la pente de la tangente à la courbe y = f (x) au.



Chapitre 4: Dérivée dune fonction et règles de calcul

2Mstand/renf – JtJ 2019. Exercice 4.3 : Calculer la dérivée des fonctions f suivantes: 1) f (x) = 3x + 6. 2) f (x) = 4x2 – 2x + 5. 3) f (x) = 3x3 – 2x + 5.



DÉRIVATION

3) Formules de dérivation des fonctions usuelles : f '(x) = 2x ... 2 x. 0;+?????. Exemples : a) Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x6 ...





FONCTION DERIVÉE

%20d%C3%A9riv%C3%A9es



Dérivée d’une fonction - e Math

2x0 On a même montré que le nombre dérivé de f en x0 est 2x0 autrement dit : f0(x)?2x Exemple 2 Montrons que la dérivée de f(x)?sinx est f0(x)?cosx Nous allons utiliserles deux assertions suivantes : sinx x ¡¡¡! x!0 1 et sinp¡sinq?2sin p¡q 2 ¢cos p¯q 2 Remarquons déjà que la première assertion prouve f(x)¡f(0) x¡0 ? sinx



Tableau de dérivées - Parfenoff org

Exemple 3 : Calculer la dérivée de la fonction ???? : ????(????) = 1 ????2?2????+4 ????2?2????+4=0 n’a pas de solution dans ? car ?=4?4×4= ?12



Exercices corrigés – Révisions – Thème : Dérivation

2 Déterminer la fonction dérivée de la fonction f 3 Déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles f’(x) = 0 4 Donner le tableau de signes de f ' et le tableau de variations de f sur l’intervalle [-6 ; 6] 5 Tracer la courbe représentative C f de la fonction f dans un repère orthogonal (O i j) r r; ; :



Comment calculer les fonctions dérivées?

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 1) f 1 (x)=5x32) f 2 (x)=3x2+4x3) f 3 (x)= 1 2x2+5

Comment savoir si une fonction est dérivable ?

f0(x0)g(x0)¯g0(x0)f(x0). Ceci étant vrai pour tout x02 I la fonction f £g est dérivable sur I de dérivée f0g¯ f g0. 2.2.Dérivée de fonctions usuelles Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître, x est une variable.

Qu'est-ce que la fonction dérivée?

f'(x)=2x. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f. Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un cours d’eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction.

Quelle est la dérivée de fonctions usuelles ?

2.2.Dérivée de fonctions usuelles Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître, x est une variable. Le tableau de droite est celui des compositions (voir paragraphe suivant), u représente une fonction x7!u(x). Fonction Dérivée xnnxn¡1(n2Z) 1 x¡ 1 2 p x1 2 p1 x x??x?¡1(?2R) exex lnx1 x

DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69

2M stand/renf - JtJ 2019 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul

Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.

4.1 Les règles de dérivation

Introduction

Dans le chapitre précédent, nous nous sommes concentrés dans la recherche de la pente d'une tangente à une courbe donnée. Plusieurs démarches vous ont été présentées. La première était de type graphique suivi d'une méthode utilisant un calcul de limites assez répétitif pour finalement nous amener à la définition suivante: • La dérivée d'une fonction f est la fonction f définie par: f'(a)= xa lim f(x)f(a) xa Cette méthode reposant toujours sur un calcul de limites n'est pas très efficace. Il est donc souhaitable de pouvoir utiliser des règles générales de dérivation. Les 7 règles de dérivation qui suivent se démontrent en utilisant systématiquement ce même type de calcul de limites. Nous nous contenterons de leur utilisation. 1

ère

règle: dérivée d'une puissance Pour dériver x à une certaine puissance, on passe la puissance devant, on reproduit x et on descend la puissance d'un cran.

Exemples

dérivée d'une fraction simple dérivée d'une racine

1) f (x) = x alors f(x)= 1x

0 = 1

2) f (x) = x

3 alors f(x)= 3x 2

3) f (x) =

1 x alors f (x) = x -1 donc f(x)= -1 · x -2 = -1 · 1 x 2 1 x 2

4) f (x) =

x alors f (x) = x 1/2 donc f(x)= 1 2 x 1/21 1 2 x 1/2 1 2 1 x 1/2 1 2 1 x = 1 2x X A 1 1y x f (x) = x n f '(x) = n · x n - 1

70 CHAPITRE 4

2M stand/renf - JtJ 2019

Exemple à compléter

5) dériver f (x) =

1 x 3 2

ème

règle:

La dérivée d'un nombre vaut 0

f(x)=nbre f (x)=0

Exemple

f (x) = 10'000 alors f ' (x) = 0 3

ème

règle: Pour dériver une expression du type "un nombre fois une fonction", on garde le nombre et on dérive la fonction

Exemples

1) f (x) = 5x

2 alors f '(x) = 5 · 2x = 10x

2) f (x) =

7 x 3 alors f (x) = 7x 1/3 donc f '(x) = 7 1 3 x 1/31 7 3 x 2/3 7 3 1 x 2/3 7 3 x 23

Exemple à compléter

3) dériver f (x) =

2 5x 4 f(x)=nbre g(x) f (x)=nbre g (x)

DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 71

2M stand/renf - JtJ 2019

Exercice 4.1 :

Calculer la dérivée des fonctions f suivantes:

1) f (x) = 3x 2) f (t) = 7t

6

3) f (x) = 2x

7

4) f (x) = ax

2

5) f (x) = 3x 6) f (x) = x

3/2

7) f (x) =

1 x

8) f (x) =

2 x

9) f (x) = x

27

10) f (x) = (m - 1)

x 2

11) f (x) = 56

Exercice 4.2 :

Déterminer une fonction f dont on donne sa dérivée f ':

1) f '(x) = 34x 2) f '(x) = x

3

3) f '(x) =

x 4) f '(x) = 1 x 2 4

ème

règle: dérivée d'une somme (soustr.) La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. La dérivée d'une soustraction est la soustraction des dérivées

Exemples

1) f (x) = 5x

2 + 2x + 3 alors f ' (x) = 10x + 2

2) f (x) =

2x 2 3 x alors f (x) = 2x 2 +3x 1 donc f '(x) = 4x3x 2 = 4x3 x 2 4x 3 3 x 2

Exemple à compléter

3) dériver f (x) =

x 2 +x f(x)=g(x)±h(x) f (x)= g (x)± h (x)

72 CHAPITRE 4

2M stand/renf - JtJ 2019

Exercice 4.3 :

Calculer la dérivée des fonctions f suivantes:

1) f (x) = 3x + 6 2) f (x) = 4x

2 - 2x + 5

3) f (x) = 3x

3 - 2x + 5 4) f (x) = ax + b

5) f (x) =

x 2 -3 x 6) f (x) = x 2 +x+3

7) f (x) =

3 x 2 +3x 8) f (x) = 1 x +1 x 2

9) f (x) =

3x2+1

3x 10) f (x) = ax

2 + bx + c

Exercice 4.4 :

Déterminer une fonction f dont on donne la dérivée f ':

1) f '(x) = x - 2 2) f '(x) = 4x

3 + 3x 2

3) f '(x) =

31
x 2

4) f '(x) = x

3/4 5

ème

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