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Recueil des exercices tombés aux oraux
Frédéric Zwolska
Lycée Mimard
Année scolaire 2014-2017
25 août 2018
1 TABLE DES MATIÈRES 1 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉETable des matières
1 Fonctions première année2
2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année 4
3 Espaces vectoriels6
4 Applications linéaires7
5 Probabiltiés générales18
6 Suites et séries numériques22
7 Espaces vectoriels normés35
8 Réduction d"endomorphisme36
9 Variables aléatoires discrètes62
10 Lois usuelles infinies73
11 Intégrales généralisées77
12 Espaces préhilbertiens réels84
13 Suites de fonctions90
14 Séries de fonctions94
15 Séries entières102
16 Fonctions génératrices et approximations 120
17 Fonctions vectorielles et arcs paramétrés 122
18 Calcul différentiel124
19 Isométries, endomorphismes symétriques 129
20 Intégrales à paramètres139
21 Équations et systèmes différentiels 148
22 Informatique pure156
1 Fonctions première année
Exercice 1. Mines-Ponts PSI 2017
Exercice 2. Mines-Ponts PSI 2017
Trouver les fonctionsf???+→?de classeC1telles que?x???+,f′?1x ?=-f(x)2Exercice 3. Mines-Ponts PSI 2017
Calculer une primitive dex↦?2+tan2(x).
2/1621 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉE
Exercice 4. Mines-Ponts PSI 2017
CalculerI=?ln(2)
0(sh(x))2(ch(x))3dx.
Exercice 5. Granger Mines-Ponts 2016
1.S oita>0. Montrer que?x??,?!y??tel que?y
xet2dt=a.On notef(x)cette valeury.
2.É tudierf(variations).
Exercice 6. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 143
Résoudre dansRl"équation suivante : arctan(x-1)+arctanx+arctan(x+1)=¼2Exercice 7. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 144
Calculer,?n?N?,n
k=0k3?n k?.Exercice 8. Mines-Ponts PSI 2015
1. S oitPun polynôme tel queP(X2)=P(X-1)P(X). Montrer que les éventuelles racines dePsont de mo- dule 1. 2.T rouvert ousles Pvérifiant cette relation.
Exercice 9. Mines-Ponts PSI 2015
Soitf?[a,b]→R, avecf(a)=f(b)=0,f′(a)>0 etf′(b)>0. Montrer qu"il existec?]a,b[tel quef′(c)<0 et
f(c)=0.Exercice 10. RMS 2016 IMT PSI n°146
Montrer à l"aide de l"inégalité des accroissements finis que : ?x??+,x1+x2⩽arctan(x)⩽x.Exercice 11. CCP 2018 T"Kint
Soitf?x↦x+ln(1+x)
1.M ontrerqu efest une bijection sur son ensemble de définitionDdans un intervalle à préciser.
2.S oitg=f-1. Montrer quegest de classeC∞surD.
3.C alculerg(0)etg′(0).
4. M ontrerqu egadmet un développement limité à l"ordre 3 en 0. 5.D éterminerc ed éveloppementl imité.
Exercice 12. CCP 2017 Peltier et OdlT 2016 CCP PSI n°205 I 1.M ontrerqu epour t outn⩾3, l"équation ex=nxadmet deux solutionsxnetyntelles que 0⩽xn S oitu nnombr er éel"strictement positif. Montrer qu"à partir d"un certain rang,yn⩽(1+")ln(n). É tablir,pou rt outn???, la relation :Q′n=(2bX-a)Qn-1. Puis, à l"aide de cette relation et de la formule de Soitfune fonction continue de?dans?. On suppose quefest contractante (c"est-à-direa-lipschitzienne avec O nsu pposemain tenantq ue,p ourtout x??,P(x)-P′′(x)⩾0. Montrer queP(x)⩾0 pour toutx??. SoitPun polynôme de degrénà coefficients réels(ai)0⩽i⩽ndeux à deux distincts. n°610.54 recueilli par Guillaume Haberer en 2015. Ajout de la deuxième question. Voir aussi livre de Legay, exer- M ontrerque ,p ourt outPappartenant àR[X], il existe un unique polynômeQappartenant àR[X]tel que SoitM?M3(?)une matrice nilpotente etp??son indice de nilpotence (i.e.le plus.petit entier naturelptel que S oitu?L(E,F)etv?L(F,E)deux applications linéaires telles queu○v○u=uetv○u○v=v. R appelerl eca rdinalde Sn. Montrer que'¾?Sn→Sndéfinie par'¾(¿)=¿○¾est bijective. Do nnerune bas ed eEdans laquelle la matrice deÃdéfini parÃ(P)=P′ne contient que des 0 et des 1. Indication(s) fournie(s) par l"examinateur pendant l"épreuve. Transformer l"assertion de gauche pour faire appa- raître g○f-1.Quel est le rang de g○f-1? Se placer dans une base adaptée à g○f-1. S oit(x0,x1,⋯,xn)??n+1tel que-1⩽x0 M ontrerqu "ile xiste(¸0,¸1,⋯,¸n)??n+1tel que :?P?E,L(P)=¸0P(x0)+¸1P(x1)+⋯+¸nP(xn).É tudierla mon otoniedes suites (xn)et(yn).
3. E ndéduir equ "ellesa dmettentu nel imiteà d éterminer. 4. M ontrerqu exn≂n→+∞1n
5. T rouverunéquivalentdexn-1n
etendéduireundéveloppementasymptotique àdeuxtermesdexnen+∞. 3/162 2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE
6. Exercice 13. RMS 2016 CCP PSI n°145
Résoudre l"équation arcsin(x)+arcsin?⎷1-x2?=¼2 Exercice 14. RMS 2016 CCP PSI n°149
Soient(a,b)??2aveca0t1+cos2(t)dt.
Exercice 15. ENSAM PSI 2017
On veut montrer que¼est irrationnel. On suppose par l"absurde que¼=ab avec(a,b)?(??)2. 1. M ontrerqu epour t outq??,qn=on→+∞(n!).
2. S oit,p ourn??,Qn(X)=1n!Xn(bX-a)netIn=?¼
0Qn(x)sin(x)dx.
Montrer que la suite(In)tend vers 0.
3. M ontrerqu eQ(k)
n(0)??etQ(k) n(¼)??pour toutk??etn??. 5. M ontrerqu e?n??,In??et conclure.
Exercice 16. RMS 2016 ENSEA PSI n°144
Résoudre l"équation 3
x+4x=5xdans?. Exercice 17. Navale PSI 2017
Exercice 18. St Cyr PSI 2017
1. T rouverun exemp lede f onctioncon tinuemais pa sde classe C1sur?0;1]. 2. S oitk??. Trouver un exemple de fonction de classeCkmais pasCk+1sur?0;1]. Exercice 19. ICNA PSI 2017
Soitfune fonction continue et bijective de?0;1]dans lui même, telle que : f -1soit continue et?x??0;1],f(2x-f(x))=x. 1. C alculerf(0 etf(1).fest-elle croissante ou décroissante? 2. O nsu pposequ "ilexi steu nréel x0dans?0;1]tel quef(x0)≠x0, et on pose?n???,xn=f(xn-1). Pour tout entier natureln, calculerxn-x0et en déduiref. 2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année
Exercice 20. Mines-Ponts PSI 2017
Calculer un équivalent, quandntend vers+∞, debn=n k=1(-1)k⎷k. 4/162 2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE
Exercice 21. Mines-Ponts PSI 2017
Soitn???. On poseP(X)=1+2X+3X2+⋯+(n-1)Xn-2+nXn-1+(n-1)Xn+⋯+2X2n-3+X2n-2. Trouver les racines dePet le factoriser dans?[X].
Exercice 22. Mines-Ponts PSI 2017
1. M ontrer,p ourt outen tiern???, l"existence et l"unicité d"un polynômePntel quePn?X+1X ?=Xn+1X n. 2. D écomposeren élément ssimples la fr actionr ationnelle 1P n. Exercice 23. Mines-Ponts PSI 2017
Soitn⩾2, calculer⌊
n3 k=0?n 3k?. Exercice 24. Mines-Ponts PSI 2017
Soitn⩾2, calculer⌊
n2 k=0?n 2k?(-3)k.
Exercice 25. Mines-Ponts PSI 2015
Résoudre surCl"équation 1+2z+2z2+⋯+2zn-1+zn=0. Exercice 26. Mines-Ponts PSI 2015
Poura??etn???, résoudre dans?:?1-iz1+iz?n
=1+ia1-ia. Exercice 27. Granger Centrale 2 2016
SoitFnla suite définie parF0=0,F1=1, et?k??,Fk+2=Fk+1+Fk. Soit?n??,n⩾2,Gn=⌊
n2 k=1?3+2cos?2k¼n+1??. 1. É crireFksur Python.
2.?k?[[2;20]], comparerGketFk+1. (on doit les trouver égaux)
3. M ontrerqu eGk=⌊
n2 k=1?1+4cos2?k¼n+1??. 4. M ontrerqu "ile xisteu npoly nômeUntel que?n??,sin((n+1)t)=sin(t)Un(cos(t)). (aide donnée dans l"énoncé : on pourra utiliserV0=1,V1=2X,Vk+2=2XVk+1-Vk) 5. M ontrerqu e?Un?i2
??=Fk+1. 6. M ontrerqu e?Un?i2
??=4⌊n2 n2 k=1?14 +cos2?k¼n+1??. 7. E ndéduir equ e?k??,k⩾2,Fk+1=Gk.
Exercice 28. Petites Mines PSI 2015
Soitfl"application qui à tout nombre complexezappartenant à?∖{i}associef(z)=z+iz-i. 1. M ontrerqu efest une bijection de?∖{i}sur?∖{1}. 2. D éterminerf(?)etf(U∖{i})(Udésigne l"ensemble des nombres complexes de module1). 5/162 3 ESPACES VECTORIELS
Exercice 29. ENSAM PSI 2015
SoitPun polynôme de?[X]scindé dans?[X]et dont toutes les racines sont simples. On poseQ=XP. Montrer queQ′est scindé dans?[X]et n"a que des racines simples. Exercice 30. RMS 2016 ENSAM PSI n°79
SoitPun polynôme à coefficients réels.
1. O nsu pposequ e,p ourt outx??,P(x)+P′(x)⩾0. Montrer queP(x)⩾0 pour toutx??. 2. Peut-on dire queP(x)⩾0 pour toutx???
Exercice 31. TPE PSI 2017
Déterminer la limite, lorsquentend vers+∞, den k=1nk 2e-nk Exercice 32. ENSEA-ENSIIE 2015PSI BEOS 2014-15
Trouver tous les polynômesPdeR[X]vérifiantP(X2)=P(X)P(X+1). Exercice 33. St Cyr PSI 2017
SoitP=X3+X+1. On note®,¯,°les racines complexes deP. 1. C alculer®+¯+°,®2+¯2+°2,®3+¯3+°3. 2. E nexp loitantl ad ivisioneu clidienned up olynômeQ=X4parP, calculer®4+¯4+°4. 3 Espaces vectoriels
Exercice 34. Mines-Ponts PSI 2017
Exercice 35. début Mines-Ponts
1.F=??a b
-b a?,(a,b)??2?est-il un espace vectoriel? 2. Do nnerun sous- espacev ectorielsupp lémentaired eFdansM2(?). Exercice 36. Mines-Ponts 2015
SoitEetFdeux?espace vectoriel . Soitu?L(E,F)etv?L(F,E). On suppose quev○uest bijectif. Montrer que Im(u)?ker(v)=F.
Exercice 37. Mines-Ponts 2015
Exercice 38. début Centrale 2015
Montrer sue l"ensemble§des suites réellesu=(un)qui vérifient : ?n⩾3,un=2un-1+(n-2)un-2n est un espace vectoriel. 6/162 4 APPLICATIONS LINÉAIRES
Exercice 39. Centrale 2015
SoitEun?espace vectoriel de dimensionnetvun vecteur non nul deE. Soit(x1,x2,⋯,xn)??n. Montrer qu"il existe une base deEdans laquelleva pour coordonnées(x1,x2,⋯,xn). On pourra procéder par récurrence sur n.
Exercice 40. CCP 2015
SoitJ=⎛
⎝0 0 1 1 0 0 0 1 0⎞
1. M ontrerqu ele commuta ntC(J)défini par :C(J)=?A?M3(?),AJ=JA?est un espace vectoriel et en donner une base. 2. E xiste-t-ilune inc lusionent reles ensem blesC(J)etD(J)=?Y?M3(?),Y2=J?? DéterminerD(J). Exercice 41. CCP 2015
SoitEun?espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deEtel queu3=13 (u2+u+IdE). On note?[u]l"ensemble?v?L(E),?n??,?(a0,a1,⋯an)??n+1,v=a0IdE+a1u+a2u2+⋯anun?. 1. M ontrerqu e?[u]est un espace vectoriel.
2. M ontrerqu e
?u2,u,IdE?est une famille génératrice de?[u]. Exercice 42. CCP 2014
Soientn?N?eta?C.
1. M ontrerqu esi (Pk)0⩽k⩽nest une base deCn[X], alors(Pk(X+a))0⩽k⩽naussi. 2. S oita≠b. Montrer que((X-a)k(X-b)n-k)0⩽k⩽nest une base deCn[X]. Exercice 43. BEOS 2016 ENSAM PSI 18
SoitPun polynôme de degré 3.
SoitF=(P,XP,P′,XP′,X2P′)un système deR4[X]etDson déterminant. 1. M ontrerqu eD=0 si, et seulement si, il existeU?R1[X]etV?R2[X]tels quePU=P′V. 2. M ontrerqu eD=0 si, et seulement si,Padmet une racine multiple. 3. C alculerDpourP=aX2+bX+c.
4 Applications linéaires
Exercice 44. X-ESPCI 2015
1. P(X)=Q(X)-Q(X-1)etQ(0)=0.
2. C aspar ticulier: P(X)=Xn, il existe alors un uniqueQnappartenant àR[X]tel queXn=Qn(X)-Qn(X-1) etQn(0)=0. Montrer queQ′n(X)=Q′n(0)+nQn-1(X). Exercice 45. Mines-Ponts PSI 2017
SoitAetBdeux matrices deM3(?)telles que det(A)=det(B)=det(A-B)=det(A+B)=0. Montrer que?(x,y)??2, det(xA+yB)=0.
7/162 4 APPLICATIONS LINÉAIRES
Exercice 46. Mines-Ponts PSI 2017
On définit, pourn??,n⩾2 etx??:Dn(x)=?
x 22!
x1⋱ ? ? ⋱ ⋱ ⋱0 x22! x1 x nn!⋯ ⋯x22! x? Exercice 47. Mines-Ponts PSI 2017
SoitA?M3(?)une matrice non nulle telle queA2=0.
Déterminer la dimension deCA=?M?M3(?),AM=MA?.
Exercice 48. Mines-Ponts PSI 2017
M ontrerqu ep⩽3.
2. O nsu pposequ ep=3. Montrer queMest semblable à la matrice⎛ ⎝0 1 0 0 0 1 0 0 0⎞
3. O nsu pposequ ep=2. Montrer queMest semblable à la matrice⎛ ⎝0 0 1 0 0 0 0 0 0⎞
4. S oitA?M3(?). Montrer queAest semblable à-Asi et seulement si det(A)=tr(A)=0. Exercice 49. Mines-Ponts PSI 2017
1. S oitAetBdeux matrices deMn(?)nilpotentes ett??.
(a) S iAetBcommutent,A+tBest-elle nilpotente?
(b) Q uedi resi AetBne commutent pas?
2. S oitAetBdeux matrices deMn(?)quelconques. On suppose qu"il existet1,t2,⋯,tn+1des nombres com- plexes deux à deux distincts tels queA+tiBest nilpotente pour touti?[[1;n+1]]. (a) M ontrerq u"ilexist edes mat ricesCktelles que(A+tB)n=n k=0C ktk. (b) L esma tricesAetBsont-elles nilpotentes?
Exercice 50. Mines-Ponts PSI 2017
SoitEetFdeux espaces vectoriels (pas nécessairement de dimension finie). 1. Montrer queE=Ker(u)+Im(v).
2. S oitu?L(E,F).MontrerqueKer(u)possèdeunsupplémentairedansEsietseulements"ilexistev?L(F,E) telle queuetvvérifient les hypothèses de la question précédente. Exercice 51. Mines-Ponts PSI 2017
On noteSnle groupe des permutations de?1;2;⋯;n?. Soit¾?Sn. 1. 4 APPLICATIONS LINÉAIRES
2. S oit(e1,e2,⋯,en)une base de?n. On notef¾l"application linéaire de?ntelle que : ?i?[[1;n]],f¾(ei)=e¾(i). Montrer quepn=1n
¾?Snf
¾est un projecteur et donner ses caractéristiques. Exercice 52. Mines-Ponts PSI 2017
SoitA=(ai,j)?Mn(?). Pouri?[[1;n]], on noteLi=n
k=1 k≠i?ai,k?. 1. O nsu pposequ e?i?[[1;n]],?ai,i?>Li. Montrer queAest inversible. 2. O nsuppose qu e?(i,j?[[1;n]]2tels quei≠j,?ai,iaj,j?>LiLj. Montrer queAest inversible. Exercice 53. Mines-Ponts PSI 2017
Résoudre l"équation suivante dansMn(?):A2+(-1)ndet(A)In=0. Exercice 54. Mines-Ponts PSI 2017
SoitA?Mp,q(?)etB?Mq,p(?).
Montrer que det(Ip-AB)=det(Iq-BA).
Exercice 55. Mines-Ponts PSI 2017
1. M ontrerqu eE=?n[X]est un?-espace vectoriel dont on précisera la dimension. 2. Exercice 56. Mines-Ponts PSI 2017
Soitfdéfinie sur?n[X]parf(P)(X)=nXP(X)-(X2-1)P′(X). 1. M ontrerqu efest un endomorphisme de?n[X].
2. Résoudr e,sur
3. Réduir ef.
4. Dé terminerle déter minantet la t racede f. Que dire de son rang? Exercice 57. Mines-Ponts PSI 2017
Trouver les matrices deMn(?)qui commutent avec les matrices de rang 1. Exercice 58. Mines-Ponts PSI 2017
Soitn???,AetBdansMn(?)telles queAB=A+B
Montrer que rg(A)=rg(B)
Exercice 59. Mines Ponts 2015idem exo 36
SoitEetFdeux?espace vectoriel . Soitu?L(E,F)etv?L(F,E). On suppose quev○uest bijectif. Montrer que Im(u)?ker(v)=F.
Exercice 60. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 142
SoitEun espace vectoriel de dimension finie etf?GL(E). Soitg?L(E)de rang 1. Montrer l"équivalence :f+g?GL(E)?tr(g○f-1)≠-1. 9/162 4 APPLICATIONS LINÉAIRES
Exercice 61. Centrale PSI 2017
Soitn??etPn=Xn-X+1.
1. M ontrerqu eP3possède trois racines distinctesb1,b2,b3. 2. C alculer
1 1+b21
1 1 1+b3?
3. Gén éraliserc eq uiprécède pour tou tn⩾3. Exercice 62. Centrale PSI 2017
SoitE=?n[X]etL?L(E,?)définie par?P?E,L(P)=?1
-1P(x)dx. 1. C alculerl "imagede P=n
k=0a kXkparL. 2. D éterminerla dimens ionpu isune ba sedu n oyaude L. 3. M ontrerqu e(P0,P1,⋯,Pn)est une base deE.
5. Exercice 63. Centrale PSI 2017
On note¢??[X]→?[X], définie par¢(P)=P(X+1)-P(X),Q0=1 et pourn???,Qn=n-1 k=1(X-k). 1. C alculer¢(Qn). Montrer que(Q0,Q1,⋯,Qn)est une base de?n[X]. 2. Dé terminerle no yaue tl "imagede ¢.
3. S oitf??[X]→?[X]une application linéaire telle quef○¢=¢○f. Montrer qu"il existe une unique suite de réels(uk)k??telle que, pour toutP??[X],f(P)=+∞ k=0u k¢k(P). Exercice 64. Centrale PSI 2017
SoitEun espace vectoriel de dimensionnetu?L(E).
1. M ontrerqu epour tou tk??, Ker(uk)?Ker(uk+1).
2. M ontrerquelasuitedetermegénéraldim
ddans la suite. 3. O nnot eru=inf?k??, Ker(uk)=Ker(uk+1)?.
(a) M ontrerq ueru⩽n.
(b)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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