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Recueil des exercices tombés aux oraux

Frédéric Zwolska

Lycée Mimard

Année scolaire 2014-2017

25 août 2018

1 TABLE DES MATIÈRES 1 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉE

Table des matières

1 Fonctions première année2

2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année 4

3 Espaces vectoriels6

4 Applications linéaires7

5 Probabiltiés générales18

6 Suites et séries numériques22

7 Espaces vectoriels normés35

8 Réduction d"endomorphisme36

9 Variables aléatoires discrètes62

10 Lois usuelles infinies73

11 Intégrales généralisées77

12 Espaces préhilbertiens réels84

13 Suites de fonctions90

14 Séries de fonctions94

15 Séries entières102

16 Fonctions génératrices et approximations 120

17 Fonctions vectorielles et arcs paramétrés 122

18 Calcul différentiel124

19 Isométries, endomorphismes symétriques 129

20 Intégrales à paramètres139

21 Équations et systèmes différentiels 148

22 Informatique pure156

1 Fonctions première année

Exercice 1. Mines-Ponts PSI 2017

Exercice 2. Mines-Ponts PSI 2017

Trouver les fonctionsf???+→?de classeC1telles que?x???+,f′?1x ?=-f(x)2

Exercice 3. Mines-Ponts PSI 2017

Calculer une primitive dex↦?2+tan2(x).

2/162

1 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉE

Exercice 4. Mines-Ponts PSI 2017

CalculerI=?ln(2)

0(sh(x))2(ch(x))3dx.

Exercice 5. Granger Mines-Ponts 2016

1.

S oita>0. Montrer que?x??,?!y??tel que?y

xet2dt=a.

On notef(x)cette valeury.

2.

É tudierf(variations).

Exercice 6. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 143

Résoudre dansRl"équation suivante : arctan(x-1)+arctanx+arctan(x+1)=¼2

Exercice 7. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 144

Calculer,?n?N?,n

k=0k3?n k?.

Exercice 8. Mines-Ponts PSI 2015

1. S oitPun polynôme tel queP(X2)=P(X-1)P(X). Montrer que les éventuelles racines dePsont de mo- dule 1. 2.

T rouvert ousles Pvérifiant cette relation.

Exercice 9. Mines-Ponts PSI 2015

Soitf?[a,b]→R, avecf(a)=f(b)=0,f′(a)>0 etf′(b)>0. Montrer qu"il existec?]a,b[tel quef′(c)<0 et

f(c)=0.

Exercice 10. RMS 2016 IMT PSI n°146

Montrer à l"aide de l"inégalité des accroissements finis que : ?x??+,x1+x2⩽arctan(x)⩽x.

Exercice 11. CCP 2018 T"Kint

Soitf?x↦x+ln(1+x)

1.

M ontrerqu efest une bijection sur son ensemble de définitionDdans un intervalle à préciser.

2.

S oitg=f-1. Montrer quegest de classeC∞surD.

3.

C alculerg(0)etg′(0).

4. M ontrerqu egadmet un développement limité à l"ordre 3 en 0. 5.

D éterminerc ed éveloppementl imité.

Exercice 12. CCP 2017 Peltier et OdlT 2016 CCP PSI n°205 I 1.

M ontrerqu epour t outn⩾3, l"équation ex=nxadmet deux solutionsxnetyntelles que 0⩽xn 2.

É tudierla mon otoniedes suites (xn)et(yn).

3. E ndéduir equ "ellesa dmettentu nel imiteà d éterminer. 4.

M ontrerqu exn≂n→+∞1n

5.

T rouverunéquivalentdexn-1n

etendéduireundéveloppementasymptotique àdeuxtermesdexnen+∞. 3/162

2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE

6.

S oitu nnombr er éel"strictement positif. Montrer qu"à partir d"un certain rang,yn⩽(1+")ln(n).

Exercice 13. RMS 2016 CCP PSI n°145

Résoudre l"équation arcsin(x)+arcsin?⎷1-x2?=¼2

Exercice 14. RMS 2016 CCP PSI n°149

Soient(a,b)??2avecaMontrer que ?b at f(t)dt=a+b2 ?b af(t)dt. Calculer?¼

0t1+cos2(t)dt.

Exercice 15. ENSAM PSI 2017

On veut montrer que¼est irrationnel. On suppose par l"absurde que¼=ab avec(a,b)?(??)2. 1.

M ontrerqu epour t outq??,qn=on→+∞(n!).

2.

S oit,p ourn??,Qn(X)=1n!Xn(bX-a)netIn=?¼

0Qn(x)sin(x)dx.

Montrer que la suite(In)tend vers 0.

3.

É tablir,pou rt outn???, la relation :Q′n=(2bX-a)Qn-1. Puis, à l"aide de cette relation et de la formule de

Leibniz, exprimer les dérivées successives deQnen fonction de celles queQn-1. 4.

M ontrerqu eQ(k)

n(0)??etQ(k) n(¼)??pour toutk??etn??. 5.

M ontrerqu e?n??,In??et conclure.

Exercice 16. RMS 2016 ENSEA PSI n°144

Résoudre l"équation 3

x+4x=5xdans?.

Exercice 17. Navale PSI 2017

Soitfune fonction continue de?dans?. On suppose quefest contractante (c"est-à-direa-lipschitzienne avec

a??0;1?). Montrer quefadmet un unique point fixe. Que dire poura=1?

Exercice 18. St Cyr PSI 2017

1. T rouverun exemp lede f onctioncon tinuemais pa sde classe C1sur?0;1]. 2. S oitk??. Trouver un exemple de fonction de classeCkmais pasCk+1sur?0;1].

Exercice 19. ICNA PSI 2017

Soitfune fonction continue et bijective de?0;1]dans lui même, telle que : f -1soit continue et?x??0;1],f(2x-f(x))=x. 1. C alculerf(0 etf(1).fest-elle croissante ou décroissante? 2. O nsu pposequ "ilexi steu nréel x0dans?0;1]tel quef(x0)≠x0, et on pose?n???,xn=f(xn-1). Pour tout entier natureln, calculerxn-x0et en déduiref.

2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année

Exercice 20. Mines-Ponts PSI 2017

Calculer un équivalent, quandntend vers+∞, debn=n k=1(-1)k⎷k. 4/162

2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE

Exercice 21. Mines-Ponts PSI 2017

Soitn???. On poseP(X)=1+2X+3X2+⋯+(n-1)Xn-2+nXn-1+(n-1)Xn+⋯+2X2n-3+X2n-2.

Trouver les racines dePet le factoriser dans?[X].

Exercice 22. Mines-Ponts PSI 2017

1. M ontrer,p ourt outen tiern???, l"existence et l"unicité d"un polynômePntel quePn?X+1X ?=Xn+1X n. 2. D écomposeren élément ssimples la fr actionr ationnelle 1P n.

Exercice 23. Mines-Ponts PSI 2017

Soitn⩾2, calculer⌊

n3 k=0?n 3k?.

Exercice 24. Mines-Ponts PSI 2017

Soitn⩾2, calculer⌊

n2 k=0?n

2k?(-3)k.

Exercice 25. Mines-Ponts PSI 2015

Résoudre surCl"équation 1+2z+2z2+⋯+2zn-1+zn=0.

Exercice 26. Mines-Ponts PSI 2015

Poura??etn???, résoudre dans?:?1-iz1+iz?n

=1+ia1-ia.

Exercice 27. Granger Centrale 2 2016

SoitFnla suite définie parF0=0,F1=1, et?k??,Fk+2=Fk+1+Fk.

Soit?n??,n⩾2,Gn=⌊

n2 k=1?3+2cos?2k¼n+1??. 1.

É crireFksur Python.

2.?k?[[2;20]], comparerGketFk+1. (on doit les trouver égaux)

3.

M ontrerqu eGk=⌊

n2 k=1?1+4cos2?k¼n+1??. 4. M ontrerqu "ile xisteu npoly nômeUntel que?n??,sin((n+1)t)=sin(t)Un(cos(t)). (aide donnée dans l"énoncé : on pourra utiliserV0=1,V1=2X,Vk+2=2XVk+1-Vk) 5.

M ontrerqu e?Un?i2

??=Fk+1. 6.

M ontrerqu e?Un?i2

??=4⌊n2 n2 k=1?14 +cos2?k¼n+1??. 7.

E ndéduir equ e?k??,k⩾2,Fk+1=Gk.

Exercice 28. Petites Mines PSI 2015

Soitfl"application qui à tout nombre complexezappartenant à?∖{i}associef(z)=z+iz-i. 1. M ontrerqu efest une bijection de?∖{i}sur?∖{1}. 2. D éterminerf(?)etf(U∖{i})(Udésigne l"ensemble des nombres complexes de module1). 5/162

3 ESPACES VECTORIELS

Exercice 29. ENSAM PSI 2015

SoitPun polynôme de?[X]scindé dans?[X]et dont toutes les racines sont simples. On poseQ=XP. Montrer queQ′est scindé dans?[X]et n"a que des racines simples.

Exercice 30. RMS 2016 ENSAM PSI n°79

SoitPun polynôme à coefficients réels.

1. O nsu pposequ e,p ourt outx??,P(x)+P′(x)⩾0. Montrer queP(x)⩾0 pour toutx??. 2.

O nsu pposemain tenantq ue,p ourtout x??,P(x)-P′′(x)⩾0. Montrer queP(x)⩾0 pour toutx??.

3. O nsu pposeici qu e,p ourtout x??,P(x)-P′(x)-P′′(x)+P(3)(x)⩾0.

Peut-on dire queP(x)⩾0 pour toutx???

Exercice 31. TPE PSI 2017

Déterminer la limite, lorsquentend vers+∞, den k=1nk 2e-nk

Exercice 32. ENSEA-ENSIIE 2015PSI BEOS 2014-15

Trouver tous les polynômesPdeR[X]vérifiantP(X2)=P(X)P(X+1).

Exercice 33. St Cyr PSI 2017

SoitP=X3+X+1. On note®,¯,°les racines complexes deP. 1. C alculer®+¯+°,®2+¯2+°2,®3+¯3+°3. 2. E nexp loitantl ad ivisioneu clidienned up olynômeQ=X4parP, calculer®4+¯4+°4.

3 Espaces vectoriels

Exercice 34. Mines-Ponts PSI 2017

SoitPun polynôme de degrénà coefficients réels(ai)0⩽i⩽ndeux à deux distincts.

Montrer que(P(X+ai))0⩽i⩽nest une base de?n[X].

Exercice 35. début Mines-Ponts

1.F=??a b

-b a?,(a,b)??2?est-il un espace vectoriel? 2. Do nnerun sous- espacev ectorielsupp lémentaired eFdansM2(?).

Exercice 36. Mines-Ponts 2015

SoitEetFdeux?espace vectoriel . Soitu?L(E,F)etv?L(F,E). On suppose quev○uest bijectif.

Montrer que Im(u)?ker(v)=F.

Exercice 37. Mines-Ponts 2015

n°610.54 recueilli par Guillaume Haberer en 2015. Ajout de la deuxième question. Voir aussi livre de Legay, exer-

cice 1.2 page 186. est libre. .

Exercice 38. début Centrale 2015

Montrer sue l"ensemble§des suites réellesu=(un)qui vérifient : ?n⩾3,un=2un-1+(n-2)un-2n est un espace vectoriel. 6/162

4 APPLICATIONS LINÉAIRES

Exercice 39. Centrale 2015

SoitEun?espace vectoriel de dimensionnetvun vecteur non nul deE. Soit(x1,x2,⋯,xn)??n. Montrer qu"il existe une base deEdans laquelleva pour coordonnées(x1,x2,⋯,xn).

On pourra procéder par récurrence sur n.

Exercice 40. CCP 2015

SoitJ=⎛

⎝0 0 1 1 0 0

0 1 0⎞

1. M ontrerqu ele commuta ntC(J)défini par :C(J)=?A?M3(?),AJ=JA?est un espace vectoriel et en donner une base. 2. E xiste-t-ilune inc lusionent reles ensem blesC(J)etD(J)=?Y?M3(?),Y2=J?? DéterminerD(J).

Exercice 41. CCP 2015

SoitEun?espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deEtel queu3=13 (u2+u+IdE). On note?[u]l"ensemble?v?L(E),?n??,?(a0,a1,⋯an)??n+1,v=a0IdE+a1u+a2u2+⋯anun?. 1.

M ontrerqu e?[u]est un espace vectoriel.

2.

M ontrerqu e

?u2,u,IdE?est une famille génératrice de?[u].

Exercice 42. CCP 2014

Soientn?N?eta?C.

1. M ontrerqu esi (Pk)0⩽k⩽nest une base deCn[X], alors(Pk(X+a))0⩽k⩽naussi. 2. S oita≠b. Montrer que((X-a)k(X-b)n-k)0⩽k⩽nest une base deCn[X].

Exercice 43. BEOS 2016 ENSAM PSI 18

SoitPun polynôme de degré 3.

SoitF=(P,XP,P′,XP′,X2P′)un système deR4[X]etDson déterminant. 1. M ontrerqu eD=0 si, et seulement si, il existeU?R1[X]etV?R2[X]tels quePU=P′V. 2. M ontrerqu eD=0 si, et seulement si,Padmet une racine multiple. 3.

C alculerDpourP=aX2+bX+c.

4 Applications linéaires

Exercice 44. X-ESPCI 2015

1.

M ontrerque ,p ourt outPappartenant àR[X], il existe un unique polynômeQappartenant àR[X]tel que

P(X)=Q(X)-Q(X-1)etQ(0)=0.

2. C aspar ticulier: P(X)=Xn, il existe alors un uniqueQnappartenant àR[X]tel queXn=Qn(X)-Qn(X-1) etQn(0)=0. Montrer queQ′n(X)=Q′n(0)+nQn-1(X).

Exercice 45. Mines-Ponts PSI 2017

SoitAetBdeux matrices deM3(?)telles que det(A)=det(B)=det(A-B)=det(A+B)=0.

Montrer que?(x,y)??2, det(xA+yB)=0.

7/162

4 APPLICATIONS LINÉAIRES

Exercice 46. Mines-Ponts PSI 2017

On définit, pourn??,n⩾2 etx??:Dn(x)=?

x 22!
x1⋱ ? ? ⋱ ⋱ ⋱0 x22! x1 x nn!⋯ ⋯x22! x?

Exercice 47. Mines-Ponts PSI 2017

SoitA?M3(?)une matrice non nulle telle queA2=0.

Déterminer la dimension deCA=?M?M3(?),AM=MA?.

Exercice 48. Mines-Ponts PSI 2017

SoitM?M3(?)une matrice nilpotente etp??son indice de nilpotence (i.e.le plus.petit entier naturelptel que

M p=On) 1.

M ontrerqu ep⩽3.

2. O nsu pposequ ep=3. Montrer queMest semblable à la matrice⎛ ⎝0 1 0 0 0 1

0 0 0⎞

3. O nsu pposequ ep=2. Montrer queMest semblable à la matrice⎛ ⎝0 0 1 0 0 0

0 0 0⎞

4. S oitA?M3(?). Montrer queAest semblable à-Asi et seulement si det(A)=tr(A)=0.

Exercice 49. Mines-Ponts PSI 2017

1.

S oitAetBdeux matrices deMn(?)nilpotentes ett??.

(a)

S iAetBcommutent,A+tBest-elle nilpotente?

(b)

Q uedi resi AetBne commutent pas?

2. S oitAetBdeux matrices deMn(?)quelconques. On suppose qu"il existet1,t2,⋯,tn+1des nombres com- plexes deux à deux distincts tels queA+tiBest nilpotente pour touti?[[1;n+1]]. (a) M ontrerq u"ilexist edes mat ricesCktelles que(A+tB)n=n k=0C ktk. (b)

L esma tricesAetBsont-elles nilpotentes?

Exercice 50. Mines-Ponts PSI 2017

SoitEetFdeux espaces vectoriels (pas nécessairement de dimension finie). 1.

S oitu?L(E,F)etv?L(F,E)deux applications linéaires telles queu○v○u=uetv○u○v=v.

Montrer queE=Ker(u)+Im(v).

2. S oitu?L(E,F).MontrerqueKer(u)possèdeunsupplémentairedansEsietseulements"ilexistev?L(F,E) telle queuetvvérifient les hypothèses de la question précédente.

Exercice 51. Mines-Ponts PSI 2017

On noteSnle groupe des permutations de?1;2;⋯;n?. Soit¾?Sn. 1.

R appelerl eca rdinalde Sn. Montrer que'¾?Sn→Sndéfinie par'¾(¿)=¿○¾est bijective.

8/162

4 APPLICATIONS LINÉAIRES

2. S oit(e1,e2,⋯,en)une base de?n. On notef¾l"application linéaire de?ntelle que : ?i?[[1;n]],f¾(ei)=e¾(i).

Montrer quepn=1n

¾?Snf

¾est un projecteur et donner ses caractéristiques.

Exercice 52. Mines-Ponts PSI 2017

SoitA=(ai,j)?Mn(?). Pouri?[[1;n]], on noteLi=n

k=1 k≠i?ai,k?. 1. O nsu pposequ e?i?[[1;n]],?ai,i?>Li. Montrer queAest inversible. 2. O nsuppose qu e?(i,j?[[1;n]]2tels quei≠j,?ai,iaj,j?>LiLj. Montrer queAest inversible.

Exercice 53. Mines-Ponts PSI 2017

Résoudre l"équation suivante dansMn(?):A2+(-1)ndet(A)In=0.

Exercice 54. Mines-Ponts PSI 2017

SoitA?Mp,q(?)etB?Mq,p(?).

Montrer que det(Ip-AB)=det(Iq-BA).

Exercice 55. Mines-Ponts PSI 2017

1. M ontrerqu eE=?n[X]est un?-espace vectoriel dont on précisera la dimension. 2.

Do nnerune bas ed eEdans laquelle la matrice deÃdéfini parÃ(P)=P′ne contient que des 0 et des 1.

3. S oitQ?E. Montrer qu"il existe un unique polynômeP?Etel queP-P′=Q. 4. M ontrerqu esi ?x??,Q(x)⩾0, alors?x??,P(x)⩾0. (on pourra s"intéresser à l"applicationfdéfinie par?x??,f(P)(x)=P(x)e-x). 5. M ontrerqu esi Pest scindé à racines simples alorsQl"est également.

Exercice 56. Mines-Ponts PSI 2017

Soitfdéfinie sur?n[X]parf(P)(X)=nXP(X)-(X2-1)P′(X). 1.

M ontrerqu efest un endomorphisme de?n[X].

2.

Résoudr e,sur

3.

Réduir ef.

4. Dé terminerle déter minantet la t racede f. Que dire de son rang?

Exercice 57. Mines-Ponts PSI 2017

Trouver les matrices deMn(?)qui commutent avec les matrices de rang 1.

Exercice 58. Mines-Ponts PSI 2017

Soitn???,AetBdansMn(?)telles queAB=A+B

Montrer que rg(A)=rg(B)

Exercice 59. Mines Ponts 2015idem exo 36

SoitEetFdeux?espace vectoriel . Soitu?L(E,F)etv?L(F,E). On suppose quev○uest bijectif.

Montrer que Im(u)?ker(v)=F.

Exercice 60. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 142

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etf?GL(E). Soitg?L(E)de rang 1. Montrer l"équivalence :f+g?GL(E)?tr(g○f-1)≠-1. 9/162

4 APPLICATIONS LINÉAIRES

Indication(s) fournie(s) par l"examinateur pendant l"épreuve. Transformer l"assertion de gauche pour faire appa-

raître g○f-1.Quel est le rang de g○f-1? Se placer dans une base adaptée à g○f-1.

Exercice 61. Centrale PSI 2017

Soitn??etPn=Xn-X+1.

1. M ontrerqu eP3possède trois racines distinctesb1,b2,b3. 2.

C alculer

1 1+b21

1 1 1+b3?

3. Gén éraliserc eq uiprécède pour tou tn⩾3.

Exercice 62. Centrale PSI 2017

SoitE=?n[X]etL?L(E,?)définie par?P?E,L(P)=?1

-1P(x)dx. 1.

C alculerl "imagede P=n

k=0a kXkparL. 2. D éterminerla dimens ionpu isune ba sedu n oyaude L. 3.

S oit(x0,x1,⋯,xn)??n+1tel que-1⩽x0 unique polynômePi?Etels que?j??0;1;⋯;n?,Pi(xj)=±i,j. 4.

M ontrerqu e(P0,P1,⋯,Pn)est une base deE.

5.

M ontrerqu "ile xiste(¸0,¸1,⋯,¸n)??n+1tel que :?P?E,L(P)=¸0P(x0)+¸1P(x1)+⋯+¸nP(xn).

Exercice 63. Centrale PSI 2017

On note¢??[X]→?[X], définie par¢(P)=P(X+1)-P(X),Q0=1 et pourn???,Qn=n-1 k=1(X-k). 1. C alculer¢(Qn). Montrer que(Q0,Q1,⋯,Qn)est une base de?n[X]. 2.

Dé terminerle no yaue tl "imagede ¢.

3. S oitf??[X]→?[X]une application linéaire telle quef○¢=¢○f. Montrer qu"il existe une unique suite de réels(uk)k??telle que, pour toutP??[X],f(P)=+∞ k=0u k¢k(P).

Exercice 64. Centrale PSI 2017

SoitEun espace vectoriel de dimensionnetu?L(E).

1.

M ontrerqu epour tou tk??, Ker(uk)?Ker(uk+1).

2.

M ontrerquelasuitedetermegénéraldim

ddans la suite. 3.

O nnot eru=inf?k??, Ker(uk)=Ker(uk+1)?.

(a)

M ontrerq ueru⩽n.

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