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Dérivation : exercices

Les réponses (non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document

Exercice 1 :

Dériver la fonctionfdans les cas suivants :1)f(x) =-4x3+2x2-3x+12)f(x) =3x2-4x2

3)f(x) = (⎷x+1)×(x2-2)4)f(x) = (2x-⎷x)×(x+4)5)f(x) =11-4x6)f(x) =-32x-17)f(x) =2x-13x+28)f(x) =3x2-4x+12x-39)f(x) = (-5x2+1)210)f(x) = (-2x+1)311)f(x) =⎷3x+412)f(x) =2x⎷-3x+2

Exercice 2 :

Déterminer une équation de la tangenteTà la courbe représentative de la fonctionfau point d"abscisseadans les cas suivants :1)f(x) =3x2-x+1 aveca=1.2)f(x) =2x+1x-2aveca=3.3)f(x) =⎷x

x aveca=9.

Exercice 3 :

Soitfla fonction définie surR?parf(x) =-x2+2x-1x

On noteCsa courbe représentative dans un repère orthonormé.1)Déterminer les abscisses des points de la courbeCoù la tangente est horizontale.2)Existe t-il des points de la courbeCoù la tangente admet un coefficient directeur égal à-2?3)Déterminer les abscisses des points de la courbeCoù la tangente est parallèle à la droite d"équationy=-23

x-5.1S - Dérivation c?P.Brachet -www.xm1math.net1

Réponses exercice 1 :

1)f ?(x) =-12x2+4x-32)f(x) =12

×(3x2-4x);f?(x) =12

×(6x-4) =3x-23)f

?(x) =12 ⎷x

×(x2-2)+(⎷x)×(2x)(formefg)4)f

?(x) =? 2-12 ⎷x

×(x+4)+(2x-⎷x)×1 (formefg)5)f

?(x) =-(-4)(1-4x)2=4(1-4x)2(forme1f )6)f(x) =-3×12x-1;f?(x) =-3×(-2)(2x-1)2=6(2x-1)2(forme1f )7)f ?(x) =2×(3x+2)-(2x-1)×3(3x+2)2=···=7(3x+2)2(formefg )8)f ?(x) =(6x-4)(2x-3)-2(3x2-4x+1)(2x-3)2=···=6x2-18x+10(2x-3)2(formefg )9)f ?(x) =2×(-10x)×(-5x2+1) =-20x(-5x2+1)(formef2)10)f ?(x) =-6(-2x+1)2(formef(ax+b))11)f ?(x) =32 ⎷3x+4(formef(ax+b))12)f ?(x) =2⎷-3x+2+(2x)?-32 ⎷-3x+2? =-9x+4⎷-3x+2(formesfgetf(ax+b))

Réponses exercice 2 :1)T:y=f(1)+f?(1)(x-1);f(1) =3;f?(x) =6x-1;f?(1) =5;T:y=5x-22)T:y=f(3)+f?(3)(x-3);f(3) =7;f?(x) =-5(x-2)2;f?(3) =-5;T:y=-5x+223)T:y=f(9)+f?(9)(x-9);f(9) =13

;f?(x) =12 ⎷x

×x-⎷x

x

2=-12x⎷x

;f?(9) =-154 ;T:y=-154 x+12

Réponses exercice 3 :

Rappel : le coefficient directeur de la tangente au point d"abscisseaest égal àf?(a). La dérivée defest définie par :f?(x) =(-2x+2)x-(-x2+2x-1)x

2=-x2+1x

2.1)La tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul.

On résoud donc l"équationf?(x) =0. On obtientx=1 oux=-1.2)Cela revient à résoudre l"équationf?(x) =-2 qui n"admet pas de solutions. Il n"y a donc pas de points répondant à la

question.3)Les coefficients directeurs de la tangente et de la droite doivent être égaux. Cela revient donc à résoudre l"équationf?(x) =-23 . Le calcul donnex=⎷3 oux=-⎷3. 2 c?P.Brachet -www.xm1math.net1S - Dérivationquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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