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DépartementSTPI
2èmeannéeIC
IntroductionauxÉquationsauxDérivée sPart iellesÉtudethéori que
AudeRondepi erre&AdelineRouchon
Année2012- 2013
Tabledesmati ères
1Rappels.Équationsdi!érentiellesordina ires5
1.1Équati ondi!érentiellelinéairedupremier ordre.. ... ... ... ... .5
1.1.1Equationho mogène.............. .............5
1.1.2Solution générale............. ............ .. .6
1.1.3Recherch edesolutionparticulière. ...... ............6
1.1.4Exemples.. .................... ... ... ... .6
1.2Equatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordre.. ... ... ... .. ... 7
1.2.1Solution del'équationhomogène.... ...... ..........7
1.2.2Casparticu lierde sEDOhomogènesàcoe"cientsconstants. ....8
1.2.3Recherche d'unesolutionparticuli ère............. ....8
2.1E.D.P. detypetransport ...... ........... ...........11
2.1.1Définit ionetexemples............. ... .........11
2.1.2Transpor tlelongdescourbescaractéristi ques... ........ .13
2.1.3Problèmede sconditionsauxlimite s........ ..........15
2.2E.D.P. linéairesduseco ndordre................... .....1 7
2.2.1Définiti ons..................... ... ... ... ..17
2.2.2Élémentsdec lassification:E.D.P.el liptiq ues,hyperboliquesetpa-
raboliques....... ... ... ... ... ... .. ... ... ..1 83.1Séri esNumériques... ....................... ... ... 21
3.1.1Définiti ons..................... ... ... .. ... 21
3.1.2Nature d'unesérie....... .............. ......21
3.1.3Conditionn écessairedeconvergence. .................22
3.1.4Sériesn umériquesàtermesp ositifs................ ..22
3.1.5Sériesà termesréelsdesigneq uelcon que........ .......24
3.2Séri esdefonctions.... ...... .............. ... ... .24
3.3L'espace L
2 p (0,T 0 )................................2 63.3.1Définit ions..................... ... .. ... ... 26
3.3.2Convergenc eenmoyennequadratique........ ...... ...27
3.3.3Polynôm estrigonométriquesetmeilleu reapproximation.......27
3.3.4Meilleurea pproximation........... .............28
34TA BLEDESMATIÈRES
3.4Séries deFourier.... ...... .............. ... ... ..28
3.4.1Coe"cientsdeFourier ... ...... ... ... ... ... .. ..29
3.4.2Sériesd eFourieretpremier sexemples .............. ..30
3.5Conver gencedessériesdeFourier...... ......... ........32
3.5.1Convergence enmoyennequadratique......... ..... ...32
3.5.2ThéorèmedeD irichlet............ ...... .......33
3.5.3EgalitédeP arseval.......... ...... ...........34
4.1Préambu le:modéliserdesphénomèn esi mpulsionnels............35
4.1.1Convolutio ndedeuxfonctionsetpropriétésé lément aires...... 35
4.1.2Impulsion deDirac!
0 ..........................3 74.2Equati ondelachaleur........ ..... ...... ..........39
4.2.1Soluti onfondamentaledel'équationd elachaleur..........39
4.2.2Résolution del'équationdelach aleurparsép arationdesvariables.42
4.3Equatio nsdesondes............. ........ .........45
4.3.1Résolution del'équationdescordes vibrant esparséparationdesva-
riables.... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .464.3.2Séparati ondesvariablesdanslecas2D.. ...... ........48
4.4Général itéssurlaméthodedeséparat iondesvar iables. ..........49
4.4.1Pourdes conditionshom ogènesetsanst ermesource.........49
4.4.2Problèmesde Sturm-Liouvilleendimens ion1.. ..........50
4.4.3Lamétho dedesép arationdesvariablesenprésenced 'unterm esource53
4.4.4Méthodedesé parationdesvariab lesave cdesconditionsauxlimites
nonhomog ènes........... ... ... ... .. ... ... .545TransforméedeLaplaceetapplications55
5.1Défin itiondelatransforméedeLaplace. ...... ..... ........55
5.2Tran sforméedeLaplacedequelquesfonc tionsélémen taires....... ..56
5.3Condit ionsu"santed'existencedela transforméedeLaplace ... ... ..57
5.4Propri étésdelatransforméedeLapla ce.... ...... ..........59
5.5Transfor méedeLaplaceetconvolution. ...... ........... ..63
5.6Impu lsiondeDiracàdroite!
0 .........................6 45.7Fonct ion!....................................6 4
5.8Résolut iondeproblèmesgrâceàla transformée deLaplace.........65
5.8.1Leséquat ionsdi!érentiellesordinairesàco e"cientsconstants. ..66
5.8.2Originald 'unefractionrationnell e............. ......67
Chapitre1
Rappels
Équationsdi!érentiellesordinaires
1.1Équati ondi!érentiellelinéairedupremierordre
Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedupremier ordreestdu type : a(x)y (x)+b(x)y(x)=f(x)(1.1) oùles fonctions aetbsontdonnéesets'app ellentles coe"cientsdel'équationdi !érentielle etlafonction festdonnéeet s'appelle lesecondmem bre.Unesolutio nde(1.1)estunefonctio nydeclasse C
1 surun intervalle Ivérifiant(1.1) pourtoutx!I.1.1.1Equationhom ogène
Onapp elleéquationdi!érentiellehomogèneassociée à(1.1)l'équation : a(x)y (x)+b(x)y(x)=0.(1.2)Equationàcoe"cientsconstan ts
Onsep lace danslecasoùaetbsontdesconstantes. Alorslasolution généraledel'équation homogène(1.2)est v(x)=Ce rx avecr=" b a etCestuneconstan tearbitraire.Equationàcoe"cientsvaria bles
SoitIuninterv alleoùlesfonctionsaetbsontdéfiniesetcon tinueset telqu ea(x)#=0, v(x)=Ce u(x) 561. 1.Équationdi!érentiellelinéairedu premierordre
avecu (x)=" b(x) a(x) etCestuneconstan tearbitraire.1.1.2Solutiongénér ale
Soitv 0 uneso lutionparticulièrede(1.1 );alorslessolutionsgénéra lesde (1.1)s'écrivent y(x)=v(x)+v 0 (x) oùvestlasolution généralede l'équationhomogène(1.2).1.1.3Recherchedeso lutionparticulière
Oncomm encetoujoursparregard ers'iln'yapasdesolu tionévid ente,sinononpeut appliquerl'unedesméthodessu ivantesSecondmembre delaforme:f(x)=e
!x P n (x) Pouruneéquationà coe"cientsconstants ,silesecondmembreestdelaformef(x)= e !x P n (x)oùP n estun polynômede degrén: 1 er cas:si "#=r=" b a alorsoncherc heu nesolutionsouslaformev 0 (x)=e !x Q n (x)oùQ n estun polynôme dedegré n. 2 eme cas:si "=r=" b a onch ercheunesolutionsouslafor mev 0 (x)=e !x xQ n (x)oùQ n estun polynômede degrén.Méthodedevariat ion delaconstante
Siv(x)estune solutiondel'équation homogène,onc hercheune solutionparticulièresous laforme v 0 (x)=C(x)v(x)etC vérifiealors:C (x)= f(x) a(x)v(x)1.1.4Exemples
Exemple1Résoudrey
(x)+2y(x)=2cosx.Exemple2Résoudrexy
(x)+y(x)=xpourx!R Chapitre1.Rappels.Équa tionsd i!érentiellesordinaires71.2Equation di!érentiellelinéairedusecondordre
Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordreestdu type : a(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)=f(x)(1.3) oùa,betcsontdesfonctionsdonnées, appeléesco e"cientsdel'équationdi !érentielle etfestappelée seoncdmembredel'équation di!érentielle.Unesolutionde (1.3)est une fonctionydecla sseC 2 surun intervalle Ivérifiant(1.3)pourto utx!I. Lasolu tiongénéraledel'EDOde(1. 3)s'écrivent: y(x)=y h (x)+y 0 (x), oùy h estsolutionde l'équationhomogène associéeet y 0 unesolutionpa rticulièrede(1.3).1.2.1Solutiondel 'équationhomogène
Soit: (E h )a(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)=0. ContrairementauxEDOlinéaireshomogène sdupremie rordre ,onn'apasd'expression explicitedessolutions lorsquelesco e"cientssontnoncons tants.Commenç onspardo nner lastru cturedessolutionsd'uneEDOli néaireho mogènedusecondordre: Proposition1SoitIuninterval leoùlesfonctionsa,betcsontdéfinieset continues ett elquea(x)#=0,pourtoutx!I.Lessolutionsdel'équationhomogène(E h )sontde laforme : y(x)="y 1 (x)+µy 2 (x), où"etµsontdesc onstantesar bitrairesety 1 ,y 2 deuxsolutions linéairement indépen- dantes.Autr ementdit,l'ensembledessolution sde(E h )estun espace vectorieldedimen- sion2.Lasolutio ndel'équation(E
h )dépendainside deuxconstantesa rbitraires,so it2deg rés deliberté. Ilsu"tdoncdeconnaîtredeuxsolutionslinéairementindépendantesde(E hpourlesconn aîtretout es.Enréalité,grâceàlaméthod ederéductiond'ordred écr iteci-
après,ilsu"tdeconnaîtreunesolutiondel'équation homogènep ourpouv oirenconstruire unedeuxième, linéairement indépendante,etainsileso btenirtoutes: Méthodederéductio nd'o rdre.C'estunevari antedelam éthodedelavariationdela constante.Leprincipe estlesuiv ant:Étape1."Devi ner"un esolutiony
1 del'équa tion(E h ):regarderlaformedel'équation, essayerparexempledespolynômes :x,x 2 ,e x (sia(x)+b(x)+c(x)=0,y(x)=e x estsolution!), etc.Étape2.Onche rcheun esolut iony
2 de(E h )sousla forme:y 2 (x)=C(x)y 1 (x)avecC fonctionnon constante.81. 2.Equationdi!érentiellelinéairedu secondordre
Étape3.Lasolu tiongé néral ede(E
h )s'écritalo rs:y(x)="y 1 (x)+µy 2 (x)avec",µ!R (ouCsionc herche dessolutionscomplexes).ExempleRésoudre:x
2 y +xy "4y=1.1.2.2Casparticul ierdesEDOhomo gènesàcoe!cientsconstants
Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordreàco e"cientsconstantsest dutype: (E c )ay (x)+by (x)+cy(x)=0(1.4) oùles réelsa,betcsontdonnésdansR $R$R. Onapp elleéquationcaractéristi queassociéeà(E c ar 2 +br+c=0.(1.5)Notons"=b
2 "4acsondiscriminan t. Si">0alorsl'équat ioncaractéristiqueadmetdeuxsolutio nsr 1 #=r 2 réelles.La solution généralede(E c )s'écrit: y(x)=C 1 e r 1 x +C 2 e r 2 x ,avec:C 1 ,C 2 !Rconstantesarbitraires. Si"<0alorsl'équat ioncaractéristiqueadmetdeuxsoluti onscomplexesconjuguéesr= #+i$et¯r=#"i$.Com meprécédemm entonadonc: y(x)=C 1 e rx +C 2 e¯rx
,avecC 1 ,C 2 !C,solutionscomplexes oubi ensionveutles solut ions réellesde(E c y(x)=e "x Si"=0alorsl'équati oncaractéristiqueadmetuneuniq uesolutionr=" b 2a (racine double)etlessolutio nsde (Equotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] TD Master 2
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