Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
Introduction aux Equations aux Dérivées. Partielles. B. Helffer `a partir du texte établi par Thierry Ramond. Département de Mathématiques.
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
avec r = b a et C est une constante arbitraire. Equation à coefficients variables. Soit I un intervalle où les fonctions a et b sont définies et continues et
Introduction aux équations aux dérivées partielles (EDP) A. Lesfari
%20Introduction%20aux%20EDP.pdf
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles (EDP) - Partie 2.
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles (EDP). - Partie 2. ALLA Abdellah. Département de Mathématiques. Faculté des Sciences de Rabat.
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Introduction aux Equations aux Dérivées Département de Mathématiques ... Le caract`ere particulier d'une équation aux dérivées partielles (EDP) est de.
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Département de Mathématiques 3.2 Les équations de transport . ... Le caract`ere particulier d'une équation aux dérivées partielles (EDP) est de.
Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations
des équations aux dérivées partielles (EDP). Cours 2. Sébastien Deheuvels Laur`ene Les différents types de simulations numériques en astrophysique.
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des équations aux dérivées partielles. Polycopié du cours MAP 431. Département de Mathématiques Appliquées. Grégoire ALLAIRE - François ALOUGES.
ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction `a la
28 jan. 2014 Département de Mathématiques Appliquées ... On trouve une équation aux dérivées partielles: ... Pour les équations de la chaleur et de.
Introduction aux équations aux dérivées partielles (EDP) A. Lesfari
%20Introduction%20aux%20EDP.pdf
Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsIntroduction aux Equations aux Dérivées Partielles (EDP) - Partie 2.ALLA Abdellah
Département de Mathématiques.
Faculté des Sciences de Rabat. Université Mohammed V,Maroc.
Master Mathématiques et Applications
Printemps 2017.
ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsPlan du cours
1Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques
2Approximation par la méthode des éléments finis
3Problème d"évolution
4Discrétisation en temps
ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsRéférences
G. Allaire
:"Analyse n umériqueet optimisation". Éditions de l"école polytechnique ,Octobre 2012.P.A. Raviart,J .M.Thomas :"Introduction à l"analyse n umériquedes équations aux
dérivées partielles". Paris, 1983.ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis
Problème d"évolution
Discrétisation en tempsPréambule
Ce document constitue les notes de la deuxième partie du cours "Introduction auxEquations aux Dérivées Partielles (EDP)" déstiné aux étudiants de la première année
du Master "Mathématiques et Applications" de la Faculté des Sciences de Rabat - Université Mohammed V. Il s"agit ici d"exposer les bases de la méthode des éléments finis et de l"illustrer sur des exemples très simples. Une mise en oeuvre de la méthode à été programmée à l"aide d"un logiciel de calcul scientifique et du logiciel libre FreeFEM++ (biensûr sans entrer dans le détail du fonctionnement de ce dernier) développé à l"Université Paris VI.Par ailleurs, en complément de ce cours, j"ai opté pour les deux rapports suivants :S. Bounejmate,S .Bouy ahya: "Résolution d"équations aux dér ivéespar tiellespar
la méthode des éléments finis". Projet Tutoré sous l"encadrement deA. Alla
52 pages, 2015.B. Nadir,H. Zitouni : "La théta-méthode pour la résolution n umériqued"un
problème parabolique". Projet Tutoré sous l"encadrement deA. Alla
69 pages, 2016.
Le lecteur curieux est invité à consulter les excellents ouvrages présentés dans la bibliographie. Les figures des pages 34;35;43;44 et 47 sont empruntées à une présentation du Pr. S. Fliss. ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitFormulation variationnelle des problèmes modèlesExemple 1 : Problème de Dirichlet homogène
Chercheru, telle que :4u=fdans
u=0 sur:(1) 8< :Trouveru2H10( );telleque:Z rurv dx=Z f v dx8v2H10( ):(2)Pour obtenir cette formulation :u"assez régulière"considérer une fonctionv"assez régulière"multiplier l"équation(1) par v, intégrer sur
utiliser la formule de GreenIntroduire les conditions aux limites
Considérer la régularité minimmale deuetvpour que la FV soit bien définie=)Permet de définir l"espace fonctionnel avec lequel nous allons
travailler ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitFormulation variationnelle des problèmes modèlesExemple 2 : Problème de Neumann
Pourfdonnée dansL2(
),gdonnée dansL2(), chercherusolution de :4u+u=fdans
@u@n=gsur:(3) 8< :Trouveru2H1( );telleque:Z rurv dx+Z u v dx=Z f v dx+Z g v ds8v2H1( ):(4)ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Nous allons décrire un cadre abstrait où rentre les formulation variationnelles précédentes.On se donne :Vest un espace de Hilbert munit de la normejj:jjV.a: (u;v)7!a(u;v)une forme bilinéaire continue surVV, ie :
9M>0;8u2V;8v2V;a(u;v) ensemble des formes linéaires continues Le problème variationnel général s"écrit : Trouveru2V, solution de:
a(u;v) =L(v)8v2V;(5)ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Définition
On dit que le problème
(5) est bien posé s"il admet une solution et une seule et si on a la propriété de stabilité suivante : 9c>0;8L2V0;jjujjV Supposons que la forme bilinéairea(:;:)estVelliptique, c-à-d : 9 >0;a(v;v)jjvjj2V8v2V.
Alors le problème
(5) est bien posé et nous a vons: 8L2V0;jjujjV<1
jjLjjV0.Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Dans le cas particulier où la forme bilinéaire est symétrique et définie positive, le problème s"interprête comme un problème d"optimisation :Théorème : SoitVun espace de Hilbert,a(:;:)2 L(VV;R)etL2V0. Supposons quea(:;:)est symétrique et définie positive a(u;v) =a(v;u)8u;v2V;a(v;v)08v2V. Alorsuest solution du problème(5) si et seulement si uminimise surVla fonctionnelle J(v) =12
a(v;v)L(v)8v2V.Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Il arrive que dans les formulations variationnelles les fonctions tests ne soient pas de même nature que la solution. Dans de telles situations nous avons deux espaces de HilbertWetVet le problème abstrait a la forme suivante : Trouveru2W, solution de:
a(u;v) =L(v)8v2V;(6) oùa(u;v)est une forme bilinéaire continue surWV.ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF)
Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitThéorème de Ne casSoientWetVdeux espaces de Hilbert,a(:;:)2 L(WV;R)etL2V0. Le problème (6) est bien posé si et seulement si:il existe une constante >0telle que inf w2Wsup v2Va(w;v)jjwjjWjjvjjV >0,on a : 8v2V;8w2W;a(w;v) =0=)v=0.
Dans ces conditions, nous avons l"estimation
8L2V0;jjujjW<1
jjLjjV0.Démonstration :Voir le livre de V. Girault - P.A. Raviart : "Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations (Theory and algorithms)". Chap.I-page 58. ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DIntroduction
On se place dans le cadre abstrait suivant :
Vest un espace de Hilbert munit de normek:ka(:;:)une forme bilinéaire surV, continue etV-elliptiqueL(:)une forme linéaire et continue surV
Soitula solution du problème
Trouveru2V, tel que:
a(u;v) =L(v)8v2V;(7)Vest un espace de dimensioninfinie Dans les applications, généralement, impossible de calculer exactement la
solution exacte. ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DMéthode d"approximation
Pour définir le
prob lèmeapproché Nous considérons un espace de dimension
finie VhVNous considérons alors le problème Trouveruh2Vh, tel que:
a(uh;vh) =L(vh)8vh2Vh;(8) qui n"est rien d"autre qu"un système d"équations linéaires. La matrice associée est :symétrique sia(:;:)est symétrique,définie positive grace à laV-ellipticité.SiVh*V:Il faut vérifier laVh-ellipticité qui n"est plus déduite de celle dansVil faudra souvent considérer de nouvelle formesah(:;:)etLh(:),et le problème devient
Trouveruh2Vh, tel que:
a h(uh;vh) =Lh(vh)8vh2Vh;(9)ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Cadre du théorème de Lax-Milgram :
Soitula solution du problème continu(P)
Trouveru2V, tel que:
a(u;v) =L(v)8v2V; Nous allons décrire ici la méthode générale d"approximation interne du problème(P). On se donne un sous-espaceVhdeV, de dimension finieN(h)et dépendant d"un paramètreh>0déstiné à tendre v ers0 . On définit alors le problème approché(Ph)par Trouveruh2Vh, tel que:
a(uh;vh) =L(vh)8vh2Vh;ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Théorème :
Le problème(Ph)admet une solution uniqueuh2VhDémonstration : Examinons l"erreur commise lorsqu"on passe du problème(P)au problème(Ph).Théorème : (Lemme de Céa)
Nous avons la majoration
kuuhk M infvh2Vhkuvhk:(10)Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Proposition :
Supposons queaest symétrique. Alors l"estimation est meilleure kuuhk rM infvh2Vhkuvhk:(11) Sachant que
M 1.ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF)
Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
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Trouveru2V, solution de:
a(u;v) =L(v)8v2V;(5)ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstraitDéfinition
On dit que le problème
(5) est bien posé s"il admet une solution et une seule et si on a la propriété de stabilité suivante :9c>0;8L2V0;jjujjV Supposons que la forme bilinéairea(:;:)estVelliptique, c-à-d : 9 >0;a(v;v)jjvjj2V8v2V.
Alors le problème
(5) est bien posé et nous a vons: 8L2V0;jjujjV<1
jjLjjV0.Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Dans le cas particulier où la forme bilinéaire est symétrique et définie positive, le problème s"interprête comme un problème d"optimisation :Théorème : SoitVun espace de Hilbert,a(:;:)2 L(VV;R)etL2V0. Supposons quea(:;:)est symétrique et définie positive a(u;v) =a(v;u)8u;v2V;a(v;v)08v2V. Alorsuest solution du problème(5) si et seulement si uminimise surVla fonctionnelle J(v) =12
a(v;v)L(v)8v2V.Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Il arrive que dans les formulations variationnelles les fonctions tests ne soient pas de même nature que la solution. Dans de telles situations nous avons deux espaces de HilbertWetVet le problème abstrait a la forme suivante : Trouveru2W, solution de:
a(u;v) =L(v)8v2V;(6) oùa(u;v)est une forme bilinéaire continue surWV.ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF)
Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitThéorème de Ne casSoientWetVdeux espaces de Hilbert,a(:;:)2 L(WV;R)etL2V0. Le problème (6) est bien posé si et seulement si:il existe une constante >0telle que inf w2Wsup v2Va(w;v)jjwjjWjjvjjV >0,on a : 8v2V;8w2W;a(w;v) =0=)v=0.
Dans ces conditions, nous avons l"estimation
8L2V0;jjujjW<1
jjLjjV0.Démonstration :Voir le livre de V. Girault - P.A. Raviart : "Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations (Theory and algorithms)". Chap.I-page 58. ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DIntroduction
On se place dans le cadre abstrait suivant :
Vest un espace de Hilbert munit de normek:ka(:;:)une forme bilinéaire surV, continue etV-elliptiqueL(:)une forme linéaire et continue surV
Soitula solution du problème
Trouveru2V, tel que:
a(u;v) =L(v)8v2V;(7)Vest un espace de dimensioninfinie Dans les applications, généralement, impossible de calculer exactement la
solution exacte. ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DMéthode d"approximation
Pour définir le
prob lèmeapproché Nous considérons un espace de dimension
finie VhVNous considérons alors le problème Trouveruh2Vh, tel que:
a(uh;vh) =L(vh)8vh2Vh;(8) qui n"est rien d"autre qu"un système d"équations linéaires. La matrice associée est :symétrique sia(:;:)est symétrique,définie positive grace à laV-ellipticité.SiVh*V:Il faut vérifier laVh-ellipticité qui n"est plus déduite de celle dansVil faudra souvent considérer de nouvelle formesah(:;:)etLh(:),et le problème devient
Trouveruh2Vh, tel que:
a h(uh;vh) =Lh(vh)8vh2Vh;(9)ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Cadre du théorème de Lax-Milgram :
Soitula solution du problème continu(P)
Trouveru2V, tel que:
a(u;v) =L(v)8v2V; Nous allons décrire ici la méthode générale d"approximation interne du problème(P). On se donne un sous-espaceVhdeV, de dimension finieN(h)et dépendant d"un paramètreh>0déstiné à tendre v ers0 . On définit alors le problème approché(Ph)par Trouveruh2Vh, tel que:
a(uh;vh) =L(vh)8vh2Vh;ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Théorème :
Le problème(Ph)admet une solution uniqueuh2VhDémonstration : Examinons l"erreur commise lorsqu"on passe du problème(P)au problème(Ph).Théorème : (Lemme de Céa)
Nous avons la majoration
kuuhk M infvh2Vhkuvhk:(10)Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Proposition :
Supposons queaest symétrique. Alors l"estimation est meilleure kuuhk rM infvh2Vhkuvhk:(11) Sachant que
M 1.ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF)
Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finis Problème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximation Eléments finis 1D
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9 >0;a(v;v)jjvjj2V8v2V.
Alors le problème
(5) est bien posé et nous a vons:8L2V0;jjujjV<1
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Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Dans le cas particulier où la forme bilinéaire est symétrique et définie positive, le problème s"interprête comme un problème d"optimisation :Théorème : SoitVun espace de Hilbert,a(:;:)2 L(VV;R)etL2V0. Supposons quea(:;:)est symétrique et définie positive a(u;v) =a(v;u)8u;v2V;a(v;v)08v2V. Alorsuest solution du problème(5) si et seulement si uminimise surVla fonctionnelleJ(v) =12
a(v;v)L(v)8v2V.Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitProblème variationnel abstrait Il arrive que dans les formulations variationnelles les fonctions tests ne soient pas de même nature que la solution. Dans de telles situations nous avons deux espaces de HilbertWetVet le problème abstrait a la forme suivante :Trouveru2W, solution de:
a(u;v) =L(v)8v2V;(6)oùa(u;v)est une forme bilinéaire continue surWV.ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF)
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Discrétisation en tempsFormulation variationnelle des problèmes modèles Problème variationnel abstraitThéorème de Ne casSoientWetVdeux espaces de Hilbert,a(:;:)2 L(WV;R)etL2V0. Le problème (6) est bien posé si et seulement si:il existe une constante >0telle que inf w2Wsup v2Va(w;v)jjwjjWjjvjjV >0,on a :8v2V;8w2W;a(w;v) =0=)v=0.
Dans ces conditions, nous avons l"estimation
8L2V0;jjujjW<1
jjLjjV0.Démonstration :Voir le livre de V. Girault - P.A. Raviart : "Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations (Theory and algorithms)". Chap.I-page 58. ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximationEléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DIntroduction
On se place dans le cadre abstrait suivant :
Vest un espace de Hilbert munit de normek:ka(:;:)une forme bilinéaire surV, continue etV-elliptiqueL(:)une forme linéaire et continue surV
Soitula solution du problème
Trouveru2V, tel que:
a(u;v) =L(v)8v2V;(7)Vest un espace de dimensioninfinie Dans les applications, généralement, impossible de calculer exactement la
solution exacte. ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximationEléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DMéthode d"approximation
Pour définir le
prob lèmeapprochéNous considérons un espace de dimension
finie VhVNous considérons alors le problèmeTrouveruh2Vh, tel que:
a(uh;vh) =L(vh)8vh2Vh;(8) qui n"est rien d"autre qu"un système d"équations linéaires. La matrice associéeest :symétrique sia(:;:)est symétrique,définie positive grace à laV-ellipticité.SiVh*V:Il faut vérifier laVh-ellipticité qui n"est plus déduite de celle dansVil faudra souvent considérer de nouvelle formesah(:;:)etLh(:),et le problème devient
Trouveruh2Vh, tel que:
a h(uh;vh) =Lh(vh)8vh2Vh;(9)ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximationEléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Cadre du théorème de Lax-Milgram :
Soitula solution du problème continu(P)
Trouveru2V, tel que:
a(u;v) =L(v)8v2V; Nous allons décrire ici la méthode générale d"approximation interne du problème(P). On se donne un sous-espaceVhdeV, de dimension finieN(h)et dépendant d"un paramètreh>0déstiné à tendre v ers0 . On définit alors le problème approché(Ph)parTrouveruh2Vh, tel que:
a(uh;vh) =L(vh)8vh2Vh;ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximationEléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Théorème :
Le problème(Ph)admet une solution uniqueuh2VhDémonstration :Examinons l"erreur commise lorsqu"on passe du problème(P)au problème(Ph).Théorème : (Lemme de Céa)
Nous avons la majoration
kuuhk M infvh2Vhkuvhk:(10)Démonstration : ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF) Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques Approximation par la méthode des éléments finisProblème d"évolution
Discrétisation en tempsMéthode d"approximationEléments finis 1D
Exemple 1D
Eléments finis 2D
Exemple 2DApproximation Interne
Proposition :
Supposons queaest symétrique. Alors l"estimation est meilleure kuuhk rM infvh2Vhkuvhk:(11)Sachant que
M1.ALLAAbdellah abdellah.alla@gmail.comMéthode des Eléments Finis (MEF)
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