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G eom etrie di erentielle - Examen session 1 - Corrig e

Une base de voisinages de (w;0) est form ee des voisinages produits de la forme V ] ; [ avec >0 donc en restreignant W eventuellement on peut supposer que U= V ] ; [ˆR2 R On d e nit ?= ? 1 g( 1) et ?= ? 2 g( 1) avec ? 1 (resp ? 2) les projections de R 2 1R sur R (resp R) Puisque gest C et ces projections lisses ?et ? sont C 1

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Qu'est-ce que la geotechnique ?

LA GEOTECHNIQUE: "Partie de la géologie appliquée qui étudie les propriétés des sols et des roches en fonction des projets de construction d'ouvrages d'art" (Dictionnaire Encyclopédique Larousse). Souvent confondue avec la mécanique des sols, ce sont bien les données géologiques de type structural qui lui servent de base.

Quels sont les problèmes géotechniques?

Les problèmes géotechniques dépendent soit des propriétés du substratum géologique ancien modulées par l'altération et les phénomènes morphodynamiques, soit de la nature et de la répartition de la couverture de formations superficielles.

Quels sont les différents types de géotechnique?

La géotechnique s’appuie principalement sur les différentes sciences de la terre suivantes : la géologie ; l’hydrogéologie ; la mécanique des sols et des roches ; la rhéologie des géomatériaux ; la géophysique ; la géodynamique ; la géochimie.

Quels sont les aspects géotechniques de la partie 5?

– Aspects géotechniques En raison de la combinaison des incertitudes dans les actions sismiques et des propriétés des sols, il se peut que la partie 5 ne couvre pas en détails toute situation possible de calcul et son bon usage peut exiger un jugement et une expérience ingénierie spécialisée. CHAMP D’APPLICATION (1)P La pr

Universite Joseph Fourier - M1 - 2017-2018

Geometrie dierentielle - Examen session 1 - Corrige

15 mai 2018 - 3 heures

Les exercices ainsi que le probleme sont independants.Vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous souhaitez.

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Dans tout le sujet, pour tout sous-ensembleMRnet tout pointp2Rn, on note d(p;M) := infq2Mk!pqk: Question de cours.Soit deux entiers non nulspn,F:Rn!Rpune fonction lisse etM:=F1(0).

1. Donner une condition susante surFpour queMsoit une sous-variete deRn.

On ne demande pas de demontrer que cette condition est susante. (a) Cette condition est-elle necessaire? (b) Donner un exemple de couple (F;M) avecp= 2 =n. (c) Donner un contre-exemple avecp= 1,n= 2 etMest non vide,Fne satisfait pas la condition etMn'est pas une sous-variete de dimension 1. 2. Enoncer le theoreme des extremas lies pour la restriction d'une fonctionf: R n!Ra la sous-varieteM.

3. Demontrer que pour toutm2Rnetp2Mtels quek!mpk=d(m;M), on a!mp?TpM.

Exercice.Soit

F:R3!R2;

(x;y;z)7!(x2+y2+z21;x+y+z); etM:=F1(0). Soitf:R3!R,f(x;y;z) =z.

1. Montrer queMest une sous-variete lisse deR3. Quelle est sa dimension?

Reponse.Fest lisse et

dF(x;y;z) = (2xdx+ 2ydy+ 2zdz;dx+dy+dz): Dans la base canonique duale, c'est [(2x;2y;2z);(1;1;1)]. Cette paire est liee ssi (x;y;z)2R(1;1;1), soit9t2R,x=y=z=tmais dans ce cas 3t= 0 car x+y+z= 0 et donct= 0 et (x;y;z) = 0 ce qui est impossible carx2+y2+z2= 1. Sa dimension est donc 32 = 1 (c'est un grand cercle, geometriquement).

2. Montrer queg:=fjMadmet un minimum et un maximum.

Reponse.L'applicationgest continue comme restriction d'application lineaire (en dim nie) aM. OrMest ferme comme image reciproque parFcontinue (car polynomiale) de (0;0) qui est ferme deR2. De plusMest borne car ses points sont a distance 1 de l'origine. CommeR3est de dimension nie,Mest compact. Doncgatteint ses bornes, et son min et max existent.

3. En utilisant les multiplicateurs de Lagrange, determiner les extrema locaux de

4. En deduire minget maxg.

Corrige.On a

dF(x;y;z) = (2xdx+ 2ydy+ 2zdz;dx+dy+dz) etdf=dz. Sia= (x;yz) est un extremum local deg, alors il existe;2R, dz=(xdx+ydy+zdz) +(dx+dy+dz): Comme lesdxisont libres dans l'espace dual, cette equation est equivalente a x+= 0 y+= 0 z+= 1: Si= 0, on a= 0 et donc 1 = 0 ce qui est faux. Les deux premieres equations donnent(xy) = 0, avec6= 0 on ax=y, et puisquea2M,z=xy=2x, et doncx2+x2+4x2= 1 soitx2= 1=6, d'oux=1=p6 eta=a=1p6 (1;1;2). On a au moins deux extrema, doncaeta+sont forcement des extrema, et ce sont les seuls. Comme on a un minimum et un maximum, et quez(a) =2p6 ,aest le max eta+le min, de hauteurq2 3 . (On peut obteniret, mais c'est inutile dans ce cas. ) Probleme. Les deux parties sont independantes.SoitUR2un ouvert connexe etf:U!R3une applicationCavec2. On suppose que (f;U) est une surface parametree reguliere. On noteraS=f(U). Soit les fonctions :

N:U!R3

w7!f0u^f0v(w)kf0u^f0v(w)k; ouf0uetf0vsont les derivees partielles selon les deux coordonnees canoniques deR2, et g:UR!R3 (w;t)7!f(w) +tN(w):

Partie 1

1. Quelle est la regularite deg?

2. Pour tout (w;t;h;k)2URR2R, determinerdg(w;t)(h;k). On ne cher-

chera pas a developper la dierentielle deN.

Reponse.On adg(w;t) =df(w) +dtN(w) +tdN(w);donc

dg(w;t)(h;k) =df(w)(h) +kN(w) +tdN(w)(h):

3. Montrer que pour toutw2U,dg(w;0) est une application lineaire inversible.

Reponse.On adg(w;0) =df(w) +dtN(w);doncImdg(w;0) =Imdf(w) + N(w)R. MaisN(w)?Imdf(w) etN(w)6= 0, doncImdg(w;0) =Imdf(w) N(w)Rqui est de dimension 3 car le rang dedf(w) est 2.

4. (a) Montrer que pour toutw2U, il existe >0, un voisinageWR3de

p:=f(w), un voisinageVUdew, des applicationsC1::W!Vet :W!];[, tels que

8m2W; m=g((m);(m)):

Reponse.dg(w;0) :R2R!R3est inversible, donc par le theoreme d'inversion locale, il existe un voisinage ouvertUde (w;0) dansURet un voisinage ouvertWdeg(w;0) =f(w) =pdansR3, tel quegjU:U !West unC1-dieomorphisme. Une base de voisinages de (w;0) est formee des voisinages produits de la formeV];[ avec >0, donc en restreignant Weventuellement, on peut supposer queU=V];[R2R. On denit=1g(1)et=2g(1)avec1(resp.2) les projections de R

2RsurR2(resp.R). PuisquegestC1et ces projections lisses,et

sontC1. (b) Montrer par le theoreme des accroissements nis qu'il existe0>0, tel que

80< < 0; diam

f(B(w;)) <2 Reponse.On a par le theoreme des accroissements nis, pour tout >0, diam(f(B(w;))sup x2B(w;)kjdf(x)kj: Commedfest continue surU, si1>0 est tel queB(w;1)U, elle est bornee surB(w;1) par une constante, donc il existe0< 1assez petit pour quediamf(B(w;0))<2 (c) En deduire qu'il existe >0 tel queB:=B(w;)V, et tel que si (w0;t0)2BRet (w00;t00)2B]2 ;2 [ satisfontg(w00;t00) =g(w0;t0), alors w

00=w0ett0=t00.

Dans toute la suite, on pose

0=gB]2

;2 [W: 3 Reponse.Soit 0< < 0assez petit pour queB(w;)V. Alors l'hypothese de la question implique 2 >kf(w0)f(w00)k=kt0N(w0)t00N(w00)k jt0t00j par l'inegalite triangulaire et le fait queNest de norme 1. Donct02];[ et par unicite deet,t0=(m) =t00etw0=(m) =w00.

5. Pour toutw2Uavecp=f(w), montrer qu'il exister >0 telle que pour tout

m2Bp:=B(p;r) il existep02S\W0tel qued(m;S) =kmp0k, ou d(m;S) = infq2Skqmk etW0R3est donne par la question 4c. On pourra utiliser la boule fermeeB(p;2r).

Reponse. PuisqueW0est un voisinage dep, il exister >0 tel queF:=B(p;2r)W0. Soitm2B(p;r). On akmpk< rdoncd(m;S)< r. De plus

d(m;Fc)> r, doncd(m;S\Fc)r, si bien que infSd(;m) = infFd(;m): L'applicationp2S7! kpmkest continue sur le compactF\S, donc atteint son minimum enp02F\S, minimum qui est< r. C'est un minimum surSpar l'egalite precedente.

6. Soitp2UetBpla boule denie dans la question 5.

(a) Montrer que pour toutm2Bp, d(m;S) =k!f((m))mk=j(m)j; ou (;) sont denis en question 4a. On pourra utiliser le pointp02Sde la question 5 et noter que par la question de cours, ~p0m?Tp0S. (b) En deduire que l'applicationm2Bp7!d(m;S)2estC1. Reponse.Par la question 5, il existep02S\W0, tel qued(m;S) =kmp0k. On a de plus!mp0?Tp0Spar la question de cours. Soitw02Btel quef(w0) =p0.

Il existe donct02R,

g((m);(m)) =m=p0+t0N(w0) =g(w0;t0): Par la question 4c, on a en faitw0=(m) ett0=(m), si bien qued(m;S) = kmp0k=jt0jN(w0)j=j(m)j.estC1donc2aussi, doncd2aussi.

7. Soitw2U,m2Bp,s2Ret

m s:=m+sN(w): Montrer que poursassez petit,(ms) et(ms) existent, que(ms) =(m) et que(ms) =(m) +s. 4 Reponse.CommeBpest ouverte, poursassez petit,m02Bp, donc(ms2B et(ms)2]2 ;2 [ existent. On a donc m s=f((ms)) +(ms)N((ms)):

Mais par aillerus

g((m);(m) +s) =m+sN((m)) =ms; donc par unicite,(ms) =(m) et(ms) =(m) +s.

Reponse.On a

(m+sN((m))) =(m) +s: Donc en derivant par rapport aset en faisants= 0, on obtient la derivee selon

N((m)) deenm, doncd(m)(N((m))) = 1:

8. (a) En deduire la valeur ded(m)(N((m)):

(b) En deduire de la question 6 qued(;S) n'est pas dierentiable surR3. Don- ner un exemple explicite de surfaceSou ce fait est explicite. Reponse.Soitp2S. On ad(sN(p);S) =jsj, doncdn'est pas derivable dans la directionN(p). SiSest le plan horizontal,(x;y;z) =zdonc d((x;y;z);S) =jzjqui n'est pas dierentiable pourz= 0.

9. Soitw2U,Bpla boule denie a la question 5. Pour tout >0, soit

S :=fm2Bp;d(m;S) =g: (a) Montrer que pourassez petit,Sest non vide. (b) Montrer que pourassez petit,Sune surfaceC1deW0. On pourra utiliser la question 6. (c)Question BonusMontrer queSpossede precisement deux composantes connexesS Reponse.Soitm2BnS. Alorsd(m;S) := >0. Pour < ,Sest non vide.

En eet,m+N((m))2Bet par la question 6,

d(m+N((m));S) =jj: SoitF:=d(;S)22qui estC1surB. On adF=d(2) = 2dpar la question 6. Pourm2S,(m)6= 0 et par la question precedente,d(m) est non nulle, donc de rang maximal, donc par le cours,S\Best une surface parametree (non vide).

On a:S! f;g. De plus

m :=f((m))(m)2S :=1(): est continue, doncS=S+ [S est la reunion de deux fermes non vides, d'intersection vide, doncSn'est pas connexe.Sest connexe car sig(w;)2S+ etg(w0;)2S+,V0est connexe donc connexe par arc, doncwetw0sont relies par : [0;1]!V0un chemin continue, donc :=g relieg(w;) etg(w;) dansS+ , doncS+ est connexe. De m^emeS est connexe. 5

Partie 2

10. Pour tout >0, soit =g(U fg).

(a) Soitj:U!R3denie par

8w2U; j(w) =g(w;):

Montrer que pour tout ouvert d'adherence compacteVU, il existe >0 assez petit, tel que (V;f) est une parametrisation reguliere de , de classe C 1. Corrige.On aj(w) =g(w;)2. On adj(w) =df(w) +dN(w). La norme def0u^f0vnon nulle et continue surUdonc minoree parc >0 sur le compactV. Donc par continuite, il existe >0 tel que infVkj0u^f0vk> c=2>0, doncjest reguliere. De plusjestC1carNl'est, etfestC. (il y avait une erreur dans l'enonce, qui demandait la regularite sur tout.) On suppose dans la suite que(f0u;f0v)est une paire orthonormee de R

3(c'est toujours possible de trouver une telle parametrisation).

(b) Montrer que

Aire() =Aire(S) + 2Z

H(w)dudv+O!0(2);

ouH(w) est la moyenne des courbures principales deSenf(w) etw= (u;v).

Reponse.On a

Aire() =Z

U kj0u^j0vkdudv: De plus,j0u^j0v=f0u^f0v+(f0u^N0v) +(N0u^f0v) +O(2):Donc kj0u^j0vk2=kf0u^f0vk2+ 2hf0u^f0v;f0u^N0v+N0u^f0vi+O(2): N

0uetN0vsont dansTpS, donc en utilisant la BON (f0u;f0v), on obtient :

2hf0u^f0v;f0u^N0v+N0u^f0vi= 2(hf0v;N0vi+hf0u^N0ui)

qui est 2TrII(la trace de la seconde forme fondamentale dans la BON) donc 2(k1+k2) = 4H. et donc kj0u^j0vk=kf0u^f0vkp1 + 4H+O(2) qui vaut kf0u^f0vk+ 2H+O(2) (c) Verier cette formule lorsqueSest une partie de plan, puis lorsqueSest la sphere de rayonR. On rappelle que les courbures principales sont 1=R. Reponse.PourSune partie de plan, le vecteurNest constant, donc est un translate deS, donc de m^eme aire. Mais pour une partie de plan,H est nulle, donc la formule est vraie. 6

PourS=S(0;R),Aire(S) = 42R2. =S(0;R+) donc

Aire() = 42(R+)2= 42R2(1 + 2=R+O(2):

Avec la parametrisation orthonrmee, l'aire deUest celle de la sphere, doncR U2H(w)dudv= 42R22=R, ce qui correspond au resultat general. 7quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

[PDF] G eom etrie di erentielle - Examen session 1 - Corrig e

Qu'est-ce que la geotechnique ?

Quels sont les problèmes géotechniques?

Quels sont les différents types de géotechnique?

Quels sont les aspects géotechniques de la partie 5?

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1. Donner une condition susante surFpour queMsoit une sous-variete deRn.

3. Demontrer que pour toutm2Rnetp2Mtels quek!mpk=d(m;M), on a!mp?TpM.

Exercice.Soit

F:R3!R2;

1. Montrer queMest une sous-variete lisse deR3. Quelle est sa dimension?

Reponse.Fest lisse et

2. Montrer queg:=fjMadmet un minimum et un maximum.

3. En utilisant les multiplicateurs de Lagrange, determiner les extrema locaux de

4. En deduire minget maxg.

Corrige.On a

N:U!R3

Partie 1

1. Quelle est la regularite deg?

2. Pour tout (w;t;h;k)2URR2R, determinerdg(w;t)(h;k). On ne cher-

Reponse.On adg(w;t) =df(w) +dtN(w) +tdN(w);donc

3. Montrer que pour toutw2U,dg(w;0) est une application lineaire inversible.

4. (a) Montrer que pour toutw2U, il existe >0, un voisinageWR3de

8m2W; m=g((m);(m)):

2RsurR2(resp.R). PuisquegestC1et ces projections lisses,et

80< < 0; diam

00=w0ett0=t00.

Dans toute la suite, on pose

0=gB]2

5. Pour toutw2Uavecp=f(w), montrer qu'il exister >0 telle que pour tout

6. Soitp2UetBpla boule denie dans la question 5.

Il existe donct02R,

7. Soitw2U,m2Bp,s2Ret

Mais par aillerus

Reponse.On a

N((m)) deenm, doncd(m)(N((m))) = 1:

8. (a) En deduire la valeur ded(m)(N((m)):

9. Soitw2U,Bpla boule denie a la question 5. Pour tout >0, soit

En eet,m+N((m))2Bet par la question 6,

On a:S! f;g. De plus

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10. Pour tout >0, soit =g(U fg).

8w2U; j(w) =g(w;):

3(c'est toujours possible de trouver une telle parametrisation).

Aire() =Aire(S) + 2Z

H(w)dudv+O!0(2);

Reponse.On a

Aire() =Z

0uetN0vsont dansTpS, donc en utilisant la BON (f0u;f0v), on obtient :

2hf0u^f0v;f0u^N0v+N0u^f0vi= 2(hf0v;N0vi+hf0u^N0ui)

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