Fonction logarithme neperien PDF 1.5 corrigés exercices .

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

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Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur

3. En déduire les variations de la fonction f sur ]0; ?[. Limites et logarithme. Déterminer les limites suivantes et indiquer les équations

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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES - Meabilis

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES Exercice n° 1 1) Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : A =ln8 1 ln 16 B = 1 ln16 2 C = 1 1 ln 2 4 D = 2) Exprimez en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants : a =ln24 b =ln144 8 ln 9 c = 3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : 1 2ln3 ln2 ln 2 A = + + 1

Calaméo - Declic Tle option maths compl

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +?[ Démonstration : Pour tout réel +>0 (ln(+))#= ) >0 3) Limites aux bornes Propriétés : lim "?$ ln(+)=?? et lim "?&8 ln(+)=+? On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

Exercices : Logarithme népérien

Chapitre 7 wicky-math nf Logarithme népérien 3 Au bout de combien de temps 1 g de radium perdra-t-il une masse de 1 mg (la période du radium étant de 1622 ans)? (La masse est proportionnelle au nombre d’atomes ) Exercice 4 Résoudre l’équation l’inéquation ou le système proposé après avoir déterminé l’ensemble de

Fonction logarithme neperien - AlloSchool

(1) la fonction logarithme népérien associe à tout nombre x > 0 (positif strict) le nombre noté lnx appelé logarithme népérien de x (2) quels que soient les nombres a > 0 b > 0 et l’entier naturel n on a : ? ln(1) = 0 ? ln(e) = 1 ? ln(ab) = lna+lnb ? ln(an) = nlna ? ln(? a) = 1 2 ln(a) ?

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien Corrigés d’exercices Version du 25/01/2015 Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/11 M Lichtenberg Classe de Terminale S 2013-2014 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 164 : N°21 22 24 Page 169 : N°65 Page 165 : N°39 42 Page 170 : N°72 Page 166 : N°51 Page 173 : N°86

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Comment calculer la fonction logarithme népérien ?

Tableau de signes x 0 1 +? Propriété La fonction logarithme népérien est concave sur ]0 ; +? [ . m ln ( x ) – 0 + Dé o Démonstration 1 1 Pour tout réel x > 0 , ln? ( x ) = , donc ln?? ( x ) = ? 2 < 0 .

Qu'est-ce que le logarithme népérien ?

L'inverse de cette fonction : y = e x est le logarithme à base e. ln (x) se lit "logarithme népérien" (ou "à base e") de x. Cette définition est tout-à-fait semblable à la précédente pour le log décimal. Cette fonction ln (x) joue un grand rôle en mathématiques et en physique. Mais ce n'est pas le moment d'en parler.

Comment calculer le logarithme d’un réel négatif ?

Remarque • Par abus de langage, on parle souvent de « fonction logarithme » au Le logarithme d’un réel négatif lieu de « fonction logarithme népérien ». n’est pas défini, mais le logarithme d’un réel strictement positif peut Valeurs particulières être négatif. e 0 = 1 et e1 = e , on en déduit que ln (1 ) = 0 et que ln ( e ) = 1.

Comment calculer le logarithme népérien d’un nombre strictement positif ?

Le théorème ci-après montre que le logarithme népérien d’un nombre strictement positif est le logarithme de base e de ce même nombre. 3.12 Identi?cation du logarithme népérien avec le logarithme de base e ?a ? 0+ : ln a = log e a Démonstration Soit a ? 0+ . On peut comparer la formule donnée dans 2.9 et le résultat du calcul ci-dessous.

fonction logarithme népérien

Table des matières

1 présentation et propriétés algébriques

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

1.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2

1.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6

2 dérivation

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 12

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12

2.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 13

3 équations et Inéquations avec logarithme népérien

.19

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

3.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 20

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 21

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 22

3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 25

4 études de fonctions avec logarithme népérien

.34

4.1 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 34

4.2 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 36

5 logarithme d"une fonction :f=lnu

5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 41

5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 42

5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 43

5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 44

6 évaluations

6.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 corrigé devoir maison 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50

6.4 corrigé devoir maison 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 56

6.6 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 58

6.7 évaluation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60

6.8 corrigé évaluation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 61

6.9 évaluation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 63

6.10 corrigé évaluation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 65

6.11 corrigé évaluation 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 67

1 présentation et propriétés algébriques

1.1 activité

la fonction logarithme népérien notéelnassocie à tout nombrexde son domaine de définition ( à préciser

) un nombre notélnx( le logarithme népérien dex) donné par la calculatrice ou une table de logarithmes.

cette fonction est telle que, quels que soient les nombresxetyde son domaine de définition on a : ln(xy) =lnx+lny cette fonction transforme donc un produit de deux nombres enune somme. A. donner si possible et grâce à la calculatrice, les valeursdeln(-2),ln0,ln1,ln2,ln1

2,ln1000000

puis, proposer à priori un domaine de définition pour la fonctionln. B. quels que soient les nombresx >0ety >0la fonction logarithme est telle que :ln(xy) =lnx+lny

1. prendrex= 1ety= 1et trouver logiquement la valeur deln1

2. prendrex=y=aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(a2)

3. prendrex=a2ety=aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(a3)

4. généraliser àln(an)oùnest un entier eta >0

5. prendrex=y=⎷

a=a12oùa >0et en déduire une autre écriture deln(⎷a)

6. prendrex=aety=1

aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(1a)

7. prendrex=aety=1

boùa >0etb >0, en déduire une autre écriture deln(ab)

8. a t-onln(a+b)etlna+lnbégaux pour toutes valeurs dea >0etb >0?

( prendre des valeurs simples deaetbpour voir )

9. a t-onln(a-b)etlna-lnbégaux pour toutes valeurs dea >0eta > b >0?

( prendre des valeurs simples deaetbpour voir )

10. déterminer à10-3près à la calculatrice un nombre e tel quelne= 1

1.2 corrigé activité

A. à la calculatrice :

ln(-2)n"existe pas (pas de logarithme pour un nombre négatif strict) ln0n"existe pas (pas de logarithme pour un nombre nul) ln1 = 0(annulation en 0) ln2?0,69 ln 1

2? -0,69

ln1000000?13,8(croissante très lente) à priori, le domaine de définition pour la fonctionlnest]0 ; +∞[=R+?. B. quels que soient les nombres x>0 et y>0 la fonction logarithme est telle que :ln(xy) =lnx+lny

1. pour x = 1 et y = 1 on a :

d"une part :ln(1×1) =ln1 +ln1 = 2ln1 d"autre part :ln(1×1) =ln1 donc2ln1 =ln1 donc2ln1-ln1 = 0 doncln1 = 0

2. pourx=y=aoù a>0 on a :

ln(a2) =ln(a×a) =lna+lna= 2lna

3. avecx=a2ety=aoù a>0, on a :

ln(a3) =ln(a2×a) =ln(a2) +ln(a) = 2lna+lna= 3lna

4.ln(an) =nlnaoù n est un entier et a>0

5. avecx=y=⎷a=a12où a>0 on a :

lna=ln(⎷ a×⎷a) =ln(⎷a) +ln(⎷a) = 2ln(⎷a) donc ln(⎷ a) =12lna

6. avecx=aety=1

aoùa >0 d"une part :ln(a×1 a) =ln(aa) =ln1 = 0 d"autre part :ln(a×1 a) =lna+ln(1a) donc :lna+ln(1 a) = 0 doncln(1 a) =-lna

7. avecx=aety=1

boùa >0etb >0: d"une part :ln(a×1 b) =ln(ab) d"autre part :ln(a×1 b) =ln(a) +ln(1b) =lna-lnb donc :ln(a b) =lna-lnb

8.ln(a+b)etlna+lnbne sont pas égaux pour toutes valeurs de a>0 et b>0

car poura= 1etb= 1on a : ln(a+b) =ln2d"autre partlna+lnb=ln1 +ln1 = 0 + 0 = 0etln2?= 0

9.ln(a-b)etlna-lnbne sont pas égaux pour toutes valeurs de a>0 et a>b>0

car poura= 2etb= 1on a : ln(a-b) =ln1 = 0d"autre partlna-lnb=ln2-ln1 =ln2-0 =ln2etln2?= 0

10. à la calculatrice, on a :

ln2,718?0,999etln2,719?1,0002 donc on peut prendree?2,718à10-3près tel que lne = 1

1.3 à retenir

définition 1 :(propriétés algébriques) (1) la fonction logarithme népérien associe à tout nombrex >0(positif strict) le nombre notélnxappelé logarithme népérien de x (2) quels que soient les nombresa >0,b >0et l"entier naturelnon a : ???ln(1) = 0????ln(e) = 1????ln(ab) =lna+lnb????ln(an) =nlna ???ln(⎷a) =12ln(a)????ln(ab) =lna-lnb????ln(1a) =-lna

Remarques

(a) il n"y a pas de formule générale pourln(a+b)ouln(a-b) c"est à dire : il existe des nombresaetbtels queln(a+b)?=lna+lnb en effet poura= 1etb= 1:ln(1 + 1) =ln2alors queln1 +ln1 = 0. il existe des nombresaetbtels queln(a-b)?=lna-lnb en effet poura= 2etb= 1:ln(2-1) =ln1 = 0alors queln2-ln1 =ln2?= 0.

1.4 exercices

exercice 1 : simplifier au maximum (a) A =ln(ab) +ln(a b)-ln(a2) +lne (b) B =ln(1 a) +ln(a4)-ln(a3) +ln1 (c) C =ln(a+b) +ln(a-b)-ln(a2-b2) (d) D =ln(e2) + 2ln(⎷ e)-ln(1e) +ln(2e) +ln(e2)-4 exercice 2 : écrire sous la forme d"une combinaison linéaire de logarithmes de nombres entiers premiers (a) A =ln(3×52 27)
(b) B =ln(25⎷ 5 9) (c) C =ln(2⎷ 3

3⎷2)

exercice 3 :

écrire sous la forme d"un seul logarithme

(a) A=2ln3-ln5 (b) B =3ln10 +ln0,08-5ln2 (c) C = 1

2ln4-3ln2

(d) D =2ln5-3ln2 +1

2ln100

exercice 4 : donner l"ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes (a)A(x) = (2x-1)ln(x+ 1) (b)B(x) = 5x-ln(4-x) (c)f(x) =ln(x2+ 2x) (d)f(x) =ln(x+ 2 x)

1.5 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

A =ln(ab) +ln(ab)-ln(a2) +lne

A =lna+lnb+lna-lnb-2lna+ 1

A =? ???0

B =-lna+ 4lna-3lna+ 0

B =? ???0

C =ln(a+b) +ln(a-b)-ln(a2-b2)

C =ln[(a+b)(a-b)]-ln(a2-b2)

C =ln[a2-b2]-ln(a2-b2)

C =? ???0

D =ln(e2) + 2ln(⎷

e)-ln(1e) +ln(2e) +ln(e2)-4

D =2lne+ 2×1

2lne-(-lne) +ln2-lne+lne-ln2-4

D =2×1 + 1 + 1-4 =?

???0 corrigé exercice 2 : écrire sous la forme d"une combinaison linéaire de logarithmes de nombre entiers premiers (a)ln(3×52

27) =ln(3×52)-ln27 =ln3 +ln(52)-ln(33) =ln3 + 2ln5-3ln3 =-2ln3 + 2ln5

(b)ln(25⎷ 5

9) =ln(25⎷5)-ln9 =ln25+ln(⎷5)-ln(32) =ln(52)+12ln5-2ln3 = 2ln5+0,5ln5-2ln3

= 2,5ln5-2ln3 (c)ln(2⎷ 3

3⎷2) =ln(2⎷3)-ln(3⎷2) =ln2 +ln(⎷3)-(ln3 +ln(⎷2))

=ln2 +1

2ln3-ln3-12ln2 = 0,5ln2-0,5ln3

corrigé exercice 3 :

écrire sous la forme d"un seul logarithme

(a)2ln3-ln5 =ln(32)-ln5 =ln9-ln5 =ln(9 5) (b)3ln10+ln0,08-5ln2 =ln(103)+ln0,08-ln(25) =ln1000+ln0,08-ln32 =ln(1000×0,08)-ln32 =ln80-ln32 =ln(80

32) =ln(4016) =ln(52)

2ln4-3ln2 =ln(41

2)-ln(23) =ln(⎷4)-ln8 =ln2-ln8 =ln(28) =ln(14)

(d)2ln5-3ln2 +1

2ln100 =ln(52)-ln(23) +ln(⎷100) =ln25-ln8 +ln10 =ln(258) +ln10

=ln(25

8×10) =ln(2508) =ln(1254)

corrigé exercice 4 : donner l"ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes (a)A(x) = (2x-1)ln(x+ 1) ln(x+ 1)n"existe que six+ 1>0 or :x+ 1>0??x >-1 donc :DA=]-1 ; +∞[ (b)B(x) = 5x-ln(4-x) ln(4-x)n"existe que si4-x >0 or :4-x >0??4> x donc :DB=]- ∞; 4[ (c)f(x) =ln(x2+ 2x) ln(x2+ 2x)n"existe que six2+ 2x >0 il suffit d"étudier le signe dex2+ 2xqui est un trinôme de la formeax2+bx+cavecc= 0 annulations : (Δnon nécessaire, on metxen facteur) x

2+ 2x= 0??x(x+ 2) = 0??x= 0oux=-2

signe :

x-∞-2 0+∞ x2+ 2x+ 0 - 0 + conclusion :DB=]- ∞;-2[?]0 ; +∞[ (d)f(x) =ln(x+ 2 x) ln(x+ 2 x)n"existe que six+ 2x>0 il suffit d"étudier le signe de x+ 2 xqui est une fraction rationnelle x-∞-2 0+∞annulations x- | - 0 +x= 0 x+ 2- 0 + | +x+ 2 = 0??x=-2 x+ 2 x+ 0 - || + conclusion :Df=]- ∞;-2[?]0 ; +∞[

2 dérivation

2.1 activité

A. voici une partie de la courbe de la fonction logarithme népérienf(x) =lnx. sont aussi représentées les droites tangentesD1enx= 1, D2enx= 2, D3enx= 3etD4enx= 4. de même que les droitesΔ1,Δ2,Δ3etΔ4respectivement parallèles àD1,D2,D3etD4. 012 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 8 9xy

D1D2D3D4

C fΔ 1 2 3 4

1. rappeler ce que représente graphiquement le nombref?(1)et déterminer sa valeur en détaillant le calcul.

2. compléter le tableau de valeurs suivant grâce au graphique.

x1234 f?(x) calculs :

3. conjecturer alors une formule acceptable :f?(x) = (lnx)?=...

B. Etude des variations

1. A partir du signe de la dérivée, déterminer le sens de variation de f pour x>0

2. Donner un tableau de variation de f pour x > 0 signe de f"(x) compris.

C. représentation graphique

1. Compléter le tableau de valeurs à 0,1 près

x0,250,511,52345678 lnx0,41,11,61,81,92,1

2. Compléter le graphique

012 -1 -2 -3quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] Fonction logarithme neperien 1.5 corrigés exercices .

Comment calculer la fonction logarithme népérien ?

Qu'est-ce que le logarithme népérien ?

Comment calculer le logarithme d’un réel négatif ?

Comment calculer le logarithme népérien d’un nombre strictement positif ?

Table des matières

1 présentation et propriétés algébriques

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

1.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2

1.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6

2 dérivation

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 12

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12

2.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 13

3 équations et Inéquations avec logarithme népérien

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

3.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 20

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 21

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 22

3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 25

4 études de fonctions avec logarithme népérien

4.1 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 34

4.2 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 36

5 logarithme d"une fonction :f=lnu

5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 41

5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 42

5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 43

5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 44

6 évaluations

6.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 corrigé devoir maison 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50

6.4 corrigé devoir maison 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 56

6.6 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 58

6.7 évaluation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60

6.8 corrigé évaluation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 61

6.9 évaluation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 63

6.10 corrigé évaluation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 65

6.11 corrigé évaluation 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 67

1 présentation et propriétés algébriques

1.1 activité

2,ln1000000

1. prendrex= 1ety= 1et trouver logiquement la valeur deln1

2. prendrex=y=aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(a2)

3. prendrex=a2ety=aoùa >0et en déduire une autre écriture deln(a3)

4. généraliser àln(an)oùnest un entier eta >0

5. prendrex=y=⎷

6. prendrex=aety=1

7. prendrex=aety=1

8. a t-onln(a+b)etlna+lnbégaux pour toutes valeurs dea >0etb >0?

9. a t-onln(a-b)etlna-lnbégaux pour toutes valeurs dea >0eta > b >0?

10. déterminer à10-3près à la calculatrice un nombre e tel quelne= 1

1.2 corrigé activité

A. à la calculatrice :

2? -0,69

1. pour x = 1 et y = 1 on a :

2. pourx=y=aoù a>0 on a :

3. avecx=a2ety=aoù a>0, on a :

4.ln(an) =nlnaoù n est un entier et a>0

5. avecx=y=⎷a=a12où a>0 on a :

6. avecx=aety=1

7. avecx=aety=1

8.ln(a+b)etlna+lnbne sont pas égaux pour toutes valeurs de a>0 et b>0

9.ln(a-b)etlna-lnbne sont pas égaux pour toutes valeurs de a>0 et a>b>0

10. à la calculatrice, on a :

1.3 à retenir

Remarques

1.4 exercices

3⎷2)

écrire sous la forme d"un seul logarithme

2ln4-3ln2

2ln100

1.5 corrigés exercices

A =ln(ab) +ln(ab)-ln(a2) +lne

A =lna+lnb+lna-lnb-2lna+ 1

B =-lna+ 4lna-3lna+ 0

signe :