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EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE
M2IF Evry
Monique Jeanblanc
Universite d'EVRY
Mars 2009
2Contents
1 Rappels7
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.6 Changement de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.7 Algebre beta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142 Mouvement Brownien 15
2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.3 Brownien Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.8.1 Partie I : Resultats preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263 Integrale d'It^o29
3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373.5 Brownien geometrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
4CONTENTS
4 Exemples45
4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
464.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
494.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
505 Equations dierentielles stochastiques 51
5.1 Equation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
555.3 Autres equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
555.4 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
565.5 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
576 Girsanov59
6.1 Resultats elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
596.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
656.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
666.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
687 Complements75
7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
757.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
767.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
787.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
797.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
807.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
817.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
828 Processus a sauts 85
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
858.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
868.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
878.4 Temps de Defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
888.5 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
881 Rappels, Corriges 91
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
911.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92CONTENTS5
1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
941.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
961.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
971.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
981.7 Algebre beta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
981.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
982 Mouvement Brownien, Corriges 101
2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1012.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1052.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1072.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1072.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1092.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1092.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1113 Integrale d'It^o, Corriges 113
3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1133.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1143.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1183.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1183.5 Brownien geometrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1193.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1223.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1224 Exemples, Corriges 125
4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1254.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1264.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1274.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1275 Equations dierentielles stochastiques, Corriges 129
5.1 Equation Lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1295.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1325.3 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1325.4 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1346 Girsanov, Corriges 135
6.1 Resultats elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1356.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1356.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1366.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1386Rappels
6.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1386.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1397 Complements, Corriges 141
7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1417.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1417.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1427.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1427.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1437.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1447.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1447.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1458 Sauts, Corriges.149
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1498.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1508.3 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152Chapter 1
Rappels
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