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Université de Liège

Faculté des Sciences

Institut de Mathématique

Processus de Poisson

Année académique 2006-2007Mémoire présenté parChristel Ruweten vue de l"obtention du grade de licenciée en

Sciences Mathématiques

Introduction

Il existe plusieurs types de processus de Poisson. Dans ce mémoire,ce sont les processus "temporels" qui seront abordés, mais il existe également des processus de Poisson dans le plan (comme la projection sur un plan de la répartition des étoiles dans le ciel) ou dans d"autres espaces. En langage non mathématique, un processus de Poisson dans le temps est le processus

qui est souvent le mieux adapté pour expliquer un processus "d"arrivées", ce dernier mot étant

pris au sens large. En effet, une arrivée peut être une panne se produisant sur une machine,

un coup de téléphone arrivant à un standard, un client accédant à un guichet, .... Comme

nous le verrons dans la suite, les processus de Poisson temporels sesubdivisent en plusieurs types. La première partie de ce travail reprend les aspects théoriques desdifférents processus de Poisson temporels. Après un premier chapitre ayant pour but d"asseoir les principes probabi-

listes et statistiques utiles tout au long de ce travail, le deuxième chapitre consiste à définir de

façon rigoureuse le plus connu et le plus simple d"entre eux, appelé ici processus de Poisson de

base, ainsi que d"en chercher les caractéristiques principales. Cette partie du travail était sans

doute la plus simple car beaucoup d"ouvrages traitent ce sujet en profondeur. Cependant, pour

adhérer encore plus à la réalité, il ne faut pas s"arrêter là et il faut étudier les généralisations

possibles de ce processus. On parle alors de processus de Poisson non-homogène ou de pro- cessus de Poisson composé. Le troisième chapitre est donc consacré au processus de Poisson

non-homogène permettant de modéliser des situations où l"intensitédes occurrences n"est pas

constante au cours du temps. Par un changement d"échelle, ce processus se ramène à un pro- cessus de Poisson de base. Le quatrième chapitre permet lui de leverl"hypothèse selon laquelle

deux arrivées ne peuvent se produire en même temps en considérant le processus de Poisson dit

composé. Il cache en fait un processus de Poisson de base. Leur lien avec le processus de base explique pourquoi ces deux processus ne sont souvent que cités dans la littérature. Comme le

but de ce mémoire était de comparer ces trois processus entre eux, il ne suffisait pas de donner

les relations les liant. La première difficulté a donc consisté à trouver des moyens pour adapter

les propriétés d"un processus de Poisson de base à ces généralisations. Dans certains cas, cela

n"a malheureusement pas été possible. Le cinquième chapitre aborde quant à lui le cas de la

superposition de plusieurs processus de Poisson et de l"amincissement d"un tel processus. Commence alors la seconde et dernière partie. Elle est consacrée à l"application sur des

exemples concrets de la théorie développée dans la première partie.Cette seconde partie a

été le point de départ de nouvelles embûches. La première est venue du fait que les processus

stochastiques en général, et donc les processus de Poisson, sontétudiés principalement par

des probabilistes qui se soucient parfois peu de la mise en pratique. Cela étant, dans les

références les plus populaires dans ce domaine, les méthodes de simulations et de tests sont

i ii

peu développées. Pour les besoins de cette partie, il a donc été nécessaire de trouver des

techniques statistiques utilisables dans le contexte et de les comparer afin de voir leur efficacité

respective. La seconde difficulté n"était pas inhérente au sujet des processus de Poisson mais il

était indispensable de l"aborder quand même. Il s"agit de la problématique liée à l"estimation

des paramètres lors d"un test d"ajustement de Kolmogorov-Smirnov. Par souci de clarté, ce point est abordé dans le premier chapitre avec les autres notions liées indirectement aux

processus de Poisson. Enfin, le dernier problème fut la recherche des données à analyser. Il est

habituellement considéré acquis que les arrivées à la poste sont poissoniennes. C"est un exemple

parmi tant d"autres qu"il serait intéressant d"analyser afin de contredire ou de confirmer ces a

priori bien connus. Les données utilisées sont des données réelles (non simulées) qu"il a fallu

récolter "à la main".

Tout au long de ce travail, l"utilisation d"un logiciel statistique a été nécessaire. C"est le

logiciel R qui a été choisi pour ses facilités de programmation. Je tiens tout d"abord à remercier toutes celles et ceux qui m"ont aidé dans la réalisation de ce mémoire, que ce soit en me permettant d"utiliser leurs données pour les analyses, en me procurant un endroit calme où travailler ou encore en me donnant de nombreux conseils.Des conseils, j"en ai reçu beaucoup de ma promotrice,

Madame Haesbroeck, que je remercie vivement. Ses

nombreuses suggestions et questions m"ont permis de mener à bien ce travail. Je la remercie également pour la découverte de cette théorie ainsi que pour sa disponibilité tout au long de l"année.Enfin, je remercie toute ma famille pour leur soutien au long de mes études, mes camarades pour les bons moments passés ensemble et Olivier pour sa patience et ses encouragements.

Table des matières1 Notions de base1

1.1 Fonctions génératrices et caractéristique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

1.2 Quelques lois de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.3 Tests d"ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14

1.4 Introduction aux processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 16

2 Processus de Poisson de base19

2.1 Distribution des marges finies du processus . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

2.2 Définition alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Temps d"inter-arrivées et temps d"occurrence . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

2.4 Distributions tronquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34

3 Processus de Poisson non homogène35

3.1 Distribution des marges finies du processus . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 36

3.2 Temps d"inter-arrivées et temps d"occurrence . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43

3.3 Lien avec le processus de Poisson de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 48

4 Processus de Poisson composé51

4.1 Distribution des marges finies du processus . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51

4.2 Temps d"inter-arrivées et temps d"occurrence . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 59

5 Autres processus de Poisson61

5.1 Amincissement d"un processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61

5.2 Superposition de processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 67

6 Processus de Poisson en pratique73

6.1 Processus de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73

6.1.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1.3 Intervalle de confiance pour le paramètre d"intensitéν. . . . . . . . . . 75

6.1.4 Comparaison des intensités de deux processus de Poisson . . . .. . . . . 76

6.2 Processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 76

6.2.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Processus de Poisson non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 77

6.3.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

TABLE DES MATIÈRESv

6.3.3 Estimation de la fonction moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Applications84

7.1 Données provenant de la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 84

7.2 Données observées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87

A Logiciel R96

Bibliographie105

Chapitre 1Notions de base

Ce premier chapitre a pour but de présenter brièvement les différents concepts de base relatifs aux probabilités ainsi qu"aux processus stochastiques quiseront nécessaires dans la suite. Malgré que cela ne soit pas en lien direct avec le sujet de ce travail, une section est également consacrée aux tests d"ajustement. Pour les applications abordées dans le chapitre

7, il a été très utile d"étudier les tests qui sont le plus souvent employés mais aussi leurs

inconvénients afin d"essayer de les palier. Pour plus de précision ou d"information, il est conseillé

de consulter les ouvrages référenciés. En outre, il sera supposéque les fonctions de densité

abordées sont toujours bien définies et continues.

1.1 Fonctions génératrices et caractéristique

Ces fonctions sont très importantes car elles ont la particularité decaractériser complè-

tement la variable aléatoire à laquelle elles se rapportent. En d"autrestermes, connaître la

fonction génératrice ou la fonction caractéristique d"une variable aléatoire est équivalent à

connaître sa distribution. Commençons alors par la plus simple d"entreelles. Définition 1.1.SoitXune variable aléatoire discrète ne prenant que des valeurs entières positives ou nulles. Lafonction génératrice des probabilités de la variableXest la fonction G

X(t) =E[tX] =+∞?

n=0t nIP[X=n](1.1)

définie pour toutt?Rtel que l"espérance existe (c-à-d tel que la série soit absolument conver-

gente). Pourt?[-1,1], cette série converge absolument; la fonction génératrice des probabilités est donc au moins définie dans l"intervalle[-1,1]. Comme son nom l"indique, cette fonction permet de générer les probabilités de la variableX. Proposition 1.1.SoitXune variable aléatoire discrète ne prenant que des valeurs entières positives ou nulles. Pour toutk?N, on a

IP[X=k] =DktGX(t)|t=0

k!.(1.2)

La fonction génératrice des probabilités d"une variable aléatoire discrète à valeurs entières

positives ou nullesXcaractérise donc complètement cette dernière. 1

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE2

Démonstration.Cela a un sens de calculer les dérivées en zéro car cette valeur appartient

à l"ensemble des points où la fonction est définie. Comme la série converge absolument sur

[-1,1]et que le terme général de cette série est dérivable sur cet intervalle, on peut1faire

porter la dérivée sur chacun des termes de la série. En évaluant en zéro les dérivées successives

de la fonction génératrice des probabilités, on obtient alors la loi de probabilité de la variable :

X(0) =IP[X= 0]

D tGX(t)|t=0=+∞? n=1nt n-1IP[X=n]|t=0=IP[X= 1] D ktGX(t)|t=0=+∞? n=kn(n-1)...(n-k+ 1)tn-kIP[X=n]|t=0=k!IP[X=k] pour toutk?N.

Or une variable aléatoire discrète est complètement définie par sa loi de probabilité.?

Cette proposition montre l"importance de considérer des variables àvaleurs entières posi- tives ou nulles car les termes pourn <0ne sont pas dérivables en zéro. Si les moments non-centrés d"ordre inférieur ou égal àpde la variableXexistent, il est

possible de les retrouver en évaluant en1les dérivées successives de la fonction génératrice

des probabilités deX. En effet, en passant la dérivée à l"intérieur de la série, il vient

D tGX(t)|t=1=+∞? n=0nIP[X=n] =E[X](1.3) D

2tGX(t)|t=1=+∞?

n=1n(n-1)IP[X=n] =+∞? n=0n

2IP[X=n]-+∞?

n=0nIP[X=n] =E[X2]-E[X] ce qui donne

E[X2] =D2tGX(t)|t=1+DtGX(t)|t=1(1.4)

D ktGX(t)|t=1=+∞? n=kn(n-1)...(n-k+ 1)IP[X=n] =k? i=1C iE[Xi] en isolant lek-ième moment non-centré, cela donneE[Xk] =?ki=1C? iDitGX(t)|t=1,

Proposition 1.2.La fonction génératrice des probabilités d"une somme de variables indépen-

dantes à valeurs entières non négatives, définie en tout pointten lequel la fonction génératrice

des probabilités de chacune des variables est définie, est leproduit des fonctions génératrices

des probabilités de ces variables.

1cfr F.BASTIN,ANALYSE NON LINEAIRE, Partie 1, Université de Liège, Département de Mathématique,

Année académique 2004-2005.

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE3

Démonstration.SoientX1,X2,...,Xndes variables indépendantes à valeurs entières non né-

gatives etY=X1+X2+...+Xn. Pourtréel tel queE[tXi]existe,?i= 1,2,...,n, G Y(t) =E[tY] =E[tX1tX2...tXn] =E[tX1]E[tX2]...E[tXn] =GX1(t)GX2(t)...GXn(t), où la troisième égalité est due à l"indépendance des variables.? Cette fonction, bien que très utile et facile d"utilisation, a deux inconvénients, à savoir

qu"elle n"est définie que pour des variables discrètes à valeurs positivesou nulles et que, même

pour ces variables, elle n"est pas définie partout. Pour résoudre le premier, on introduit la fonction génératrice des moments.

Définition 1.2.Pour toute variable aléatoireX, discrète ou continue, lafonction généra-

trice des momentsest définie par M

X(t) =E[etX] =?

xetxIP[X=x]siXest discrète?+∞ -∞etxf(x)dxsiXest continue et de densitéf(1.5) pout toutt?Rtel que l"espérance soit définie.

Cette fonction possède des propriétés similaires à la fonction génératrice des probabilités.

Proposition 1.3.Si les moments non-centrés d"ordre inférieur ou égal àpde la variableX

existent, la fonction génératrice des moments deXpermet de les retrouver grâce à la formule

E[Xk] =DktMX(t)|t=0.(1.6)

Démonstration.On va être intéressé par cette fonction au point0, ce qui est légitime puisque

ent= 0, la série est absolument convergente et l"intégrale existe.

Cela étant, l"opérateur de dérivation passe à l"intérieur de la série ou de l"intégrale2, ce qui

donne D D D ktMX(t)|t=0=E?

Dkt(etX)?

t=0=E?

XketX?

t=0=E[Xk] Proposition 1.4.Soient deux variables aléatoiresXetYtelles queMX(t) =MY(t)pour toutten lequel ces expressions existent. Alors ces deux variables ont la même distribution.

Cela étant, la fonction génératrice des moments caractérise complétement la distribution.

Démonstration.Traitons les cas discret et continu séparément.

Cas discret

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] Processus de Poisson Comme nous le verrons dans

Comment calculer le processus de poisson d’intensité?

Qu'est-ce que le processus de Poisson d'intensité?

Quelle est la différence entre le processus de poisson et les autres processus?

Comment calculer l’intensité d’un processus dé-poisson?

Université de Liège

Faculté des Sciences

Institut de Mathématique

Processus de Poisson

Sciences Mathématiques

Introduction

Madame Haesbroeck, que je remercie vivement. Ses

Table des matières1 Notions de base1

1.1 Fonctions génératrices et caractéristique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

1.2 Quelques lois de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.3 Tests d"ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14

1.4 Introduction aux processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 16

2 Processus de Poisson de base19

2.1 Distribution des marges finies du processus . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

2.2 Définition alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Temps d"inter-arrivées et temps d"occurrence . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

2.4 Distributions tronquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34

3 Processus de Poisson non homogène35

3.1 Distribution des marges finies du processus . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 36

3.2 Temps d"inter-arrivées et temps d"occurrence . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43

3.3 Lien avec le processus de Poisson de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 48

4 Processus de Poisson composé51

4.1 Distribution des marges finies du processus . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51

4.2 Temps d"inter-arrivées et temps d"occurrence . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 59

5 Autres processus de Poisson61

5.1 Amincissement d"un processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61

5.2 Superposition de processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 67

6 Processus de Poisson en pratique73

6.1 Processus de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73

6.1.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1.3 Intervalle de confiance pour le paramètre d"intensitéν. . . . . . . . . . 75

6.1.4 Comparaison des intensités de deux processus de Poisson . . . .. . . . . 76

6.2 Processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 76

6.2.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Processus de Poisson non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 77

6.3.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

TABLE DES MATIÈRESv

6.3.3 Estimation de la fonction moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Applications84

7.1 Données provenant de la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 84

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Chapitre 1Notions de base

7, il a été très utile d"étudier les tests qui sont le plus souvent employés mais aussi leurs

1.1 Fonctions génératrices et caractéristique

X(t) =E[tX] =+∞?

IP[X=k] =DktGX(t)|t=0

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE2

X(0) =IP[X= 0]

2tGX(t)|t=1=+∞?

2IP[X=n]-+∞?

E[X2] =D2tGX(t)|t=1+DtGX(t)|t=1(1.4)

1cfr F.BASTIN,ANALYSE NON LINEAIRE, Partie 1, Université de Liège, Département de Mathématique,

Année académique 2004-2005.

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE3

X(t) =E[etX] =?

E[Xk] =DktMX(t)|t=0.(1.6)

Dkt(etX)?

XketX?

Cas discret