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Ondes électromagnétiques

dans le vide

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2 I - Les équations de propagations du champ EM dans le vide :

Soit une distribution (D) de charges localisées autour d"un point O, dont les densités sont

fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs

Er et Br variables dans le

temps qui vont s"établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé

en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en tB∂∂/r et tE∂∂/r

" provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de

Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps ... On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche en proche à la surface de l"eau.

" Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées

partielles par rapport au temps tB∂∂/r et tE∂∂/r est à l"origine du phénomène de propagation du champ EM. » Obtention des équations de propagation du champ EM : On calcule le rotationnel de l"équation de Maxwell-Faraday : ()()BrottErotrotrr Or : ()()EEdivgradErotrotrrrΔ-= Avec tEjBrotetEdiv∂∂+== rrrr 000

0μεμερ, il vient :

tEjtEgrad rrr 000

0μεμερ

Soit, finalement :

tjgradtEE∂∂+=∂∂-Δ rrr 0 022

001μρεμε

De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA : ()()()ErottjrotBBdivgradBrotrotrrrrr ∂+=Δ-=000μεμ

Soit :

∂∂-∂∂+=Δ-tB tjrotBgrad rrr

0000μεμ

Finalement :

jrottBBrrr 022

00μμε-=∂∂-Δ

Dans une région sans charges ni courants (

00rr==jetρ) :

0022
0022
00 3

Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l"on note s(x,y,z,t) l"une des six

coordonnées des champ EM (E x,...., Bx,...), alors : )1(01000222 222
cssoittss C"est l"équation de d"Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIII ème siècle pour modéliser les vibrations d"une

corde tendue. Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de

célérité c (vitesse de la lumière dans le vide). * Résolution de l"équation de d"Alembert : On se propose de résoudre l"équation de d"Alembert unidimensionnelle : 0122

222=∂∂-∂∂

ts vxs De manière symbolique, cette équation peut s"écrire : 0.=) ∂∂+∂∂stxvtxv

On pose :

v xtqet v xtp-=+= et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q : qpvqxq pxp x1 qpqtq ptp t∂

On en déduit :

qtxvetptxv∂ ∂=∂∂+∂∂22 L"équation de d"Alembert prend alors la forme : 0 2 qs pqps

Par conséquent,

)(qqs?=∂∂ et, si f(q) désigne une primitive de ?(q), alors : )()()()(v xtg v xtfpgqfs++-=+= Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : )(),(v xtftxs-=

On constate que :

4 )()(v xxttf v xtfΔ+-Δ+=- pour tout couple Δx et Δt vérifiant : tvxΔ=Δ. Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens positif.

O Instant

t

Instant

t+ΔΔΔΔt )(),(vxtftxs-=+ tvxΔ=Δ x Référence : cabri géomètre (Y.Cortial)

La solution

)(),(v xtftxs+= - représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens négatif. On se propose maintenant de résoudre l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : 5 ),,,(),(0122

2tzyxstrsavects

vs==∂∂-Δr

On vérifie que des fonctions de la forme :

)(),,,(;)(),,,(;)(),,,(,,,v ztftzyxs v ytftzyxs v xtftzyxs zyxmmm===±±±

sont solution de l"équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de

directions de propagations respectives zyxuetuurrr,, dans le sens positif ou négatif).

Des ondes sphériques sont également solution de l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : on

cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien

en coordonnées sphériques, il vient :

01)(122

222=∂∂-∂∂

ts vrsrr

Soit encore :

0)(1)(22

222=∂∂-∂∂rstvrsr

On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l"équation unidimensionnelle de

d"Alembert. Par conséquent : )()(),(v rtg v rtftrrs++-=

Soit :

)(1)(1),(v rtg rv rtf rtrs++-= Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et

convergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de

l"affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.

On choisit, dans la suite :

Pour une onde plane s(z,t), l"équation de d"Alembert devient : 01022
222
22
ts czsouts zsμε Cette fonction s(z,t) peut s"écrire sous la forme : -=cztgcztftzs),(

Compléments (Ondes stationnaires) :

On cherche des solutions de l"équation de d"Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) : )()(),(tgxftxs=

En substituant dans l"équation de d"Alembert :

6 0122

222=∂∂-∂∂

ts cxs

Il vient :

0)()(1)()("2=-tgxfctgxf&&

D"où :

Kcstetgtg

cxfxf===)()(1)(")(12 On obtient ainsi deux équations différentielles : Ktgtg cetKxfxf==)()(1)(")(12

Ou encore :

0)()(0)()("2=-=-tKgctgetxKfxf&&

Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme : tKctKcBeAetg-+=)(

Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit à une

solution transitoire. Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posantquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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