MECA 1901 Mécanique des milieux continus

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Mécanique des milieux continus

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Déterminer la partie sphérique et déviatrice du tenseur des déformations. Exercice 3: On considère une poutre droite d'axe (Oe) de section rectangulaire

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où t correspond au temps et β est une constante arbitraire. Calculer : ○ le tenseur gradient de la transformation. ○ le tenseur des dilatations de Cauchy-

Déformations - Exercice 1

où t correspond au temps et ? est une constante arbitraire. Calculer : ? le tenseur gradient de la transformation. ? le tenseur des dilatations de Cauchy-

MECA 1901 Mécanique des milieux continus -

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INTRODUCT MMI Ex TION A LA MECANIQU MIILIEUX CONTINUS

Corrigés. Exercice A. Soit un tenseur symétrique. Dans la base.

MMC – Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 1/6

7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales. Déduire les contraintes principales. 8) Calculer la contrainte moyenne et déduire

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repère principale le tenseur des contraintes en Do. Exercice 2: On considère en petites déformations le champ de déplacement suivant :.

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9 sept. 2018 3) Calculer le tenseur des petites déformations associé `a cette déformation. 4) Calculer les tenseurs des contraintes ?(a) pour tout point de ? ...

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29 mars 2020 Ce petit recueil d'exercices n'a pas d'autre but que d'aider l'étudiant dans sa compréhension ... Tenseur des déformations de Green Lagrange.

Elasticité MMC_Page de garde

En appliquant la H.P.P. l'écriture des tenseurs des déformations devient plus simple et le Mécanique des milieux continus - Cours et exercices corrigés.

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1 Exercices sur les DEFORMATIONS - ExpoEtude

1 Définir les tenseurs de déformation et de rotation 2 A l’aide de la représentation de Mohr déterminer les déformations et les directions principales 3 Au point P on place une jauge électrique dans une direction 11 0 22 q §· ¨¸ ©¹ Quelle sera la mesure ainsi effectuée ===== CORRECTION ===== 1 Définir les tenseurs de

Exercice 1 - Mines ParisTech

le tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green la dilatation selon les trois axes X 1 X 2 l’angle entre les axes 1 et 2 après transformation le tenseur des déformations de Green-Lagrange la déformation selon les trois axes le tenseur petites déformations -2 -1 0 1 2-2-1 0 1 2 x 1 x 2

EXERCICE 1 - Université de Bejaia-Actualités

5) Les déformations principales doivent être les mêmes d’où = ? s 6) Représentation dans le plan de Mohr 7) Angle entre les deux repère On voit sur le cercle que l’angle est de 90° entre le repère principal et le repère (2) alors que le repère (1) coïncide avec le repère principal

MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES SOLUTIONS DES EXERCICES

1 Prévoir sans calcul la forme des tenseurs de contraintes et de déformations ainsi que les directions principales Termes 12 et 23 nuls car DP en direction 2; termes 13 nuls car il y a indépendance en x3 et une section de normale x3 plane reste plane Dans le repère x1 x2 x3 les tenseurs de contrainte et de déformation

Séance 4 : Calcul pratique des déformations - Free

Comme tous les tenseurs symétriques il existe une base orthonormée dans laquelle le tenseur des déformations linéarisées est diagonal et s’exprime : Les trois termes diagonaux sont appelés les valeurs propres du tenseur et de manière plus mécanique les déformations principales

LES TENSEURS - physique-univfr

Chapitre 1 Les Tenseurs 1 2 2 Addition de deux tenseurs Cette op eration n’a de sens que si l’on ajoute des tenseurs de m^eme type et de m^emes rangs Le r esultat donne un tenseur de m^eme type celui des tenseurs que l’on ajoute 1 2 3 Espace vectoriel de tenseurs

DEFORMATIONS - EXERCICES´ - ensmpfr

– Calculer le tenseur F gradient de la transformation ainsi que son d´eterminant J – Calculer les tenseurs de d´eformation de Green-Lagrange E et d’Euler-Almansi e – Traduire l’hypoth`ese des petites perturbations par une condition sur la constantek Montrerquedanscettehypoth`eselestenseursded´eformation E et e co¨?ncident

EMD 1 : MC 922 : Mécanique de la Rupture & Fatigue M2

a) En comparant les déformations à ruptures b) En comparant les faciès de rupture : - Une rupture fragile présente un aspect brillant à grain - Une rupture ductile présente un aspect mat avec texture fibreuse c) En comparant les énergies de rupture : 2 Décrire le mécanisme de la rupture ductile (schéma à l’appui)

Transformée de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

Chapitre6-TravauxDirigés(Corrigés) Transformée de Fourier Exercice 1 DéterminerlatransforméedeFourierdesfonctionssuivantes: 1 f 1(t) vaut1 sur[ 1;1] et0 partoutailleurs 2 f 2(t) = U(t+1)U (t 1) 3 f 3(t) vaut1 sur[ T;T] et0 partoutailleurs(T>0) 4 f 4(t) = e jtj T (T>0) 5 f 5(t) = sint t 6 f 6(t) = 1 1+t2 Solution 1 1 Onapour!6

Exercice d’application 1 : Les torseurs - Ensah-community

1- [Déterminer les éléments de réduction du torseur ] dont la résultante est le vecteur ??? ; 2- Pour quelle valeur de ? les deux torseurs sont égaux; 3- [En déduire le pas et l’axe central du torseur ] pour cette valeur de ?; 4- Calculer le produit des deux torseurs pour

Composites (TD) 181 - ensmpfr

Les mesures des déformations transverses associées à ces tractions (i e ?2 pour une traction parallèle à x1 et ?3 pour une traction parallèle à x2) donnent accès à J13 et J23 L’usage est de faire apparaître les coefficients de Poisson lors d’une sollicitation uni-axiale suivant la direction i : j ( ) ij i i j ?? ?= ? ? [2]

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Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations

Comment calculer le tenseur des déformations?

Le tenseur des déformations dans le repère {a,b,z} est obtenu par la loi de Hooke. 2) On calcul le tenseur des contraintes dans le repère {x,y,z} et le tenseur des déformation par la loi de Hooke dans le même repère. Le tenseur de déformation dans le repère {a,b,z} est obtenu par rotation.

Quelle est la différence entre un tenseur de déformation et une contrainte ?

Le tenseur de déformation ?indique simplement le déplacement des particules de milieu dans le voisinage de la pointe, tandis que le tenseur de contrainte ?spécifie les forces que les colis du milieu voisins exercent sur l'autre. Par conséquent, ils sont indépendants de la composition et de l'état physique du matériau.

Qu'est-ce que le tenseur déformation?

Ces composantes représentent en fait le tenseur déformation qui est la partie symétrique du tenseur gradient du champ de déplacement. i T E k k U U ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § » ¼ º « ¬ ª ¹ · © § 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 & & HGrad Grad

Quels sont les tenseurs?

3 , des tenseurs suivants : dx dX F F Tenseur gradient dx.dx'dX dX' && C C Tenseur de Cauchy Green Droit dx.dx'dX.dX' 2dX dX' & && & E E Tenseur des déformations de Green Lagrange 2- On se place au point M 0 de coordonnées (1, 1, 0). Soient a & le vecteur représentant la bissectrice du plan &E 1E 2 et b

MECA 1901

Mecanique des milieux continus

Recueil d'exercices

Septembre 2007

Ce recueil d'exercices resolus est une uvre originale protegee par le droit d'auteur. Il a ete compose par Brieux Delsaute avec les contributions de Francois Dupret, Fabrice Loix,

Francois Bioul et Nicolas Van Goethem.

Malgre le soin apporte a sa redaction, il est possible que vous y deceliez l'une ou l'autre erreur. N'hesitez pas a nous en faire part directement parcourrier electronique a l'adresse suivante : delsaute@mema.ucl.ac.be. Les commentaires, critiques et suggestions sont egalement les bienvenus.

Calcul tensoriel

Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 1

Donner la dimension physique et les unites dans le SystemeInternational des grandeurs suivantes. Indiquer egalement l'unite derivee le cas echeant.

1. Distanced

2. Intervalle de temps t

3. Massem

4. Temperature

5. Intensite de couranti

6. SupercieS

7. Vitessev

8. ForceF

9. Quantite de mouvementP10. Moment de quantite de mouvementN

11. PuissanceP

12. EnergieE

13. Masse volumiqueρ

14. Pressionp

15. Contrainte

16. Charge electriqueq

17. Debit-volumeQ

18. Densite de

ux de chaleurq

Exercice 2

Verier la coherence dimensionnelle des equations suivantes.

1.E=mc2

2.p=ρg(h) (pression hydrostatique sous une colonne de

uide de hauteur h) Determiner la dimension physique des constantes physiques intervenant dans les relations sui- vantes.

3.F12=GM1M2

r212(Loi d'attraction gravitationnelle)

4.E=h(Energie d'un photon)

Exercice 3

Indiquer si les expressions suivantes sont correctes.

1.ai+αbi=ci

2.α+bici

3.Tij+aibj

4.Tii+ai

5.Tii+α

6.Tji+αaiaj

7.Tijk+aibjck

8.Tjki+aibjck

9.Tjji+αai

10.Tjjj+α

Exercice 4

Ecrire sous forme matricielle les expressions suivantes.

1.αui

2.uivi

3.aijnj

2 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

4.jinj

5.aijbjk

6.aikbjlclk

7.aikajlTkl

Exercice 5

Calculer les expressions suivantes.

1.ii

2.ijij

3.ijikjk

4.ijjk

5.ijAlik

6.aikajlkl, (aijsont les elements d'une matrice orthogonale quelconque)

7.ijkijk

8.ijkijl

Exercice 6

Verier queijmklm=imjkml=mijmkl=ikjliljk

Exercice 7

Exprimer chacune des operations suivantes en terme d'operations sur les composantes (αetant un scalaire;uetvdes vecteurs). 1.v

2.αv

3.u+v4.uv

5.uv

Exercice 8

Verier les identites suivantes (u,v,a,betcetant des des vecteurs).

1.uv=vu

2.uu=0

3.a(bc) =b(ac)c(ab)

4.a(bc) =b(ca) =c(ab)

Exercice 9

Developper les expressions suivantes (αetant un scalaire;u,vetndes vecteurs;SetTdes tenseurs d'ordre 2) :

1.αv

2.uv 3.vu 4.Tn 5.T:S 3 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 10

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees cylindriques associees.

Exercice 11

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees spheriques associees.

Exercice 12

1. Montrer que la symetrie est une propriete tensorielle, c'est-a-dire que siSij=Sjipour tout

iet toutjdans un repere orthonorme, cette propriete reste vraiedans n'importe quel repere orthonorme xe par rapport au premier.

2. Montrer que l'antisymetrie est une propriete tensorielle.

Exercice 13

1. Montrer qu'un tenseurTijquelconque se decompose de maniere unique en une partie syme-

trique et une partie antisymetrique.

2. SoitSijun tenseur d'ordre deux symetrique,Aijun tenseur d'ordre deux antisymetrique.

Prouver queAijSij= 0.

3. SoitSijun tenseur d'ordre deux symetrique etTij, un tenseur quelconque. Montrer que

T ijSij=TsijSijouTsijrepresente la partie symetrique deTij.

Exercice 14

1. Montrer que la traceTiid'un tenseur quelconqueTijest un scalaire.

2. On denit la partie spherique du tenseurTijcomme etantTsph

ij=1

3Tmmijet sa partie

deviatoire comme etantTdij=TijTsph ij. Montrer que la trace de la partie deviatoireTdijest nulle.

Exercice 15

Montrer que si _ωij=1

2? @v i@xj@vj@xi? et_ i=12ijk@vk@xjalors on a_ i=12ijk_ωkjet _ωij=ijk_ k.

Exercice 16

1. Montrer que

?a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c3??????

=ijkaibjck=a(bc)

Ceci denit le produit mixte des vecteursa,betc.

2. Montrer que

det(Tij) =1

6ijklmnTilTjmTkn

4 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 17

SoientTun tenseur,aetbdes vecteurs,αetdes scalaires invariants. Evaluer les expressions suivantes dans un repere cartesien (O,ei) :

1.?α

2.?a 3.?a 4.?a 5.?T 6.a?a

7. α=?(?α)

8. a=?(?a)

Exercice 18

SoientTun tenseur,aetbdes vecteurs,αetdes scalaires. Verier les identites suivantes :

1.?(α) = (?α)+α(?)

2.?(αa) = (?α)a+α(?a)

3.?(αa) = (?α)a+α(?a)

4.?(ab) =b(?a)a(?b)

5.?(?a) =?(?a)?(?a)

6.?(aa) = 2a(?a) + 2a(?a)

7.?(ab) =a(?b)b(?a) +b(?a)a(?b)

Exercice 19

1. Prouver que siaest un champ vectoriel, on a toujours?(?a) = 0.

2. Prouver que siαest un champ scalaire, on a toujours?(?α) =0.

Exercice 20

Determiner l'expression de l'operateur nabla en coordonnees-composantes cylindriques.

Exercice 21

Developper les expressions suivantes en coordonnees-composantes cylindriques (αscalaire,vvec- teur).

1.?α

2.?v 5 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 22

On donne dans l'espace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme (O,ei). On considere egalement deux autres reperes cartesiens orthonormes : le premier (O?,e?i) est obtenu par une rotation des vecteurs de baseeid'un angle deπ/4 autour dee3, le second (O??,e??i) est obtenu par cette m^eme rotation des vecteurs de base suivie d'une translationb=e1+e2de l'origineO.

1. Changement de coordonnees.

Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque l'on passe du repere (O,ei) aux reperes (O?,e?i) et (O??,e??i). Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque l'on passe des reperes (O?,e?i) et (O??,e??i) au repere (O,ei).

2. (a) Quelles sont, dans les reperes (O?,e?i) et (O??,e??i), les equations du plan dont l'equation

dans le repere (O,ei) estx1+x2= 1. (b) M^eme question pour le champ scalairedayant pour representationd(e)(xi) =x1+x21 dans le repere (O,ei).

3. Transformation de composantes

Ecrire sous forme matricielle la formule de transformationde composantes lorsque l'on passe du repere (O,ei) au repere (O?,e?i). Verier que la matrice calculee possede bien les pro- prietes de matrices de changement de bases orthonormees. Que vaut la matrice de transfor- mation de composantes lorsque l'on passe du repere (O,ei) au repere (O??,e??i)?

4. Quelles sont, dans les reperes (O?,e?i) et (O??,e??i), les composantes du vecteur qui, dans le

repere (O,ei), est (v1,v2,v3) = (x2,x1,0)?

Exercice 23

On considere dans l'espace Euclidien a trois dimensions le champ scalaire de temperatureT(P,t) (Pdesignant un point quelconque de l'espace ettdesignant le temps). On travaille avec les deux reperes (O,ei) et (O?,e?i) denis a l'exercice precedent. Dans le repere (O,ei) le champTa pour representation T (e)(xi,t) =α(x1+x2)2α

9(x1+x2)2

ouαest une constante ayant les unites appropriees. L'expression du champTdans ce repere ne dependant pas du temps, ce champ y est dit "stationnaire".

1. Quelle est la representationT?(e)(x?i,t) du scalaireT(P,t) dans le repere (O?,e?i)? Le champ

Ty est-il stationnaire?

2. Calculer les composantes du gradient deT(P,t), d'une part dans le repere (O,ei) et, d'autre

part, dans le repere (O?,e?i). Montrer que les triplets obtenus dans (O,ei) et dans (O?,e?i) representent un m^eme vecteur.

3. Dans le cas d'un materiau non isotrope, la loi de Fourier reliant le

ux de chaleurqau gradient de temperature?Test q=K?T ouKest le tenseur de conductivite thermique suppose homogene et stationnaire.

Calculer les composantes de la densite de

ux de chaleur dans le repere (O,ei) et dans le repere (O?,e?i) pour [Kij] =K?? 54 0
4 5 0

0 0 1??

LesKijsont les composantes deKdans le repere (O,ei) etKest une constante ayant les unites appropriees. 6 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices Que valent les composantes deK, dans les deux reperes, pour un materiau presentant une conductivite thermique isotropek?

4. Donner les invariants du tenseur symetriqueK.

Exercice 24

On donne dans l'espace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme(O,ei). On considere d'une part le champ (scalaire) de temperatureT(P), ouPdesigne un point quelconque de l'espace. Ce champ est stationnaire dans le repere donne et sa representation y est donnee par : T (e)(xi) =α(x21+x22)x3 les constantesαetayant les dimensions appropriees. D'autre part, on considere le champ (vec- toriel) de vitessev(P) dont la representation dans le repere (O,ei) est : v (e)

1(xi) =Ax1

x21+x22B x2 v (e)

2(xi) =Ax2

x21+x22+B x1 v (e)

3(xi) =C x3

les constantesA,BetCayant les dimensions physiques appropriees.

1. Changement de coordonnees.

Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque l'on passe du systeme de coordonnees cartesien au systeme de coordonnees cylindrique. Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque l'on passe du systeme de coordonnees cylindrique au systeme de coordonnees cartesien.

2. Donner la representationT?(e)(r,,z) du scalaireT(P) dans le systeme de coordonnees cy-

lindrique.

3. Transformation de composantes

Ecrire sous forme matricielle la formule de transformationde composantes lorsque l'on passe de la base cartesienne (ei) a la base locale cylindrique (er,e`,ez). Verier que la matrice calculee possede bien les proprietes de matrices de changement de bases orthonormees.

4. Determiner les composantes (vr,v`,vz) du champ vectorielv(P) dans la base cylindrique.

Exercice 25

Calculer

1. la surface et le volume d'un cylindre circulaire droit, derayonRet de hauteurL.

2. la surface et le volume d'une sphere de rayonR.

Exercice 26

Integrer

1. le champτ=rersur le disque de rayonR.

2. le champτ=re`sur le disque de rayonR.

3. le champτ= cosersur la sphere de rayonR.

7 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Solution exercice 1

On donne successivement la dimension, les unites et l'unite derivee eventuelle.

1. L, m

2. t, s

3. M, kg

4. T, K

5. I, A

6. L 2, m2 7. Lt -1, ms-1

8. MLt

-2, kgms-2, N

9. MLt

-1, kgms-110. ML

2t-1, kg m2s-1

11. ML

2t-3, kg m2s-3, W

12. ML

2t-2, kg m2s-2, J

13. ML

-3, kg m-3

14. ML

-1t-2, kg m-1s-2, Pa

15. ML