[PDF] espaces-de-Hilbert.pdf François DE MARÇAY

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Espaces de Hilbert

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

Dans ce chapitre, on commence par étudier l"espace de Hilbert concret et tangible

2CC1, avant d"introduire le concept général au moyen d"une définition mathématique

abstraite.

1. Espace vectoriel complexe hermitien concretCnen dimension finie

Les espaces vectoriels sont omniprésents en mathématiques : algèbre linéaire; matrices;

déterminants; schémas numériques pour les équations différentielles; et en physique : prin-

cipe de superposition en mécanique quantique; équations différentielles ordinaires; élec-

tromagnétisme. Ce chapitre vise principalement l"étude des espaces vectoriels qui sont de dimensioninfinie. Ils interviennent fréquemment en Analyse. Le corps des scalaires de tous les espaces vectoriels considérés sera toujours supposé égal àRou, le plus souvent, àC. Soit doncEun espace vectoriel surC(ou surR). Les

éléments deEsont desvecteursque l"on peut :

additionner :v+w2Esiv;w2E; multiplier par des scalaires :v2Esi2C(ou2R) etv2E. Définition 1.1.Unenormejj jjsurEest une application à valeurs positives :

E3v7! jjvjj 2[0;1[

satisfaisant : positivité stricte :jjvjj= 0si et seulement siv= 0; invariance par dilatation :jjvjj=jjjjvjjpour tout2C(ou2R) et toutv2E; inégalité triangulaire :jjv+wjj6jjvjj+jjwjjpour tousv;w2E. La positivité stricte exclut que certains vecteurs non nuls puissent avoir une longueur nulle. Ensuite, l"invariance par dilatation est exigible pour des raisons à la fois structu- rales (compatibilité avec la multiplication par des scalaires) et "physiques» (changement

d"unité de mesure). Enfin, l"inégalité triangulaire n"est pas seulement calquée sur la géo-

métrie élémentaire dans le plan, elle exprime surtout une compatibilité du comportement avec l"additionv+w, et aussi, elle jouera un rôle technique crucial en tant que moyen de comparaison dans tous les calculs de majorations qui vont suivre.

Par exemple, pour tout entiern>1, l"espace :

R n=f(x1;x2;:::;xn):xi2Rg 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Franceest canoniquement muni de la norme diteeuclidienne:

jj(x1;x2;:::;xn)jj:=qx

21+x22++x2n:

On peut aussi munirRnd"autres normes (vérifier que les trois axiomes sont satisfaits) : maxjx1j;:::;jxnjou encore :jx1j++jxnj:x 2 x 1 0 11 x 2 x 1 0 11 x 2 x 1 0 11 fjx1j+jx2j<1g qx

21+x22<1max(jx1j;jx2j)<1

En fait, sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, toutes les normes sontéquivalentesentre elles au sens suivant.

Proposition 1.2.

[Équi valencedes normes en dimension finie] Soientjj jj1etjj jj2deux normes quelconques sur un espace vectoriel réel ou complexeE. Si la dimension deEest finie : dimE <1; alors il existe deux constantes0< c6C <1telles que : cjjvjj26jjvjj16Cjjvjj2; pour tout vecteurv2E. Géométriquement parlant, les boules unitésjjvjj161etjjvjj261pour les deux normes deviennent contenues l"une dans l"autre après une dilatation (contraction) appro- priée : disque dans un carré; carré dans un disque. Cet énoncé exprime que, de toute majoration : jjvjj16quelque chose; obtenue avec la première norme, on peut déduire une majoration analogue : jjvjj26même chose à la constanteCprès; avec la deuxième norme, etvice-versa. Démonstration.On traite le cas d"unR-espace vectorielE. Sin:=dimE>0, on sait que E=Rn. Puisque le casn= 0est trivial, supposonsn>1.

Fixons alors une norme de référence surRn:

jxj:=maxjx1j;:::;jxnj; laquelle le munit de sa topologie standard. Il suffit de faire voir que toute norme quelconque

jjxjjsurRnest équivalente àjxj, puisque "être des normes équivalentes» est une relation

d"équivalence (exercice). Si(e1;:::;en)est la base canonique deRn, en termes de laquelle tout vecteurx= (x1;:::;xn)s"écritx=x1e1++xnen, il vient par inégalité triangulaire : jjxjj6jx1jjje1jj++jxnjjjenjj

6Cjxj;

1.Espace vectoriel complexe hermitien concretCnen dimension finie 3où la constanteC:=P

ijjeijjest finie. Il reste à trouver0< c <1telle quecjxj6jjxjj pour toutx. Observons que l"inégalité valable pour tousx;y2Rn:xy6Cxy; montre la lipschitzianité, donc la continuité de l"application : R n3z7! jjzjj 2R+: Soit maintenant la 'sphère" unité pour la norme de référence : S jj:=x2Rn:jxj= 1; qui est frontière de l"hypercube compact[1;1]n. Étant image inverse du ferméf1g, cette 'sphère"Sjjest fermée, donc compacte. Par conséquent, la restriction àSjjde l"applicationcontinuez7! jjzjjy atteint son minimum : c:=minjxj=1jjxjj=jjxjj; en au moins un certain pointx2Sjj. Orx6= 0n"estpasl"origine deRn- puisque062Sjj-, doncjjxjj>0, d"où nous déduisons que l"inégalité visée est au moins vraie surSjj: c1 =cjxj6jjxjj(8jxj=1)

Pour unx2Rnnf0gnon nul quelconque, en appliquant cette inégalité au vecteurxjxjqui appartient àSjj, il vient :

cxjxj6xjxj; d"oùcjxj6jjxjjaprès pulvérisation des dénominateurs. LorsqueEest unC-espace vectoriel, avecn:=dimCE, on se ramène àR2n. Quand on travaille en dimension finien>1sur le corps des nombres complexesC= R+p1Rau lieu deR, il faut remplacer la norme euclidienne ci-dessus par la norme dite hermitienne: jj(z1;z2;:::;zn)jj:=q jz1j2+jz2j2++jznj2; où l"on a bien entendu : jzkj2:=x2k+y2k(k=1n); si chaque nombre complexezkest décomposé en partie réelle et partie imaginaire : z k=xk+p1yk(k=1n): Contrairement à ce qui va se passer en dimension infinie pourC1, dansCn, la sommePn i=1jzij2converge toujours, et de plus, on peut définir un produit scalaire dithermitien par la formule : hz;wi:=z1w 1+z2w

2++znw

n; où pour toutwk=uk+p1vk, le nombre complexe conjugué est :w k:=ukp1vk(k=1n); tant : jjzjj=phz; zi: On constate aisément que ce produit hermitien satisfait les propriétés suivantes.

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceLemme1.3.[Pr opriétésduproduithermitiensurCn]Pourtousz;z0;z00;w;w0;w002Cn

et tous;2C, on a : (i)hw;zi=hz;wi; (ii)hz0+z00;wi=hz0;wi+hz00;wi, hz; w0+w00i=hz;w0i+hz;w00i; (iii)hz;wi=hz;wi, hz;wi=hz;wi; (iv)hz;zi 2R+; (v)hz;zi= 0 =)z= 0.

En renversant les rôles, ces cinq propriétés élémentaires peuvent aussi être envisagées

comme cinq axiomes définissant la notion de produit hermitien abstrait sur un espace vec- toriel complexe de dimension finie. Dans le cas d"unR-espace vectoriel, les barres de conjugaison disparaissent.

Maintenant, dehors la dimension finie!

2. Espace hermitien concret`2CC1en dimension infinie

infinie, i.e. qui ne sont pas de dimension finie, car ils seront très utiles en Analyse où l"on

regarde des espaces de fonctions. Contrairement à la dimension finie, sur les espaces vectoriels de dimensioninfinie, toutes les normes ne sontpaséquivalentes. Exemple 2.1.SoitC0:=C0([0;1];R)l"espace des fonctions continues sur l"intervalle [0;1]R, muni des deux normes : jjfjjL1=Z 1 0 jf(x)jdxetjjfjjC0:=max06x61jf(x)j: Bien qu"une première inégalité soit vraie et souvent utile : jjfjjL1=Z 1 0 jf(x)jdx6Z 1 0 maxjfjdx= 1 jjfjjC0; nous affirmons qu"il n"existe pas de constante0< C <1réalisant l"autre inégalité nécessaire à une équivalence : jjfjjC06CjjfjjL1(8f2C0):0 11nn

2.Espace hermitien concret`2CC1en dimension infinie 5En effet, pourn>1entier, soit la suite de fonctions continues positives :

f n(x) :=(n2x+nlorsque06x61n

0lorsque1n

6x61:

Alors :

fnC0=n! 1; tandis que par la formule donnant l"aire d"un triangle :fnL1=12 1n n=12 donc en particulier, pour cesfn2C0, une telle constante0< C <1n"existe pas. Les espaces vectoriels normés de dimension infinie les plus 'simples" sont ceux qu"on appelleespaces de Hilbert, car leur norme dérive d"un produit scalaire entre vecteurs et le produit scalaire permet de faire beaucoup de géométrie comme en dimension finie, avec unenotion naturelled"orthogonalité,des projections orthogonales,desbases orthonormées, un bon comportement de la dualité,etc.En un certain sens, les espaces de Hilbert sont les espaces de dimension infinie les plus simples possibles, car ils sont dotés de la structure géométrique la plus riche. L"espaceCnde dimension quelconquen>1sur les nombres complexes est de di- mension finie, mais c"est en partant de lui que nous allons nous diriger vers la dimension infinie. Le modèle le plus simple d"un espace hermitien de typeCnet de dimension infinie serait bien entenduC1, i.e.Cnavecn=1. Il a un autre nom : on l"appelle classiquement

2, "petit-`2» à l"oral pour le distinguer des espaces "grand-L2» de fonctions de carré

intégrable : L

2(R) :=n

ffonctions mesurables surRtelles queR

Rjf(x)j2dx <1o

dont nous reparlerons dans peu de temps.

Définition 2.2.

[Espace `2C]L"espace`2est constitué des suitesinfiniesdénombrables : z:= (z1;z2;:::;zi;:::)2C1 de nombres complexeszi2Ctelles que : 1X i=1jzij2<1:

Bien entendu, cette quantité

P1 i=1jzij2, lorsqu"elle est finie, satisfait pour tout nombre complexe2C: 1X i=1 zi2=jj21X i=1jzij2: Une définition similaire pour`2Rpeut aisément être formulée, mais nous travaillerons principalement avec`2C, que nous noterons parfois`2. Immédiatement, une première question surgit : `2ainsi défini est-il un espace vectoriel? Ce n"est pas évident, car il se pourrait très bien queP1 i=1jzi+wij2ne soit pas<1 lorsque les deux sommesP1 i=1jzij2etP1 i=1jwij2sont toutes deux<1. Autre question : Existe-t-il aussi un produit scalaire hermitien sur`2C1comme c"était le cas surCn?

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceEncore une fois, cela n"est pas clair, car il se pourrait que

P1 i=1ziw ine soit pas<1 lorsqueP1 i=1jzij2<1etP1 i=1jwij2<1. Étudions donc cet espace`2de suites infinies dont la somme des modules au carré converge. Lemme 2.3.Pour tousz;w2`2C, on a la convergence de : hz; wi:=hz; wi`2:=1X i=1z iw i<1: Démonstration.En effet, pour un indice quelconque fixéi>1, on a la positivité :

06jzij jwij2=jzij2+jwij22jzijjwij;(2.4)

d"où en faisant passerjzijjwij=jziw ijà gauche :ziw i612 jzij2+jwij2: Sommons alors ces inégalités pouri= 1jusqu"à l"infini, ce qui nous donne : 1X i=1 ziw i612 1 X i=1 jzij2+jwij2<1;(2.5) et donc par inégalité triangulaire infinie, on obtient bien la finitude de : hz; wi`2:=1 X i=1z iw i61X i=1 ziw i<1:

Ainsi,

P1 i=1ziw iconstitue un candidat naturel pour définir un produit scalaire hermi- tien sur`2Cqui sera formellement analogue à celuiPn i=1ziw iqui existait surCn, mais pour l"instant, on ignore encore que`2Cpossède une structure d"espace vectoriel! En tout cas, on peut d"ores et déjà introduire la quantité : jjzjj:=jjzjj`2:= 1X i=1jzij2 12 <1; laquelle va, dans un instant, s"avérer être une vraie norme sur le vrai espace vectoriel`2. Un examen plus approfondi du calcul précédent va nous montrer que la valeur abso- lue de la quantitéhz;wi=P1 i=1ziw iest toujours majorée par le produitjjzjjjjwjj. Cette inégalité élémentaire, en tout point analogue à l"inégalité : j !v!wj6jj!vjjjj!wjj; satisfaite par le produit scalaire entre deux vecteurs !v;!w2R2du plan euclidien, est tellement importante qu"elle a reçu un nom distinctif.

Théorème 2.6.

[Inégalité de Cauch y-Schwarz]Pour tousz;w2`2C, on a : 1 X i=1z iw i6quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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