[PDF] Geometry of complex character varieties

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NNT : 2019SACLS210

THÈSE DE DOCTORAT

de l"Université Paris-Saclay École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH, ED 574) Établissement d"inscription :Université Paris-Sud Laboratoire d"accueil :Laboratoire de mathématiques d"Orsay UMR 8628 CNRS Spécialité de doctorat :Mathématiques fondamentales

Gabriel PALLIER

Géométrie asymptotique sous-linéaire :

hyperbolicité, autosimilarité, invariants

Date de soutenance :2 septembre 2019

Après avis des rapporteurs :

Tullia DYMARZ(University of Wisconsin, Madison)

Jury de soutenance :

Yves BENOISTCNRS & Université Paris-SudPrésident du jury Yves CORNULIERCNRS & Institut Camille-Jordan, Lyon 1Examinateur Tullia DYMARZUniversity of Wisconsin, MadisonRapportrice Pierre PANSUUniversité Paris-SudDirecteur de thèse

Thèse préparée au

Département de Mathématiques d"Orsay

Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 307

Université Paris-Sud 11

91405 Orsay CEDEX

Géométrie asymptotique sous-linéaire :

hyperbolicité, autosimilarité, invariants

Résumé

Les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes ont été introduites par Yves Cornulier afin de décrire les cônes asymptotiques des groupes de Lie. Elles généralisent les quasiisométries. Cette thèse construit des invariants pour l"équivalence sous-linéairement bilipschitzienne entre groupes et es- paces hyperboliques au sens de Gromov, en utilisant l"analyse au bord de Gromov. Une classe d"applications généralisant les homéomorphismes qua- sisymétriques, et une dimension conforme associée, sont introduites. Les espaces symétriques riemanniens de type non-compact et de rang un, ainsi que certains espaces homogènes de courbure strictement négative, sont clas-

sifiés à équivalence sous-linéairement bilipschitzienne près.Sublinear asymptotic geometry:

hyperbolicity, self-similarity, invariants

Abstract

Sublinearly biLipschitz equivalences have been introduced by Yves Cornulier as means of describing the asymptotic cones of Lie groups; they include and generalize quasiisometries. This thesis provides invariants for sublin- early biLipschitz equivalence between Gromov-hyperbolic groups and spaces using analysis on the Gromov boundary. A class of mappings generalizing quasisymmetric mappings, and a corresponding conformal dimension, are in- troduced as tools. The rank one Riemannian symmetric spaces of noncom- pact type as well as a subclass of homogeneous negatively curved Riemannian manifolds are classified up to sublinearly biLipschitz equivalence. iii Se vider de sa fausse divinité, se nier soi-même, renoncer à être en imagination le centre du monde, discerner tous les points du monde comme étant des centres au même titre et le véritable centre comme étant hors du monde, c"est consentir au règne de la nécessité mécanique dans la matière et du libre choix au centre de chaque âme. Ce consentement est amour. La face de cet amour tournée vers les personnes pensantes est charité du prochain; la face tournée vers la matière est amour de l"ordre du monde, ou, ce qui est la même chose, amour de la beauté du monde.

Simone Weil

Table des matières Contents

Résumé - Abstract

iii

Table des matières - Contents

x

Notation

xi

Introduction et contexte

1

A Un raisonnement à grande échelle

3

B Vocabulaire et position du problème

6 B.1 Quasiisométries et équivalences sous-linéaires 6

B.2 Position du problème

10

B.2.1 Invariants pour SBE

10 B.2.2 Pourquoi la courbure<0?. . . . . . . . . . 11

B.3 Espaces

11

B.3.1 Groupes de Carnot

11

B.3.2 Espaces symétriques de rang un

13

B.3.3 Groupes de Heintze

14

B.3.4 Géométrie de comparaison

16

C Invariants et rigidités

16

C.1 Cônes asymptotiques des groupes de Lie

16

C.1.1 Groupes nilpotents, et un peu au-delà

17

C.1.2 Groupes semi-simples

18

C.2 Travaux de Cornulier

20

C.2.1 Radical exponentiel

21

C.2.2 Réductions

21
C.2.3 Sur l"exposante. . . . . . . . . . . . . . . .23 C.3 SBE en courbure négative, contexte récent 23
C.4 Rigidités et classifications quasiisométriques 25

C.4.1 Rigidité

25
C.4.2 Groupes de Lie résolubles et leurs réseaux 26
C.4.3 Retour à la courbure strictement négative 27
vii D Résultats, perspectives et questions. . . . . . . . . . . . . . . 29

D.1 Résultats

29

D.2 Perspectives et questions

30

D.2.1 Groupes de Heintze

30

D.2.2 Groupes nilpotents

3 0

D.2.3 Rang supérieur et rigidité

32

D.2.4 Groupes de type fini

33

D.2.5 Stabilité

3 5

D.2.6 Hyperbolicité sous-linéaire

36

E Contenu

36

I SBE between hyperbolic metric spaces

37

I.1 Background

41

I.1.1 Large-scale Sublinearly Lipschitz maps

41

I.1.2 Gromov products and Cornulier"s estimates

43
I.1.3 Metric invariants of4points at infinity. . . . . . . . . 45

I.2 Preliminaries from hyperbolic metric geometry

46

I.2.1 A lemma on right-angled quadrilaterals

46

I.2.2 An estimate on geodesic projections

50

I.2.3 Quantitative Morse stability

51

I.2.4 Proof for Proposition

I.15 54

I.3 Sublinear tracking

55

I.3.1 Preliminaries

56

I.3.2 Rays

57

I.3.3 Geodesics

62
I.3.4 Distance betweenO(u)-geodesics. . . . . . . . . . . . 68

I.3.5 Tracking radii

72

I.4 On the sphere at infinity

75
75

I.4.2 properties of s.q-M homeomorphisms

78

I.5 Negatively curved homogeneous spaces

84

I.5.1 Setting

84
I.5.2 Quasimetrics and measures on the punctured boundary 85

I.5.3 Horizontal lines and horizontal curves

86
I.5.4 Volumes of quasiballs and intersecting horizontal lines 87

I.5.5 Proof of Theorem

I.6 92
viii

II On sublinear quasiconformality93

II.1 Sublinear quasiconformality

97
II.1.1O(u)-quasisymmetric structures. . . . . . . . . . . . . 97

II.1.1.1 Definition

97

II.1.1.2 Hyperbolic cones

99
II.1.2O(u)-quasisymmetric homeomorphisms. . . . . . . . . 100

II.1.2.1 Definition, comparison with .s. mappings

100

II.1.2.2O(u)-q.s. homeomorphisms as boundary

mappings 1 02

II.1.2.3 Examples and non-properties

103

II.1.3 Covering and measures

108
II.1.3.1 Covering lemma: extracting disjoint balls 108

II.1.3.2 Gauges

109

II.1.3.3 Carathéodory measures

109

II.1.3.4 Packing Pre-measure

110

II.2 Conformal invariants

111

II.2.1 Moduli and energies

111

II.2.1.1 Combinatorial moduli

111

II.2.1.2 Functions of locally bounded energy

112

II.2.1.3 Condensers and capacities

118

II.2.2 Diffusivity

119

II.2.2.1 Carathéodory variant

119

II.2.2.2 Packing variant

121

II.2.3 Conformal dimensions

122
II.2.4 Upper bound onCdimO(u). . . . . . . . . . . . . . . .123

II.3 Applications to large-scale geometry

123

II.3.1 Heintze groups

124

II.3.1.1 Definition

124
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