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Équations aux dérivées partielles

Équations aux Dérivées Partielles. M1. I-4. Exercices. I-4- 1. Stabilité de la solution d'une EDP. On note Tn le tore de dimension n (classes d'équivalence 



Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles

EQUATIONS AUX D´ERIV´EES PARTIELLES. 13. Exercice 1.2.3. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes au point (x0y0)



Equations aux derivees partielles

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Université Aix Marseille Master 2 de mathématiques Equations aux

3 janv. 2022 Les équations aux dérivées partielles interviennent dans de nombreux ... de très nombreux exercices et problèmes la plupart sont résolus.



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ESPCI Mathématiques 2ème année Recueil dexercices 1

1 Équations aux dérivées partielles. 1.1 Méthode des caractéristiques (5 pts). On considère l'équation aux dérivées partielles pour la fonction u :.





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23 juin 2022 Equations aux dérivées partielles: Cours de Master 2 de mathé- ... de très nombreux exercices et problèmes la plupart sont résolus.



Equations aux dérivées partielles (EDP) Méthode de résolution des

21 août 2017 Exercices d'application + projet sur la machine à aimants. IV. Bibliographie. ANNEXES ... résolution d'équations aux dérivées partielles.



Math206 { Equations aux D eriv ees Partielles Feuille d

Exercice 1 2 Calculer les d eriv ees partielles a l’ordre 2 des fonctions suivantes : f(x;y) = x2(x+ y); f(x;y) = exy: Exercice 1 3 Soit f: R2!R une fonction de classe C1 1 On d e nit g: R !R par g(t) = f(2 + 2t;t2) D emontrer que gest C1 et calculer g0(t) en fonction des d eriv ees partielles de f 2 On d e nit h: R !R par h(u;v) = f



Système de coordonnées sphériques - Spherical coordinate

Feuille d’exercices «Dérivées Partielles» Exercice 1 : Fonctions exponentielles On considère la fonction f : R2!R dé?nie par (x;y) 7!x2+y x pour (x;y) 6= (0 ;0) et f(0;0) = 1 —Pour y 0?xé calculer la limite de x 7!f(x;y 0) en 0 —Pour x 0?xé calculer la limite de y 7!f(x 0;y) en 0



Equations aux Dérivées Partielles - École des ponts ParisTech

Laformegénéraled’une équationaux dérivées partielles linéairescalaire d’ordre2 est au+c·?u+div (A?u) = f (1) où a : ? ? R c : ? ? Rd A : ? ? Rd×det f : ? ? R sont les coe?cients de l’équation aux dérivées partielles Dans le cas où u est scalaire (d = 1) et les coe?cients sont constants on obtient



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SOLUTIONS CLASSIQUES

Uneéquation aux dérivées partielles(EDPen abrégé) est une équation faisant intervenir une fonction inconnue de plusieurs variables ainsi que certaines de ses dérivées partielles On appelleordred’une EDP l’ordre de la plus grande dérivée présente dans l’équation



Introduction aux Equations aux D´eriv´ees Partielles

Soit ?: R ? R la fonction d´e?nie par k7??(k) = u((tx)+k(ab)) = u(t+kax+kb) La fonction fdonne les valeurs de uen chaque point (t0x0) = (tx)+k(ab) de la droite D de direction (ab) passant par (tx) Or en utilisant a nouveau le Lemme 3 2 1 on a ?0(k) = (Du) ((tx)+k(ab))(ab) = 0





Exo7 - Exercices de mathématiques

Dérivées partielles: Révisions Exercice 1 Soit f : R2!R la fonction dé?nie par f(x;y)=(x2 +y2)x pour (x;y)6=( 0;0) et f(0;0)=1 1 La fonction f est-elle continue en (0;0)? 2 Déterminer les dérivées partielles de f en un point quelconque distinct de l’origine 3 La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x à y



Analyse et Équations aux Dérivées Partielles - CNRS

à l’étude des équations aux dérivées partielles Il commence par trois parties por-tant sur l’analyse fonctionnelle l’analyse harmonique et l’analyse microlocale Une fois que nous aurons étudié ces théories nous verrons comment les utiliser dans la deuxièmepartieducours Notrebutseraalorsdedonnerdesdémonstrationscomplètesde





Exercices : Équations aux Dérivées Partielles

Exercices : Équations aux Dérivées Partielles MadaniMOUSSAI il est recommandé de réfléchir avant de lire les corrections des exercices



Analyse et Équations aux Dérivées Partielles

Ce livre propose une introduction aux domaines de l’Analyse mathématique qui sont liés à l’étude des équations aux dérivées partielles Il commence par trois parties portant sur l’analyse fonctionnelle l’analyse harmonique et l’analyse microlocale La dernière partie de ce livre plus dicile concerne la théorie mo-



Quels sont les différents types d'équations aux dérivées partielles?

  • Deux équations aux dérivées partielles importantes qui surviennent dans de nombreux problèmes physiques, l'équation de Laplace et l' équation de Helmholtz , permettent une séparation des variables en coordonnées sphériques. Les portions angulaires des solutions de telles équations prennent la forme d' harmoniques sphériques .

Comment calculer les dérivées partielles ?

  • Commençons par calculer les dérivées partielles au premier ordre et au second ordre de f :?f?x (x, y) = ?f4x3 ,?y (x, y) = 3y2 ? 3? 2 f?x 2 (x, y) = 12x2 ,? 2 f? (x, y) = 0,?x?y2 f (x, y) = 6y.?y2 Un point (x, y) est critique si et seulement si x = 0 et y 2 = 1. Les de ux points critiques de f sont donc A (0, 1) et B (0, ?1).

Quelle est la dimension d’une équation aux dérivées partielles ?

  • L’ordre d’une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l’équation. L’équation (1.1) est donc d’ordre 1. La dimension d’une équation aux dérivées partielles est le nombre de variables indépendantes dont dépend la fonction inconnue u. L’équation (1.1) est donc de di- mension 2.

Qu'est-ce que la théorie des équations aux dérivées partielles ?

  • Pour les besoins de la théorie des équations aux dérivées partielles, un calcul opérationnel à plusieurs variables est inventé. Dans un premier temps, les problèmes qui mènent normalement à une équation aux dérivées partielles sont résolus par des méthodes ad-hoc, le plus souvent géométriques. On n'écrit pas l'équation aux dérivées partielles.

Universite de Paris Sud 11 L2 { MPI

Mathematiques 2eme semestre 14/15Math206 { Equations aux Derivees Partielles

Feuille d'Exercices 1NB. Ces exercices, et les corriges qui suivent, sont issus du sitehttp://www.bibmath.net

Exercice 1.1.|Justier l'existence des derivees partielles des fonctions suivantes, et les calcu- ler. f(x;y) =excosy; f(x;y) = (x2+y2)cos(xy); f(x;y) =p1 +x2y2: Exercice 1.2.|Calculer les derivees partielles a l'ordre 2 des fonctions suivantes : f(x;y) =x2(x+y); f(x;y) =exy:

Exercice 1.3.|Soitf:R2!Rune fonction de classeC1.

1. On denitg:R!Rparg(t) =f(2 + 2t;t2). Demontrer quegestC1et calculerg0(t) en

fonction des derivees partielles def.

2. On denith:R!Rparh(u;v) =f(uv;u2+v2). Demontrer quehestC1et exprimer les

derivees partielles @h@u et@h@v en fonction des derivees partielles@f@x et@f@y Exercice 1.4.|Soitfune application de classeC1surR2. Calculer les derivees (eventuellement partielles) des fonctions suivantes :

1.g(x;y) =f(y;x).

2.g(x) =f(x;x).

3.g(x;y) =f(y;f(x;x)).

4.g(x) =f(x;f(x;x)).

Exercice 1.5.|On denitf:R2nf(0;0)gpar

f(x;y) =x2(x2+y2)3=4: Justier que l'on peut prolongerfen une fonction continue surR2.Etudier l'existence de derivees partielles en (0;0) pour ce prolongement. Exercice 1.6.|Pour les fonctions suivantes, demontrer qu'elles admettent une derivee suivant tout vecteur en (0;0) sans pour autant y ^etre continue.

1.f(x;y) =y2lnxsix6= 0

0 sinon.

2.g(x;y) =(

x2yx

4+y2si (x;y)6= (0;0)

0 sinon.

Exercice 1.7.|Demontrer que les fonctionsf:R2!Rsuivantes sont de classeC1surR2.

1.f(x;y) =x2y3x

2+y2si (x;y)6= (0;0) etf(0;0) = 0;

2.f(x;y) =x2y2ln(x2+y2) si (x;y)6= (0;0) etf(0;0) = 0.

Exercice 1.8.|Les fonctions suivantes, denies surR2, sont-elles de classeC1?

1.f(x;y) =xx2y2x

2+y2si (x;y)6= (0;0) etf(0;0) = 0;

2.f(x;y) =x3+y3x

2+y2si (x;y)6= (0;0) etf(0;0) = 0;

3.f(x;y) =e1x

2+y2si (x;y)6= (0;0) etf(0;0) = 0.

Indication :Pour les deux premieres, on pourra etudier la regularite des derivees partielles en (0;0).

Pour la derniere, on pourra commencer par etudier la regularite de la fonction d'une variable reelle gdenie parg(t) =e1=tsit >0,g(t) = 0 sinon Exercice 1.9.|Soitf:R2!Rune application de classeC1.

1. On denit, pour (x;y)2R2xe,g:R!R; t7!g(t) =f(tx;ty):Montrer quegest

derivable surR, et calculer sa derivee.

2. On suppose desormais quef(tx;ty) =tf(x;y) pour tousx;y;t2R.

(a) Montrer que pour tousx;y;t2R, on a f(x;y) =@f@x (tx;ty)x+@f@y (tx;ty)y: (b) En deduire qu'il existe des reelsetque l'on determinera tels que, pour tous (x;y)2 R

2, on a

f(x;y) =x+y: Exercice 1.10.|Determiner toutes les fonctionsf:R2!R2solutions des systemes sui- vants : 1:8 >:@f@x =xy2 @f@y =yx2:2:8 >:@f@x =exy @f@y = 2y:3:8 >:@f@x =x2y @f@y =xy2: Indication :Integrer d'abord une equation en xant l'autre variable. La constante d'integration depend de cette variable. Deriver en utilisant l'autre relation pour l'eliminer... Exercice 1.11.|Etant donnees deux fonctionsg0etg1d'une variable reelle, de classeC2sur

R, on denit la fonctionfsurR+Rpar

f(x;y) =g0yx +xg1yx

Justier quefest de classeC2, puis prouver que

x

2@2f@x

2(x;y) + 2xy@2f@x@y

(x;y) +y2@2f@y

2(x;y) = 0:

Exercice 1.12.|On cherche toutes les fonctionsg:R2!Rveriant : @g@x @g@y =a; ouaest un reel.

1. On notefla fonction deR2dansRdenie par :

f(u;v) =gu+v2 ;vu2 En utilisant le theoreme de composition, montrer que @f@u =a2

2. Integrer cette equation pour en deduire l'expression def.

3. En deduire les solutions de l'equation initiale.

Exercice 1.13.|Chercher toutes les fonctionsfde classeC1surRveriant @f@x 3@f@y = 0: On pourra faire un changement lineaire de coordonnees de sorte que l'equation se simplie... Exercice 1.14.|On souhaite determiner les fonctionsf:R2!R, de classeC1, et veriant :

8(x;y;t)2R3; f(x+t;y+t) =f(x;y):

1. Demontrer que, pour tout (x;y)2R2,

@f@x (x;y) +@f@y (x;y) = 0:

2. On poseu=x+y,v=xyetF(u;v) =f(x;y). Demontrer que@F@u

= 0.

3. Conclure.

Exercice 1.15.|Soitc6= 0. Chercher les solutions de classeC2de l'equation aux derivees partielles suivantes c

2@2f@x

2=@2f@t

2; a l'aide d'un changement de variables de la formeu=x+at,v=x+bt. Exercice 1.16.|Une fonctionf:R2!Rde classeC2est dite harmonique si son laplacien est nul, ie si 2f@x

2+@2f@y

2= 0: Dans toute la suite, on xefune fonction harmonique.

1. On suppose quefest de classeC3. Demontrer que@f@x

,@f@y etx@f@x +y@f@y le sont aussi.

2. On suppose desormais quefest radiale, c'est-a-dire qu'il existe':R!Rde classeC1

telle quef(x;y) ='(x2+y2). Demontrer que'0est solution d'une equation dierentielle lineaire du premier ordre.

3. En deduire toutes les fonctions harmoniques radiales.

Corriges

Corrige 1.1.|Il est facile de verier que par exemplex7!excosyest derivable, et de m^eme pour les autres fonctions. On trouve respectivement : 1. @f@x (x;y) =excosyet@f@y (x;y) =exsiny: 2. @f@x (x;y) = 2xcos(xy)y(x2+y2)sin(xy); @f@y (x;y) = 2ycos(xy)x(x2+y2)sin(xy): 3. @f@x (x;y) =xy2p1 +x2y2;et@f@y (x;y) =yx2p1 +x2y2: Corrige 1.2.|Il sut de deriver successivement par rapport aux bonnes variables. Remarquons que les fonctions sont clairement de classeC2surR2et donc que les derivees croisees d'ordre 2 sont egales.

1. On trouve@f@x

(x;y) = 3x2+ 2xy;@f@y (x;y) =x2 2f@x

2(x;y) = 6x+ 2y;@2f@y

2(x;y) = 0;@2f@x@y

(x;y) = 2x:

2. On trouve

@f@x (x;y) =yexy;@f@y (x;y) =xexy 2f@x

2(x;y) =y2exy;@2f@y

2(x;y) =x2exy;@2f@x@y

(x;y) =exy+xyexy:

Corrige 1.3.|

1. La fonctiont7!(2 + 2t;t2) est de classeC1, car polyn^omiale, doncgest de classeC1par

composition. On applique ensuite la formule de la derivee d'une fonction composee. Si on noteu(t) = 2 + 2tetv(t) =t2, alors g

0(t) =u0(t)@f@x

(u(t);v(t)) +v0(t)@f@y (u(t);v(t)); soit g

0(t) = 2@f@x

(2 + 2t;t2) + 2t@f@t (2 + 2t;t2):

2. La fonction (u;v)7!(uv;u2+v2) est de classeC1car polyn^omiale, donchest de classe

C

1. Notonsr(u;v) =uvetq(u;v) =u2+v2. Le theoreme de derivation d'une composee

dit que @h@u (u;v) =@r@u (u;v)@f@x (r(u;v);q(u;v)) +@q@u (u;v)@f@y (r(u;v);q(u;v)):

Ceci donne

@h@u (u;v) =v@f@x (uv;u2+v2) + 2u@f@y (uv;u2+v2):

De m^eme on trouve

@h@v (u;v) =u@f@x (uv;u2+v2) + 2v@f@y (uv;u2+v2):

Corrige 1.4.|

1. On a :@g@x

=@f@x @y@x +@f@x @x@x soit @g@x (x;y) =@f@y (y;x); et symetriquement @g@y (x;y) =@f@x (y;x):quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10
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