[PDF] Equations aux derivees partielles





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Équations aux dérivées partielles

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21 août 2017 Exercices d'application + projet sur la machine à aimants. IV. Bibliographie. ANNEXES ... résolution d'équations aux dérivées partielles.



Math206 { Equations aux D eriv ees Partielles Feuille d

Exercice 1 2 Calculer les d eriv ees partielles a l’ordre 2 des fonctions suivantes : f(x;y) = x2(x+ y); f(x;y) = exy: Exercice 1 3 Soit f: R2!R une fonction de classe C1 1 On d e nit g: R !R par g(t) = f(2 + 2t;t2) D emontrer que gest C1 et calculer g0(t) en fonction des d eriv ees partielles de f 2 On d e nit h: R !R par h(u;v) = f



Système de coordonnées sphériques - Spherical coordinate

Feuille d’exercices «Dérivées Partielles» Exercice 1 : Fonctions exponentielles On considère la fonction f : R2!R dé?nie par (x;y) 7!x2+y x pour (x;y) 6= (0 ;0) et f(0;0) = 1 —Pour y 0?xé calculer la limite de x 7!f(x;y 0) en 0 —Pour x 0?xé calculer la limite de y 7!f(x 0;y) en 0



Equations aux Dérivées Partielles - École des ponts ParisTech

Laformegénéraled’une équationaux dérivées partielles linéairescalaire d’ordre2 est au+c·?u+div (A?u) = f (1) où a : ? ? R c : ? ? Rd A : ? ? Rd×det f : ? ? R sont les coe?cients de l’équation aux dérivées partielles Dans le cas où u est scalaire (d = 1) et les coe?cients sont constants on obtient



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SOLUTIONS CLASSIQUES

Uneéquation aux dérivées partielles(EDPen abrégé) est une équation faisant intervenir une fonction inconnue de plusieurs variables ainsi que certaines de ses dérivées partielles On appelleordred’une EDP l’ordre de la plus grande dérivée présente dans l’équation



Introduction aux Equations aux D´eriv´ees Partielles

Soit ?: R ? R la fonction d´e?nie par k7??(k) = u((tx)+k(ab)) = u(t+kax+kb) La fonction fdonne les valeurs de uen chaque point (t0x0) = (tx)+k(ab) de la droite D de direction (ab) passant par (tx) Or en utilisant a nouveau le Lemme 3 2 1 on a ?0(k) = (Du) ((tx)+k(ab))(ab) = 0





Exo7 - Exercices de mathématiques

Dérivées partielles: Révisions Exercice 1 Soit f : R2!R la fonction dé?nie par f(x;y)=(x2 +y2)x pour (x;y)6=( 0;0) et f(0;0)=1 1 La fonction f est-elle continue en (0;0)? 2 Déterminer les dérivées partielles de f en un point quelconque distinct de l’origine 3 La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x à y



Analyse et Équations aux Dérivées Partielles - CNRS

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Exercices : Équations aux Dérivées Partielles

Exercices : Équations aux Dérivées Partielles MadaniMOUSSAI il est recommandé de réfléchir avant de lire les corrections des exercices



Analyse et Équations aux Dérivées Partielles

Ce livre propose une introduction aux domaines de l’Analyse mathématique qui sont liés à l’étude des équations aux dérivées partielles Il commence par trois parties portant sur l’analyse fonctionnelle l’analyse harmonique et l’analyse microlocale La dernière partie de ce livre plus dicile concerne la théorie mo-



Quels sont les différents types d'équations aux dérivées partielles?

  • Deux équations aux dérivées partielles importantes qui surviennent dans de nombreux problèmes physiques, l'équation de Laplace et l' équation de Helmholtz , permettent une séparation des variables en coordonnées sphériques. Les portions angulaires des solutions de telles équations prennent la forme d' harmoniques sphériques .

Comment calculer les dérivées partielles ?

  • Commençons par calculer les dérivées partielles au premier ordre et au second ordre de f :?f?x (x, y) = ?f4x3 ,?y (x, y) = 3y2 ? 3? 2 f?x 2 (x, y) = 12x2 ,? 2 f? (x, y) = 0,?x?y2 f (x, y) = 6y.?y2 Un point (x, y) est critique si et seulement si x = 0 et y 2 = 1. Les de ux points critiques de f sont donc A (0, 1) et B (0, ?1).

Quelle est la dimension d’une équation aux dérivées partielles ?

  • L’ordre d’une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l’équation. L’équation (1.1) est donc d’ordre 1. La dimension d’une équation aux dérivées partielles est le nombre de variables indépendantes dont dépend la fonction inconnue u. L’équation (1.1) est donc de di- mension 2.

Qu'est-ce que la théorie des équations aux dérivées partielles ?

  • Pour les besoins de la théorie des équations aux dérivées partielles, un calcul opérationnel à plusieurs variables est inventé. Dans un premier temps, les problèmes qui mènent normalement à une équation aux dérivées partielles sont résolus par des méthodes ad-hoc, le plus souvent géométriques. On n'écrit pas l'équation aux dérivées partielles.

Claire David

Pierre Gosselet

Cours et exercices corrigés

Équationsaux dérivées partielles

2 e

édition

Illustration de couverture : © Baillou - Fotolia.fr

©Dunod, 2012, 2015

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-072746-9

TABLE DES MATIÈRES

Avant-proposVII

NotationsIX

Chapitre 1. Généralités 1

1.1 Premières définitions

1

1.2 Exemples d"équations aux dérivées partielles linéaires en mécanique5

Chapitre 2. Équations aux dérivées partielles du premier ordre 17

2.1 Préambule : étude d"un système différentiel de la forme

dx P dy Q dz R 17

2.2 Équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre23

Exercices30

Corrigés31

Chapitre 3. Équations aux dérivées partielles du second ordre 33

3.1 Classification des équations

33

3.2 Courbes caractéristiques et problème de Cauchy35

3.3 Réduction à la forme standard40

Exercices49

Corrigés51

Chapitre 4. Distributions 55

4.1 Motivation

55

4.2 Espace des fonctions tests57

4.3 Espace des distributions60

4.4 Dérivation d"une distribution66

4.5 Opérations68

4.6 Distributions tempérées73

Exercices75

Corrigés77

Chapitre 5. Transformations intégrales 83

5.1 Transformation de Fourier

83

5.2 Transformation de Laplace90

Exercices99

Corrigés106

©Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. III

Équations aux dérivées partielles

Chapitre 6. Méthode de séparation des variables 117

6.1 Fonctions à variables séparées

117

6.2 Problème de Sturm-Liouville120

6.3 Séparation des variables126

Exercices135

Corrigés140

Chapitre 7. Quelques équations aux dérivées partielles classiques 153

7.1 Équation de transport

153

7.2 Équation des ondes158

7.3 Équation de la chaleur164

7.4 Équation de Laplace166

7.5 Une équation aux dérivées partielles classique en finance : l"équation

de Black-Scholes 178
Chapitre 8. Introduction aux approches variationnelles 183

8.1 Principe des approches variationnelles

183

8.2 Problème variationnel abstrait189

8.3 Notions sur la régularité de la solution faible195

8.4 Traitement de quelques EDP195

8.5 Techniques d"approximation de Ritz-Galerkin200

Exercices202

Corrigés204

Annexe A. Rappels d"analyse et de géométrie 215

A.1 Fonctions de plusieurs variables

215

A.2 Éléments de géométrie217

Annexe B. Éléments d"analyse hilbertienne 221

B.1 Définitions

221

B.2 Complétude226

B.3 Sommes hilbertiennes229

B.4 Projection sur un convexe fermé233

B.5 Dualité dans les espaces de Hilbert237

Annexe C. Éléments d"intégration de Lebesgue 241

C.1 Motivation

241
C.2 Rapide construction de l"intégrale de Lebesgue242

C.3 Résultats importants245

C.4 Comparaison Riemann-Lebesgue247

C.5 Intégrales multiples247

C.6 Espaces de Lebesgue248

C.7 Produit de convolution de deux fonctions252

C.8 Résultats de densité et de séparabilité253 IV

Table des matières

Annexe D. Propriétés de l"espace de SobolevH 1 (Ω) 255

D.1 Structure algébrique

255
D.2 Régularité des fonctions, notion de trace257

D.3 Inégalités de Poincaré260

Bibliographie265

Index266

Vous pouvez accéder à des exercices corrigés supplémentaires à partir de la page de présentation de l"ouvrage sur le site de l"éditeur www.dunod.com. Ces compléments sont au format pdf et permettent une recherche classique par mots-clés. Ils peuvent être lus, enregistrés ou imprimés en partie comme en totalité. ©Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. V

AVANT-PROPOS

Cet ouvrage est une introduction à l"étude des équations aux dérivées partielles. Il

est destiné aux étudiants de niveau L3 et M1 des écoles d"ingénieurs et filières univer-

sitaires scientifiques. Il se base sur un cours de L3 donné aux étudiants en ingénierie mécanique de l"ENS de Cachan et de l"université Pierre et Marie Curie-Paris 6. Les équations aux dérivées partielles (EDP) apparaissent extrêmement fréquem- ment en sciences appliquées pour traduire des principes fondamentaux et modéliser de manière continue des phénomènes physiques. Face à cela, les étudiants se re- trouvent souvent désarmés : les ouvrages dans ce domaine font généralement appel à des prérequis complexes, donnent des exposés trop généraux pour faire le lien avec des applications, ou au contraire éludent les fondations et se spécialisent sur certains aspects. L"étude des EDP est en effet un sujet très vaste, sur lequel les ouvrages de référence peuvent contenir plusieurs milliers de pages. Cette seconde édition, revue et augmentée, est, encore, le fruit d"un compromis. Si notre but est, toujours, de donner les éléments nécessaires à la compréhension des EDP qui jalonnent le monde des sciences appliquées, de savoir les interpréter,

au sens classique et généralisé, connaître leurs principales propriétés et, lorsque cela

est possible, les résoudre, il nous a semblé important, en regard, d"introduire aussi les approches variationnelles qui font le lien entre les EDP théoriques et le calcul numérique. Ces méthodes sont, en effet, à la base de techniques d"approximation robustes extrêmement utilisées en ingénierie, dont il est intéressant de connaître le principe directeur. L"objectif du premier chapitre est de donner le vocabulaire de base et de discu- ter, de manière assez empirique, des propriétés fondamentales des EDP les plus fré- quentes en physique. Nous nous intéressons ensuite à l"analyse classique d"équations du premier et second ordre. Nous introduisons notamment la notion de courbe carac- téristique d"une EDP. Dans le chapitre quatre, nous donnons les fondements de l"interprétation générali- sée des EDP en introduisant le concept de distributions. Ces dernières sont un outil extrêmement, puissant puisqu"elles offrent un cadre plus large pour manier les EDP, notamment en présence de discontinuités, et fournissent de nouveaux outils pour leur

étude.

Nous développons aussi quelques éléments d"analyse spectrale (transformation de Fourier et Laplace pour les domaines non bornés et séparation de variables pour les domaines bornés) dont l"intérêt dépasse l"étude des EDP, et qui permettent dans cer- tains cas d"obtenir facilement des solutions d"équations aux dérivées partielles. ©Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. VII

Équations aux dérivées partielles

Le chapitre qui suit est consacré à l"étude d"équations classiques (de transport, de la chaleur, des ondes, de Laplace) à l"aide des outils introduits aux chapitres précé- dents. Le dernier chapitre est une introduction aux approches variationnelles, qui offrent un cadre théorique riche dans lequel il est possible de prouver l"existence et l"unicité de la solution de certaines EDP. À la finde chaque chapitre se trouve une sélection d"exercices types, avec, bien sûr, leurs corrigés détaillés. Ceux-ci se veulent volontairement simples, sans complication calculatoire. Quatre annexes complètent cet ouvrage. La première est une remise en forme pour se réapproprier les bases de géométrie et calcul différentiel. La deuxième est consa- crée à l"analyse hilbertienne, et donne les résultats nécessaires concernant les espaces de Banach et de Hilbert. La troisième annexe concerne l"intégration de Lebesgue et les espaces fonctionnels associés; il s"agit de permettre au lecteur non spécialiste de comprendre comment cette théorie de l"intégration conduit à un cadre simple pour déployer les méthodes présentées dans l"ouvrage. La dernière annexe présente les propriétés fondamentale de l"espace de Sobolev dans lequel les méthodes variation- nelles sont déployées. La bibliographie recense quelques ouvrages de référence, permettant d"approfon- dir le sujet. Nous tenons à remercier Valentine Rey et Emmanuel Trélat pour leur relecture attentive et leurs suggestions pertinentes.

Claire David

Pierre Gosselet

VIII

NOTATIONS

•Ensemble et topologie

-∂Ωbord du domaineΩ. A pourA?Ω: fonction indicatrice deA:χ A (x)=? ??????1six?A

0six?Ω\A

•Espaces fonctionnels

-L p (Ω), 1?p<∞espace de Lebesgue des fonctions dont la puissancep ième est intégrable surΩ. -L (Ω), espace de Lebesgue des fonctions essentiellement bornées surΩ. -C 0 (Ω), espace des fonctions continues surΩ. -C n (Ω),n??1,∞?, espace des fonctionsnfois continument dérivables. -C nc (Ω),n??0,∞?, espace des fonctions de classeC n (Ω) à support compact. -D(Ω)=C ∞c (Ω), espace des fonctions infiniment dérivables à support compact, espace des fonctions tests pour les distributions. -S(? d ), espace des fonctions à décroissance rapide, espace des fonctions tests pour les distributions tempérées. -E(Ω)=C (Ω), espace des fonctions infiniment dérivables surΩ, espace des fonctions tests pour les distributions à support compact. •Opérations sur les fonctions et les distributions - supp(f), support de la fonctionf. - pour une fonction réelle de la variable réelle :f dérivée première def,f dérivée seconde,f (j) dérivéej-ème. -f?g, produit de convolution

•Notation multientier :α=(α

1 d d d i=1 i -x?? d ,x =x 1 1 x 2 2 ...x d d monôme. -f?C N d )avecN?|α|,∂ f=∂ f ∂x 1 1 ∂x 2 2 ...∂x d d ©Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. IX

Équations aux dérivées partielles

•Opérateurs différentiels

- Gradient spatial d"une fonction scalaire : ---→grad(f)=( ((((((((((((((((((((((((((∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z) - Dérivée normale : ∂f - Divergence spatiale d"un champ de vecteur : div(?p)=∂p x ∂x+∂p y

Ýy+∂p

z ∂z. - Laplacien d"un champ scalaire :Δf=div(---→grad(f))=∂ 2 f ∂x 2 2 f ∂y 2 2 f ∂z 2

•Opérations dans un espace vectorielE

-E , dual topologique deE. -?g,h?=g(h)??, crochet de dualité avech?Eetg?E (g,h) E produit scalaire avecg?Eeth?E. -?h? E norme deh?E. X

GÉNÉRALITÉS

1

1.1 PREMIÈRES DÉFINITIONS

UneÉquation aux Dérivées Partielles(EDP) est une équation fonctionnelle qui met en relation des dérivées partielles. Typiquement, siuest une fonction à valeurs sca- laires des variablesxety,(x,y)?Ω,oùΩdésigne un ouvert de? 2 , uneEDPest une relation de la forme : F? u,x,y,∂u ∂x,∂u∂y? =0 pour (x,y)?Ω(1.1) oùFdésigne une fonction définie sur un ouvert de? 5 L"ordred"une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l"équation. L"équation (1.1) est donc d"ordre 1. Ladimensiond"une équation aux dérivées partielles est le nombre de variables indépendantes dont dépend la fonction inconnueu. L"équation (1.1) est donc de di- mension 2. Résoudre l"EDPconsiste donc à déterminer toutes les fonctionsudéfinies surΩ satisfaisant (1.1). En général, uneEDPest complétée par des conditions sur le bord deΩdu type : G? u,x,y,∂u ∂x,∂u∂y? =0 pour (x,y)?Γ?∂Ω(1.2) Ces conditions peuvent être de nature très différentes et influent fortement sur l"exis- tence et la forme des solutions. Quand les conditions portent sur le bord complet du domaine, on parle deproblème aux frontières. Quand le domaine est d"extension in- finie autour d"un obstacle compact (par exemple lors de l"étude de la signature radar d"un objet), on parle deproblème extérieur. Quand les conditions ne portent que sur une partie du bord du domaine sur lequel

on connaît la valeur de la fonction et de ses dérivées de degré inférieur à l"ordre de

l"équation, on parle deproblème de Cauchy. Les équations de la physique sont fréquemment posées sur des domaines spatio- temporels du typeΩ=ω×[t 0 ,+∞[, oùωest un ouvert de l"espace? d (d=2ou3) et [t 0 ,+∞[ est l"intervalle temporel d"étude,t 0 est l"instant initial (souvent pris égal à 0). Le temps joue un rôle particulier, dans la mesure où il est porteur duprincipe de causalité . On a alors le plus souvent un problème aux frontières en espace et un

†. C"est le principe suivant lequel, si un phénomène physique, nommécause, produit un autre phéno-

mène, l"effet, alors ce dernier ne peut précéder la cause. ©Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 1

Chapitre 1

Généralités

problème de Cauchy en temps que l"on appelle égalementproblème aux conditions initiales. Les problèmes aux frontières et les problèmes aux conditions initiales obéissent à des logiques différentes : pour les premiers, l"état est partiellement connu sur les bords et on cherche à l"aide de l"EDPà déterminer la solution dans l"ensemble duquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18
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