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In = IE(?Hn) = n/?2 La variance atteint bien l'inverse de l'information de Fisher Ce qui est cohérent avec le fait que la seule fonction de 

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Université de CaenM1TD n

o7 : Information de Fisher et vraisemblanceExercice 1.Soient >0,a2R,Xunevardont la loi est donnée par

P(X=k) =eaakk!; k2N;

n2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici, le paramètreaest connu etest inconnu.

Montrer que l"information de Fisher est

I n() =na2a2:

Exercice 2.Soient >1,Xunevarde densité :

f(x) =8 :1 +(x+)2six1;

0sinon,

n2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,est un paramètre inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn).

Montrer que l"information de Fisher est

I n() =n3(1 +)2:

Exercice 3.La durée de vie en heures d"un certain type d"ampoule peut être modélisée par une

varXde densité : f(x) =(exsix0;

0sinon,

où >0est un paramètre inconnu. Soientn2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. 1. Déterm inerl"estimateur du ma ximumde vraisem blance bnde. 2.

Calculer l"information de Fisher In().

3.

Étudier la con vergenceen loi de

pI n()(bn) n2N. On suppose quenest suffisam- ment grand pour approcher la loi depI n()(bn)à cette loi limite. En utilisant cette approximation, déterminer un intervalle de confiance pourau niveau98%.

4.Application.Un expérimentateur a évalué la durée de vie de1000ampoules de ce type. Les

résultats en heures, notés(x1;:::;x1000), donne11000 1000
P i=1x i= 95;6. Construire un intervalle de confiance pourau niveau98%correspondant à ces données.C. Chesneau1TD no7 Université de CaenM1Exercice 4.Soient2RetXunevarde densité : f(x) =8 :1p2x3=2e(x)222xsix >0;

0sinon.

1.

Mon trerque, p ourt outx >0, on a

ln(f(x)) =1 3(x): 2.

En déduire E(X)etV(X).

Exercice 5.Soient >0etXunevarde densité :

f(x) =8 :1 x(1+1 )six1;

0sinon,

n2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,est un paramètre inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). 1.

Mon trerque, p ourtout x1, on a

ln(f(x)) =1

2(ln(x)):

En déduireE(ln(X))etV(ln(X)).

2. Déterm inerl"estimateur du ma ximumde vraisem blance bnde. Est-il sans biais ? 3.

Calculer l"information de Fisher In().

4. Com parerIn()avecV(bn). En déduire quebnest un estimateur efficace de. Quel critère aurait-on pu utiliser pour montrer l"efficacité de bnsans calculerIn()etV(bn)?

Exercice 6.Soient >0,Xunevarde densité :

f(x) =12ejxj ; x2R; n2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,est un paramètre inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). 1. Déterm inerl"estimateur du ma ximumde vraisem blance bnde. 2.

Mon trerque

bnest efficace de. En déduireE(bn),V(bn)etIn(). 3.

Étudier la con vergenceen loi de

pI n()(bn) n2N.C. Chesneau2TD no7quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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