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Statistiques2010-2011

Feuille de TD n

o1

Estimation, tests et r

´egions de confiance

Exercice 1

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [0,θ],o`uθ >0 est inconnu.

1. (a) CalculerEθ(X1) et en d´eduire un estimateurθndeθpar la m´ethode des moments.

(b) Calculer l"estimateur du maximum de vraisemblance

θndeθ.

(c) Les estimateurs

θnetθnsont-ils biais´es?

(d) Comparer les risques quadratiques de

θnetθn.

(e) Etudier la convergence en loi de n(θn?θ) et den(θn?θ) lorsquentend vers l"infini.

2. Soitθ0>0. On souhaite testerH0: "θ=θ0" contreH1: "θ=θ0".

(a) Construire un test de niveauαen utilisant l"estimateurθn. Tracer la courbe de puissance de ce test. (b) Construire un test de niveau asymptotiqueαen utilisant l"estimateurθnet une approximation gaussienne.

Exercice 2

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [θ?1

2,θ+12],o`uθest un r´eel inconnu.

L"estimateur du maximum de vraisemblance deθest-il bien d´efini?

Exercice 3

SoitX: (Ω,)(E,) une variable al´eatoire dont la loi appartient `a une famille donn´ee Pθ, θΘ. La vraie valeur du param`etre de la loi deX, not´eeθ, est inconnue.

1. On dispose d"une r´egion de confiance(X) de coefficient de s´ecurit´e 1?αpourθ. Pour

toutθ0Θ, construire un test de niveauαdeH0(θ0) : "θ=θ0" contreH1(θ0) : "θ=θ0".

2. Pour toutθ0Θ, on dispose d"un test de niveauαdeH0(θ0) : "θ=θ0" contreH1(θ0) :

"θ=θ0". Construire une r´egion de confiance(X) de coefficient de s´ecurit´e 1?αpourθ.

Exercice 4

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [0,θ],o`uθ >0 est inconnu. En utilisant

l"exercice 3 et la question 2a de l"exercice 1, construire unintervalle de confiance pourθde coefficient de s´ecurit´e 1?α.

Exercice 5

Quelques rappels de probabilit´es utiles en statistique asymptotique. On suppose dans toute la suite que (Xn)nNest une suite de variables al´eatoires dansRd, convergeant en loi vers une v.a. X.

1. Soitgune fonction continue en tout point d"un sous-ensembleCdeRdtel queP(X

C) = 1. Montrer que (g(Xn))nNconverge en loi versg(X).

2. Dans cette question, on suppose queXest constante p.s, ´egale `a 0. Soitgune fonction

deRddansRktelle queg(h) =o(hp) au voisinage de 0, pour un entierp?0. Montrer queg(Xn) =oP(Xnp), c"est `a dire qu"il existe une variable al´eatoire r´eelleYndansRk, convergeant vers 0 en probabilit´e, telle queg(Xn) =YnXnp.

3. Soit (Yn)nNune suite de variables al´eatoires dansR, convergeant en loi vers une constante

c. Montrer queXn.Ynconverge en loi versX.c.

4. Soitrnune suite de r´eels tendant vers +etθRdtel quern(Xn?θ) converge en

loi vers une variable al´eatoireT. SoitgdeRddansRk, une fonction diff´erentiable enθ. Montrer quern(g(Xn)?g(θ)) converge en loi vers la variable al´eatoireDgθ(T).

Exercice 6

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi de Poisson de param`etre inconnuθ >0.

1. Estimerθ. On noteraθnl"estimateur propos´e.

2. D´eterminer la loi limite de

θn?θconvenablment renormalis´e (de sorte que la loi limite ne soit pas triviale), puis construire un intervalle de confiance asymptotique de coefficient de s´ecurit´e 1?αpourθ.

3. Proposer un estimateur asymptotiquement sans biais et consistant dePθ(X1= 0).

Exercice 7

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi Gaussienne(μ,σ2), o`uμRetσ >0. On note

μn=1

nn i=1X ietσ2n=1nn i=1(Xi?μn)2.

1. Pr´eliminaires : SoientYle vecteur al´eatoire `a valeurs dansRndont lai`eme coordonn´ee

est (Xi?μ)/σetE1le sous-espace vectoriel deRnengendr´e par le vecteurt(1,...,1). (a) Calculer les projections orthogonales deYsurE1et surE1et en d´eduire la loi de (μn,σ2n). (b) En d´eduire que si l"on noteσnla racine carr´ee positive deσ2n, alorsTt(n?1), o`u T= n?1μn?μσn

2. On suppose dans cette question queμest inconnu etσest connu.

(a) Calculer l"estimateur du maximum de vraisembance deμ. Est-il biais´e? consistant? (b) On se donneα]0,1[ etμ0R. On souhaite construire le test du rapport des vraisemblances deμ=μ0contreμ=μ0au niveauα. Montrer que le rapport des vraisemblances Λ est

Λ = expn

2σ2(μn?μ0)2

puis donner la r´egion de rejet du test du rapport des vraisemblances.

3. On suppose dans cette question queσest inconnu etμest connu.

(a) Estimerσ2et ´etudier les propri´et´es de l"estimateur propos´e. (b) Construire un intervalle de confiance pourσ2.

4. On suppose dans cette question queσetμsont inconnus.

(a) Calculer l"estimateur du maximum de vraisemblance de (μ,σ2) et ´etudier ses pro- pri´et´es. (b) On se donneα]0,1[ etμ0R. On souhaite construire le test du rapport des vraisemblances deμ=μ0contreμ=μ0au niveauα. Montrer que le rapport des vraisemblances Λ est

σ2n

σ2n

n/2

1 +(μn?μ0)2σ2n

n/2 o`uσ2n= i(Xi?μ0)2/npuis donner la r´egion de rejet du test du rapport des vraisemblances. (c) Donner un intervalle de confiance pourμde coefficient de s´ecurit´e 0.95 sur la base de l"observation suivante d"un ´echantillon gaussien : -0.4326 -1.6656 0.1253 0.2877 -1.1465 1.1909 1.1892 -0.0376 0.3273

0.1746 -0.1867 0.7258 -0.5883 2.1832 -0.1364 0.1139 1.06680.0593

-0.0956 -0.8323 0.2944 -1.3362 0.7143 1.6236 -0.6918 (les r´ealisations deμnet deσnsont ici 0.1171 et 0.8955).

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o2

Tests non param

´etriques

Exercice 8

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon. On noteFnla fonction de r´epartition empirique associ´ee :

tR,Fn(t) =1 nn i=11I Xi?t.

Pour toute fonction de r´epartitionF, on note

D n(F) = sup tRF(t)?Fn(t).

1. Soit (U1,...,Un) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [0,1] etFune fonction de r´epartition.

On noteUnla fonction de r´epartition empirique associ´ee `a (U1,...,Un),Xune variable al´eatoire de fonction de r´epartitionFetF1l"inverse g´en´eralis´e deF: u[0,1], F1(u) = inftR, F(t)?u, avec la convention inf= +. (a) Montrer que pour tout r´eelt, u, F1(u)?t=u, u?F(t). (b) Montrer que (F1(U1),...,F1(Un)) est unn-´echantillon de la loi deX. (c) En d´eduire que siFest continue et si (X1,...,Xn) est unn-´echantillon de la loi deX, alorsDn(F) est identique en loi `a supt[0,1]Un(t)?t, et la loi deDn(F) ne d´epend pas deF(elle est tabul´ee).

2. On se donne une fonction de r´epartition continueF0, et on noteFla fonction de r´epartition

commune desXi. Construire un test deF=F0contreF=F0sur la base de l"observation de (X1,...,Xn) et montrer que la puissance du test propos´e tend vers 1 en tout point de l"alternative quandn .

3. Tester si la variable al´eatoireXsuit une loi normale(2,1),connaissant l"observation

suivante d"un 21-´echantillon : 0.3, 0.7, 0.9, 1.2, 1.4, 1.4, 1.5, 1.5, 1.6, 1.9, 2.0, 2.1, 2.1, 2.3,

2.5, 2.6, 2.7, 3.0, 3.8, 3.9, 4.0.

Exercice 9

Soient (X1,...,Xn) unn-´echantillon d"une loi continueμet (Y1,...,Ym) unm-´echantillon d"une loiν, ind´ependant de (X1,...,Xn). On noteFnla fonction de r´epartition empirique de (X1,...,Xn),Gmla fonction de r´epartition empirique de (Y1,...,Ym) et on d´efinit D n,m= sup tRFn(t)?Gm(t). On s"int´eresse aux hypoth`esesH0: "μ=ν" etH1: "μ=ν".

1. Montrer que si lesXiet lesYjont la mˆeme loi, alors la loi deDn,mest libre deμetν.

2. En utilisant le fait que la loi deDn,mest connue sousH0(cette loi est tabul´ee), construire

un test deH0contreH1.

3. On souhaite comparer deux m´edicaments cens´es soulagerla douleur post-op´eratoire. On

a observ´e sur 16 patients dont 8 ont pris un m´edicament A habituel et les 8 autres un m´edicament B exp´erimental, les nombres suivants d"heures de soulagement. Y a-t-il une diff´erence significative au niveau 5% entre A et B?

A6,83,15,84,53,34,74,24,9

B4,42,52,82,16,60,04,82,3

Exercice 10

SoitXune variable al´eatoire de fonction de r´epartition inconnueF, et soit (X1,...,Xn) un

n-´echantillon de la loi deX. Pour toutθ >0, on noteFθla fonction de r´epartition d´efinie par

F

θ(x) = (1?exp(?x/θ)) 1Ix>0.

1. On suppose queF , o`u=Fθ, θ >0. D´eterminer l"estimateurTdu maximum de

vraisemblance deθ, puis construire un test deθ= 100 contreθ= 100 au niveau 5%.

2. On noteFnla fonction de r´epartition empirique de (X1,...,Xn), et on d´efinit

n= sup tRFn(t)?FT(t).

Montrer que la loi de Δ

nest libre deθlorsqueF . En d´eduire un test de l"hypoth`ese F contreF . Sin= 5 et que l"on a observ´e les valeurs 133, 169, 8, 122 et 58, tester de deux mani`eres l"hypoth`eseF=F100au niveau 10%.

Exercice 11

Partant de races pures, Bauer a crois´e des mufliers ivoires avec des mufliers rouges. A la deuxi`eme

g´en´eration, apr`es autof´econdation des plantes de la premi`ere, il a obtenu 22 mufliers rouges,

52 pˆales et 23 ivoires. Si la couleur des fleurs est g´er´ee par un couple d"all`eles, la probabilit´e

th´eorique d"obtenir une fleur rouge (resp. pˆale, resp. ivoire) est de 1/4 (resp. 1/2, resp. 1/4).

Que conclure?

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o3 Mod `eles lin´eaires gaussiens Remarque : les donn´ees se trouvent dans le dossier : /home/doc/rossigno/M1MFA/

Exercice 12

Soientn1etn2des entiers positifs. On observeYij(i= 1,2,j= 1,...,ni) o`u pour tout (i,j),Yij

est de loi(μi,σ2i),μietσi´etant inconnus. Les variablesYijsont suppos´ees ind´ependantes.

1. Tester l"´egalit´e des variancesσ21etσ22.

2. On suppose ici les variances ´egales.

(a) Ecrire le mod`ele sous forme matricielle. (b) Estimer les param`etres du mod`ele. (c) Construire le test de Fisher de l"hypoth`eseH0: "μ1=μ2" contreH1: "μ1=μ2".

3. On traite 12 parcelles de terrain identiques avec un engrais A et 12 autres avec un nouvel

engrais B. On obtient avec A une production moyenne de 4,8 quintaux avec un ´ecart-type

empirique observ´e ´egal `a 0,36. Les quantit´es correspondantes pour B valent 5,1 et 0,4. On

mod´elise cette exp´erience comme ci-dessus. Tester l"´egalit´e des variances et des esp´erances

pour A et B, au niveau 10%.

Exercice 13

Soitpun entier positif, et pour touti= 1,...,p, soitniun entier positif. On suppose le mod`ele lin´eaire suivant r´egulier. Y ij=ai+bixij+εiji= 1,...,p, j= 1,...,ni(1)

Lesxijsont des r´eels fix´es et lesεijsont des variables al´eatoires ind´ependantes entre elles, de

loi(0,σ2). Les param`etresai,bi(i= 1,...,p) etσsont inconnus.

1. Estimer les param`etres du mod`ele.

2. Tester l"´egalit´e des droites de r´egression (d"´equations respectivesy=ai+bix).

3. On suppose les droites de r´egression identiques. Le mod`ele s"´ecrit alorsYij=a+bxij+εij.

(a) D´eterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance des param`etres.

(b) Construire une r´egion de confiance avec coefficient de s´ecurit´e 1?α(α]0,1[) pour

le param`etre (a,b). (c) Tester l"hypoth`ese "la droite de r´egression passe parle point (x0,y0)", o`ux0ety0 sont des r´eels fix´es.

4. Application :

Des photographies a´eriennes de champs d"orge sont analys´ees au photom`etre, qui mesure la brillance de chaque champ. On recherche la relation entreles rendements des parcelles et la brillance, en tenant compte de l"application d"un fongicide sur certaines parcelles pour combattre le mildiou. On consid`ere le mod`ele lin´eaire d´ecrit ci-dessus en (1), o`u x ijd´esigne la brillance duj`eme champ soumis au fongicidei, etYijrepr´esente le ren- dement de ce champ. Les donn´ees sont dans le fichierfongicide.dat, sous la forme (rendement, brillance, fongicide). (a) Tracer sur un mˆeme graphe les rendements en fonction de la brillance, en distinguant avec deux couleurs diff´erentes selon le groupe (i.e avec ou sans fongicide). (b) V´erifier rapidement l"allure des r´esidus. (c) Tester l"absence d"effet du fongicide sur le rendement. (d) Estimer les param`etres du mod`ele (donner des intervalles de confiances).

Exercice 14

Soientp,qetrdes entiers strictement sup´erieurs `a 1. Pour touti 1,...,p,j 1,...,qet k 1,...,r(kest un indice de r´ep´etition), on observeYi,j,k=mi,j+εi,j,k, o`u les variables

i,j,ksont ind´ependantes, de loi(0,σ2),σ2´etant inconnu. On consid`ere un mod`ele d"analyse

de la variance `a deux facteurs complet et ´equilibr´e, c"est-`a-dire qu"on suppose qu"il existeμ,αi,

jetγi,j(inconnus) tels que Y On suppose de plus la contraintesuivante satisfaite : iαi= 0 jβj= 0 jγi,j= 0,i 1,...,p iγi,j= 0,j 1,...,q?1

1. Dans un mod`ele lin´eaire non r´egulierY=Xβ+ε, on dit queLβ= 0 est une contrainte

d"identifiabilit´e siLest une application lin´eaire et si pour toutmde l"image deX, il existe un uniqueβtel queXβ=metLβ= 0. V´erifier queest une contrainte d"identifiabilit´e.

2. Estimer les param`etres du mod`ele.

3. Tester les hypoth`eses suivantes :

(a) absence d"effet du facteurj(i.e.βj= 0 etγij= 0 pour tout (i,j)) (b) absence d"effet du facteuri(i.e.αi= 0 etγij= 0 pour tout (i,j)). (c) absence d"interaction (i.e.γij= 0 pout tout (i,j)).

4. Application :

Une exp´erience est destin´ee `a ´etudier l"adaptation de deux vari´et´es de moutarde `a la

s´echeresse. On a un dispositif `a 4 traitements diff´erentsd´erivant de 2 vari´et´es (Clause et

Gisilba) not´ees A et B et de 2 intensit´es lumineuses (29000lux et 8000 lux) not´ees X et Y. On dispose de 4 plants pour chacun des traitements AX, AY, BX et BY. Un indicateur

de l"adaptation `a la s´echeresse est l"apparition de racines courtes tub´eris´ees. Le tableau

suivant indique le nombre observ´e de ces racines.

AX: 78 79 44 77

AY: 64 96 30 20

BX: 137 85 302 315

BY: 64 67 102 47

Les donn´ees sont dans le fichiermoutarde.dat, sous la forme : (moutarde, lumi`ere, nb de tubercules). (a) V´erifier rapidement l"allure des r´esidus. (b) Tester, au niveau 5%, l"absence d"interaction entre lesdeux facteurs. (c) Tester l"absence d"effet du facteur vari´et´e sur l"adaptation `a la s´echeresse.

Exercice 15On veut comparer quatre vari´et´es de c´er´eales sur trois types de terrains. Les mesuresYijk,1?

k?nijde rendement de la vari´et´eide c´er´eale sur le terrainjsont dans le fichiercereales.dat,

sous la forme(vari´et´e, terrain,rendement). On consid`ere un mod`ele complet d"analyse de la variance `a deux facteurs.

1. V´erifier rapidement l"allure des r´esidus.

2. Tester l"absence d"effet du facteur terrain.

3. Tester l"absence d"effet du facteur vari´et´e.

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o4

Affinit

´es et risque minimax

Exercice 16

Pour tout couple de r´eels (μ,μ), on noteh(μ,μ) la distance de Hellinger entre la loi gaussienne

d"esp´eranceμet de variance 1 et la loi gaussienne d"esp´eranceμet de variance 1. On note

ρ(μ,μ) l"affinit´e de Hellinger entre ces deux lois.

1. Montrer que pour tout couple de r´eels (μ,μ),

ρ(μ,μ) = exp

?1

8(μ?μ)2

2. SoientμR,λ]0,1[ etcnR. On souhaite testerH0: "θ=μ" contreH1: "θ=μ+cn"

sur la base de l"observation d"unn-´echantillon (X1,...,Xn) de la loi(θ,1). On rappelle qu"alors, 1?

2nh(μ,μ+cn)?inf?nEμ(?n) +Eμ+cn(1??n)?exp(?nh2(μ,μ+cn)),

o`u l"inf est ´etendu `a tous les tests?n. (a) Montrer que s"il existe un test?ntel queEμ(?n)+Eμ+cn(1??n)?λalors il existe c

λ>0 tel quecn?cλn1/2.

(b) R´eciproquement, soitλ >0. On suppose qu"il existec >0 tel quecn?cn1/2. Montrer que sicetnsont assez grands, alors il existe un test?ntel queEμ(?n) + E

μ+cn(1??n)?λ.

Exercice 17

Soientμetμdeux r´eels strictement positifs. On noteρ(μ,μ) l"affinit´e de Hellinger entre la loi

uniforme sur l"intervalle [0,μ] et la loi uniforme sur l"intervalle [0,μ].

1. Montrer que

1?μ?μ

1/2

2. Soientμ >0,λ]0,1[ etcnR. On souhaite testerH0: "θ=μ" contreH1: "θ=μ+cn"

sur la base de l"observation d"unn-´echantillon (X1,...,Xn) de la loi uniforme sur l"intervalle [0,θ]. Donner une condition n´ecessaire puis une condition suffisante surcnpour qu"il existe un test?ntel queEμ(?n) +Eμ+cn(1??n)?λ.

Exercice 18

Soientwune application bijective croissante et concave de [0,1] sur [0,1] etwla famille des fonctionsfd´efinies sur [?1,1] telles quef(t)?f(0)?w(t) pour toutt[?1,1]. On consid`ere le mod`ele suivant Y i=f(i/n) +εi, iZ(n) =Z[?n,n], o`ufest une fonction inconnue d´efinie sur [?1,1] dont on sait qu"elle appartient `aw, et

n,...,εnsont ind´ependantes et de mˆeme loi normale centr´ee et r´eduite. On souhaite ´etudier

le risque quadratique minimaxRn(w) pour l"estimation def(0) sur la base des observations Y n,...,Yn: R n(w) = infTsup fwE f(T?f(0))2, o`u l"inf est ´etendu `a tous les estimateursT.

1. On notePnfla loi du (2n+1)-uplet (Yn,...,Yn) donn´e par le mod`ele ci-dessus. Montrer

que : R n(w)?sup f,gw f(0)?g(0) 2 2 1? 1 4 iZ(n)(f(i/n)?g(i/n))2

2. Pour tout entier positifH?n, on d´efinit la fonctionfHsur [?1,1] par

f

H(t) =w(H/n) sint?H

0 sinon

On d´efinitH(n) = supH?n: (2H+1)w2(H/n)?1. On supposenassez grand pour quew2(1/n)?1/3. (a) V´erifier que 1?H(n)< n. (b) V´erifier quefH wpour tout entier positifH?n. En d´eduire que R n(w)?1

8w2(H(n)/n).

(c) Soit 0< α?1 etw(t) =tα,t[0,1]. D´emontrer que liminfn n2α

2α+1Rn(w)

>0.

3. Soient 0< α?1 etw(t) =tα,t[0,1]. Soit (hn)nNune suite de nombres r´eels positifs

tels que : h n??n0 etnhn??n.

On posexi=i

net : f(0) =1

2nhn+ 1n

i=nY i1Ixi?hn. Trouver (hn)nNde sorte quef(0) soit un estimateur minimax, `a une constante multi- plicative pr`es, def(0).

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o5

Estimateurs bayesiens

Exercice 19

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi(0,σ2) et soitθ=σ2le param`etre `a estimer.

On consid`ere la loia priori

ν(dθ) =Ca,heaθθh11Iθ>0dθ

(νest la loi Γ(h,a)).

1. D´eterminer la loia posteriorirelative `aν.

2. Calculer l"estimateur bayesienTdeθrelatif `aνet au risque quadratique.

3. L"estimateurTest-il admissible?

Exercice 20

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de loi de Poisson de param`etreθinconnu.

1. Calculer l"esp´erance et la fonction de risque quadratique de

X.

2. Calculer l"estimateur de BayesTdeθrelatif au risque quadratique et `a la loia priori

Γ(h,a).

3. Comparer les fonctions de risque de

XetT.

4. Montrer queTest admissible.

Exercice 21

Soient (X1,...,Xn) unn-´echantillon de loi uniforme sur1,2,...,θetp]0,1[.

1. Calculer l"estimateur de BayesTdeθrelatif au risque quadratique et `a la loia priori

d´efinie par :θN, ν(θ) =Cpθnpθ.

2. Cet estimateur est-il admissible?

Exercice 22

SoitXune variable al´eatoire r´eelle etα]0,1[. On pose, pour toutaR: F

α(a) =αE[(X?a)+] + (1?α)E[(X?a)].

1. Montrer que pour toutaR,

F

α(a) =E[(X?a)+] + (1?α)E[a?X],

et F

α(a) =E[(X?a)] +αE[X?a].

2. Montrer que pour tous r´eelsa?b,

F α(a)?Fα(b) =E[(X?a) 1IX]a,b[] + (b?a)(P(X?b)?(1?α)), et F α(b)?Fα(a) =E[(b?X) 1IX]a,b[] + (b?a)(P(X?a)?α).

3. On dit queqRest un quantile d"ordreαdeXsi et seulement si :

P(X?q)?αetP(X?q)?1?α .

Montrer que :

F α(q) = minaRFα(a)qest un quantile d"ordreαdeX .

4. On dit quemest une m´ediane deXsi c"est un quantile d"ordre 1/2 deX. En d´eduire

que les m´edianes deXsont les r´eels qui minimisentaE[X?a].

Exercice 23

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi(θ,1), θR.Calculer l"estimateur de BayesTσ deθrelatif `a la loia priori(0,σ2) et `a la pertel(θ,θ) =θ?θ.

Exercice 24

On observeX, dont la loi est de la formePθpour un param`etreθΘ inconnu. On souhaite

estimerg(θ) sur la base de l"observationX, o`ugest d´efinie sur Θ et `a valeurs r´eelles. On

consid`ere la fonction de pertelet la loia prioriνsur Θ.

1. On suppose qu"il existe un estimateur bayesien de risque constant, relatif `aνetl. On note

T(X) cet estimateur.

(a) Montrer queT(X) est minimax relativement `a la pertel. (b) Montrer queνest la loia priori"la moins favorable", c"est-`a-dire que siμd´esigne une autre loia priori, infUν(U)?infUμ(U), o`u l"inf est ´etendu `a l"ensemble des estimateursU(X) et o`u pour toute loia prioriτ,

τ(U) =

E

θ[l(g(θ),U(X))]dτ(θ).

2. Dans cette question,X= (X1,...,Xn) est unn-´echantillon de la loi de Bernoulli de

param`etre inconnuθ]0,1[. On consid`ere la fonction de perte d´efinie par l(θ,a) =(θ?a)2

θ(1?θ)

et on note

¯X=ni=1Xi/n. On souhaite estimerθ.

(a) Montrer que ¯Xest bayesien relativement `alet `a la loia prioriuniforme sur ]0,1[. (b) Montrer que

¯Xest de risque constant.

(c) En d´eduire que ¯Xest minimax et que la loi uniforme sur ]0,1[ est la loia priorila moins favorable.

Indication :Pour la question 2(a), on pourra utiliser la propri´et´e suivante. Si pour touta >0

et toutb >0, on noteB(a,b) =1

0xa1(1?x)b1dx, alors

B(a,b) =Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b)

o`u pour toutb >0, Γ(b) =

0tb1etdt.

Statistiques2010-2011

Feuille de TD n

o6 Th

´eorie de Neyman-Pearson

Exercice 25

SoitXune variable al´eatoire de loi(n,p).

1. Soientp0etp1des r´eels fix´es dans ]0,1[ tels quep0< p1. Bˆatir un test de Neyman-Pearson

de niveauαdep=p0contrep=p1.

2. Soitp0]0,1[. Bˆatir un test uniform´ement le plus puissant parmi les tests de niveauαde

p?p0contrep > p0.

Exercice 26

Soientα]0,1[ et (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi(θ,1), θR. Bˆatir un test uni-

form´ement le plus puissant parmi les tests de niveauαdeθ?θ0contreθ < θ0, puis d´eterminer

la puissance de ce test.

Exercice 27

Soientτ1,τ2,...,τm,...des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi exponentielle de

param`etreθinconnu. Pour toutnN, on noteTn=τ1++τn.Bˆatir un test uniform´ement le plus puissant deθ?θ0contreθ > θ0lorsqu"on observe 1.Nt= n?11I(Tn?t)pour unt >0 fix´e (on montrera queNtsuit une loi de Poisson de param`etreθt);

2. (T1,...,Tm),o`umest un entier fix´e;

Exercice 28

Soientτ1,...,τnles variables al´eatoires associ´ees `a la dur´ee de vie denampoules. On suppose

queτ1,...,τnsont ind´ependantes et de mˆeme loi exponentielle dont le param`etre, not´eθ, est

inconnu. On observe seulementτ(1),...,τ(m), o`um?nest un entier fix´e etτ(1)<< τ(n)

sont les statistiques d"ordre associ´ees `a l"´echantillon. On noteτ(0)= 0 et pour touti= 1,...,n,

X i=τ(i)?τ(i1).

Enfin, on note

S m=τ(1)++τ(m1)+ (n?m+ 1)τ(m).

1. (a) V´erifier queSm=m

i=1(n?i+ 1)Xi. (b) D´eterminer la loi de (X1,...,Xn) et en d´eduire que 2θSmsuit une loiχ2(2m).

2. Construire un test uniform´ement le plus puissant parmi les tests de niveauαdeθ?θ0

contreθ < θ0. Exercice 29SoientX= (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi uniforme sur [0,θ] etα]0,1[.

1. Soit?un test deθ=θ0contreθ > θ0. Montrer que?est uniform´ement le plus puis-

sant parmi les tests de niveauαsi et seulement siEθ0?(X) =αet?(X) = 1 lorsque max(X1,...,Xn)> θ0.

2. Montrer qu"il existe un unique test uniform´ement le pluspuissant deθ=θ0contreθ=θ0

au niveauα,donn´e par?(X) = 1 lorsque max(X1,...,Xn)> θ0ou max(X1,...,Xn)?

0α1/net?(X) = 0 sinon.

Exercice 30

Soit (X1,...,Xn) unn-´echantillon de la loi admettant la densit´exaexp(?a(x?b)) 1I(x?b)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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