Déformations - Exercice 1
Mohr a montré la propriété intéressante suivante pour le tenseur des contraintes indépendante du comportement du matériau et des conditions aux limites.
MMC-exercices-corrigés-03.pdf
Analyser en fonction de. 7
Mécanique des milieux continus
- Dans le chapitre trois on a développé la théorie de l'état des contraintes sous ses différents aspects : équilibre des milieux
Polycopié de Mécanique des Milieux Continus
Exercices. Mécanique des milieux continus. 51. Exercice N° 4 : Le tenseur de contraintes pour un état de contraintes traditionnelle : 30 10 20. 10 0 20. 20 20 0.
Cours de Calcul Tensoriel avec Exercices corrigés
Le tenseur σi j est appelé le tenseur des contraintes. Le terme de tenseur vient précisément de l'étude des tensions internes existant au sein des milieux
Exercices de Mécanique des milieux continus
29 mars 2020 Quel est le lien le tenseur déformation donné et le champ de déplacement du début de l'exercice ... Comparer les formes des tenseurs contraintes ...
Solutions des exercices du livre “Mécanique des milieux continus
27 févr. 2019 La seule composante du tenseur des contraintes non nulle est σrz qui est égale `a σrz = µ. (∂vz. ∂r. +. ∂vr. ∂z. ) = µ. U ln R1. R2. 1 r . ( ...
MMC – Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 1/6
calculer le tenseur des contraintes en supposant un état de déformations planes. 7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales.
ANNALES DES EPREUVES ECRITES 2017-2020
27 févr. 2020 (1 pt) 3/ Que traduisent les conditions de compatibilité ? Exercice 1 (8 pts). En un point quelconque de la structure le tenseur de contraintes ...
Module #8a Transformation des contraintes et des déformations 2D
Tenseur de contraintes 3D. Tenseur de contraintes i: Plan normal j Exercice - convention de signes +. Positif ou négatif? σx > 0
Déformations - Exercice 1
le tenseur gradient de la transformation Exercice 2 : Déformation uniaxiale ... la propriété intéressante suivante pour le tenseur des contraintes.
Untitled
Exercice 2 : Soit le tenseur des contraintes défini par: 7(M)=10 1 0 MPa. (105) au point M dans la base(xy
Résistance des matériaux : élasticité méthodes énergétiques
20 juin 2011 1.2 Exercices. ELA 1 : vecteur contrainte sur une facette. En un point M d'un solide dans le rep`ere orthonormé {??
INTRODUCT MMI Ex TION A LA MECANIQU MIILIEUX CONTINUS
Exercice C. Montrer qu'un tenseur Exercice E. Soit un tenseur symétrique ... Exprimer les trois tenseurs de contraintes
MECA 1901 Mécanique des milieux continus -
Ce recueil d'exercices résolus est une œuvre originale protégée par le Déterminer les composantes du tenseur des contraintes dans le rep`ere donné.
Mécanique des fluides et transferts
7.7.6 Tenseur des contraintes de cisaillement pour un fluide newtonien . Exercice 1. en utilisant le Système International donner l'équation aux ...
MMC – Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 1/6
7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales. Déduire les contraintes principales. 8) Calculer la contrainte moyenne et déduire
Exercices de Mécanique des milieux continus
29 mars 2020 Ce petit recueil d'exercices n'a pas d'autre but que d'aider ... 2-3 Calculer le tenseur des contraintes dans la base cylindro polaire (. ) ...
Table des matières
5.3.6 Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . 153. 5.4 Construction microscopique du tenseur des contraintes . . . . . . . . . 155.
Exercice I. Calculs tensoriels
Écrivez sous forme matricielle le tenseur des contraintes correspondant. 2. Calculez le vecteur contrainte ? qui s'exerce sur une facette orientée telle que
Exercice 1 - ensmpfr
TD2 : CONTRAINTES Exercice 1 : Mohr a montré la propriété intéressante suivante pour le tenseur des contraintes indépendante du comportement du matériau et des conditions aux limites Considérons l'état de contraintes au point x du volume V Considérons un état plan de contraintes (s zz=s zx=s zy=0) Dans l'espace des contraintes de
CHAPITRE II THEORIE DES CONTRAINTES - exoco-lmdcom
Exercice II Contraintes et plans principaux Soit un état de contraintes dont les composantes sont dans les axes choisis : ? 11 = 15 MPa ? 12 = 5 MPa ? 13 = 0 MPa ? 22 = 15 MPa ? 23 = 0 MPa ? 33 = 3 MPa 1 Écrivez sous forme matricielle le tenseur des contraintes correspondant 2
EXERCICE 1 - univ-bejaiadz
calculer le tenseur des contraintes en supposant un état de déformations planes 7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales Déduire les contraintes principales 8) Calculer la contrainte moyenne et déduire le module de compressibilité volumique K du matériau Solution 1) du 1 /dx 1
1 Tenseur des contraintes - ensmpfr
Les contraintes normale et tangentielle sont d’une grande importance en m´ecanique des milieux continus Elles permettent en particulier de d´e?nir les conditions aux limites en pression (contrainte normale sur une face) les conditions d’interface (lois de frottement reliant les contraintes normale et tangentielle) 6
MMC Exercices résolus Etat des contraintes en un point Page
1) Déterminer les contraintes principales 2) Déterminer les directions principales normalisées 3) Ecrire la matrice C des cosinus directeurs des axes principaux 4) Calculer la contrainte moyenne normale et la contrainte tangentielle maximale 5) Vérifier les invariants des contraintes I et I 3 Solution 1) Contraintes principales
LES TENSEURS - physique-univfr
Des tenseurs d’un type et d’un rang donn es et dont les composantes sont des nombres complexes a une structure d’espace vectoriel sur le corps des complexes Si les tenseurs sont de rang p la dimension de l’espace vectoriel est np 1 2 4 Produits tensoriels La multiplication de deux tenseurs de rangs pet qdonne un tenseur de rang p+ qdont
1 Exercices sur les DEFORMATIONS - ExpoEtude
1 Définir les tenseurs de déformation et de rotation 2 A l’aide de la représentation de Mohr déterminer les déformations et les directions principales 3 Au point P on place une jauge électrique dans une direction 11 0 22 q §· ¨¸ ©¹ Quelle sera la mesure ainsi effectuée ===== CORRECTION ===== 1 Définir les tenseurs de
CONTRAINTES - EXERCICES - Mines ParisTech
CONTRAINTES - EXERCICES Cission octa´edrique Calculer la contrainte normale et la contrainte tangentielle appliqu´ees sur la facette dont la normale est la trissectrice du rep`ere principal des contraintes Comparer ces contraintes aux invariants et aux contraintes ´equivalentes
Qu’est-ce qu’un tenseur? - École Polytechnique
TENSEURS EUCLIDIENS D’ORDRE UN On part de la structure d’espace vectorielle de l’espace euclidien E (R3) 1 Les tenseurs euclidiens d’ordre 1 sont les vecteurs V de E 2 A chaque vecteur V de E on peut associer la forme linéaire ?telle que : ?X ?E?(X)=V X ?R Exemples de vecteurs : - positionx =?(Xt)=xiei - vitesse
TENSEURS - mmayafr
* Le calcul formel ne permet pas toutes les opérations classiques En particulier les opérations de simplifications par division doivent être menées avec précautions i i i i a b x a a x ¿ ¾ ½ z 0 * Les règles de calcul nécessitent d'être très rigoureux sur l'emploi des indices En effet il ne faut pas confondre le produit i uix
R´esistance des mat´eriaux : ´elasticit´e m´ethodes ´energ
Elasticit e 3 1 1 4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes Le tenseur des contraintes se r´eduit `a : [?] =?xx ?xy 0 ?xy ?yy 0 0 0 0 (1 1 13) d’ou` l’expression du tenseur des d´eformations :
Comment définir un tenseur de contraintes?
- Un tenseur de contraintes donné par ses composantes cartésiennes : A - Déterminez analytiquement les contraintes principales et les plans principaux. B - Déterminez les contraintes de cisaillement maximales. EXO 3 Déterminer la contrainte normale ? 0 et la contrainte tangentielle ? 0 agissants sur un plan qui
Quelle est la relation entre les composantes du tenseur de contrainte et les forces de volume?
- On considère le problème de contraintes planes, en absence des forces de volume, trouver une relation entre les composantes du tenseur de contrainte et une fonction ? (?, ?) tel que les équations d’équilire sont satisfaites EXO 12 Soit le tenseur de contrainte [ ? ] ou « c » est une constante
Comment calculer le maximum de contraintes d’un tenseur?
- D’où le maximum de ces contraintes est : max = + 1/2 S’érit Avec , - [ Où Et , - , - , - [ Calculons les contraintes principales du tenseur dèviatorique équation caratéristique s’érit :
Quel est le tenseur des contraintes de Cauchy ?
- Le tenseur des contraintes de Cauchy est sym´etrique. Il est donc diagonali- sable dans un rep`ere orthonorm´e. Dans ce rep`ere, dit principal, les trois va- leurs propres du tenseur des contraintes sont souvent not´ees¾I,¾IIet¾III. Ce sont les contraintes principales du tenseur¾. Dans le rep`ere principal, le tenseur des contraintes s’´ecrit donc:
MECA 1901
Mecanique des milieux continus
Recueil d'exercices
Septembre 2007
Ce recueil d'exercices resolus est une uvre originale protegee par le droit d'auteur. Il a ete compose par Brieux Delsaute avec les contributions de Francois Dupret, Fabrice Loix,Francois Bioul et Nicolas Van Goethem.
Malgre le soin apporte a sa redaction, il est possible que vous y deceliez l'une ou l'autre erreur. N'hesitez pas a nous en faire part directement parcourrier electronique a l'adresse suivante : delsaute@mema.ucl.ac.be. Les commentaires, critiques et suggestions sont egalement les bienvenus.Calcul tensoriel
Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - ExercicesExercice 1
Donner la dimension physique et les unites dans le SystemeInternational des grandeurs suivantes. Indiquer egalement l'unite derivee le cas echeant.1. Distanced
2. Intervalle de temps t
3. Massem
4. Temperature
5. Intensite de couranti
6. SupercieS
7. Vitessev
8. ForceF
9. Quantite de mouvementP10. Moment de quantite de mouvementN
11. PuissanceP
12. EnergieE
13. Masse volumiqueρ
14. Pressionp
15. Contrainte
16. Charge electriqueq
17. Debit-volumeQ
18. Densite de
ux de chaleurqExercice 2
Verier la coherence dimensionnelle des equations suivantes.1.E=mc2
2.p=ρg(h) (pression hydrostatique sous une colonne de
uide de hauteur h) Determiner la dimension physique des constantes physiques intervenant dans les relations sui- vantes.3.F12=GM1M2
r212(Loi d'attraction gravitationnelle)4.E=h(Energie d'un photon)
Exercice 3
Indiquer si les expressions suivantes sont correctes.1.ai+αbi=ci
2.α+bici
3.Tij+aibj
4.Tii+ai
5.Tii+α
6.Tji+αaiaj
7.Tijk+aibjck
8.Tjki+aibjck
9.Tjji+αai
10.Tjjj+α
Exercice 4
Ecrire sous forme matricielle les expressions suivantes.1.αui
2.uivi
3.aijnj
2 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices4.jinj
5.aijbjk
6.aikbjlclk
7.aikajlTkl
Exercice 5
Calculer les expressions suivantes.
1.ii2.ijij
3.ijikjk
4.ijjk
5.ijAlik
6.aikajlkl, (aijsont les elements d'une matrice orthogonale quelconque)
7.ijkijk
8.ijkijl
Exercice 6
Verier queijmklm=imjkml=mijmkl=ikjliljk
Exercice 7
Exprimer chacune des operations suivantes en terme d'operations sur les composantes (αetant un scalaire;uetvdes vecteurs). 1.v2.αv
3.u+v4.uv
5.uvExercice 8
Verier les identites suivantes (u,v,a,betcetant des des vecteurs).1.uv=vu
2.uu=0
3.a(bc) =b(ac)c(ab)
4.a(bc) =b(ca) =c(ab)
Exercice 9
Developper les expressions suivantes (αetant un scalaire;u,vetndes vecteurs;SetTdes tenseurs d'ordre 2) :1.αv
2.uv 3.vu 4.Tn 5.T:S 3 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - ExercicesExercice 10
Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees cylindriques associees.Exercice 11
Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees spheriques associees.Exercice 12
1. Montrer que la symetrie est une propriete tensorielle, c'est-a-dire que siSij=Sjipour tout
iet toutjdans un repere orthonorme, cette propriete reste vraiedans n'importe quel repere orthonorme xe par rapport au premier.2. Montrer que l'antisymetrie est une propriete tensorielle.
Exercice 13
1. Montrer qu'un tenseurTijquelconque se decompose de maniere unique en une partie syme-
trique et une partie antisymetrique.2. SoitSijun tenseur d'ordre deux symetrique,Aijun tenseur d'ordre deux antisymetrique.
Prouver queAijSij= 0.
3. SoitSijun tenseur d'ordre deux symetrique etTij, un tenseur quelconque. Montrer que
T ijSij=TsijSijouTsijrepresente la partie symetrique deTij.Exercice 14
1. Montrer que la traceTiid'un tenseur quelconqueTijest un scalaire.
2. On denit la partie spherique du tenseurTijcomme etantTsph
ij=13Tmmijet sa partie
deviatoire comme etantTdij=TijTsph ij. Montrer que la trace de la partie deviatoireTdijest nulle.Exercice 15
Montrer que si _ωij=1
2? @v i@xj@vj@xi? et_ i=12ijk@vk@xjalors on a_ i=12ijk_ωkjet _ωij=ijk_ k.Exercice 16
1. Montrer que
?a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c3??????
=ijkaibjck=a(bc)Ceci denit le produit mixte des vecteursa,betc.
2. Montrer que
det(Tij) =16ijklmnTilTjmTkn
4 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - ExercicesExercice 17
SoientTun tenseur,aetbdes vecteurs,αetdes scalaires invariants. Evaluer les expressions suivantes dans un repere cartesien (O,ei) :1.?α
2.?a 3.?a 4.?a 5.?T 6.a?a7. α=?(?α)
8. a=?(?a)
Exercice 18
SoientTun tenseur,aetbdes vecteurs,αetdes scalaires. Verier les identites suivantes :1.?(α) = (?α)+α(?)
2.?(αa) = (?α)a+α(?a)
3.?(αa) = (?α)a+α(?a)
4.?(ab) =b(?a)a(?b)
5.?(?a) =?(?a)?(?a)
6.?(aa) = 2a(?a) + 2a(?a)
7.?(ab) =a(?b)b(?a) +b(?a)a(?b)
Exercice 19
1. Prouver que siaest un champ vectoriel, on a toujours?(?a) = 0.
2. Prouver que siαest un champ scalaire, on a toujours?(?α) =0.
Exercice 20
Determiner l'expression de l'operateur nabla en coordonnees-composantes cylindriques.Exercice 21
Developper les expressions suivantes en coordonnees-composantes cylindriques (αscalaire,vvec- teur).1.?α
2.?v 5 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - ExercicesExercice 22
On donne dans l'espace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme (O,ei). On considere egalement deux autres reperes cartesiens orthonormes : le premier (O?,e?i) est obtenu par une rotation des vecteurs de baseeid'un angle deπ/4 autour dee3, le second (O??,e??i) est obtenu par cette m^eme rotation des vecteurs de base suivie d'une translationb=e1+e2de l'origineO.1. Changement de coordonnees.
Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque l'on passe du repere (O,ei) aux reperes (O?,e?i) et (O??,e??i). Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque l'on passe des reperes (O?,e?i) et (O??,e??i) au repere (O,ei).2. (a) Quelles sont, dans les reperes (O?,e?i) et (O??,e??i), les equations du plan dont l'equation
dans le repere (O,ei) estx1+x2= 1. (b) M^eme question pour le champ scalairedayant pour representationd(e)(xi) =x1+x21 dans le repere (O,ei).3. Transformation de composantes
Ecrire sous forme matricielle la formule de transformationde composantes lorsque l'on passe du repere (O,ei) au repere (O?,e?i). Verier que la matrice calculee possede bien les pro- prietes de matrices de changement de bases orthonormees. Que vaut la matrice de transfor- mation de composantes lorsque l'on passe du repere (O,ei) au repere (O??,e??i)?4. Quelles sont, dans les reperes (O?,e?i) et (O??,e??i), les composantes du vecteur qui, dans le
repere (O,ei), est (v1,v2,v3) = (x2,x1,0)?Exercice 23
On considere dans l'espace Euclidien a trois dimensions le champ scalaire de temperatureT(P,t) (Pdesignant un point quelconque de l'espace ettdesignant le temps). On travaille avec les deux reperes (O,ei) et (O?,e?i) denis a l'exercice precedent. Dans le repere (O,ei) le champTa pour representation T (e)(xi,t) =α(x1+x2)2α9(x1+x2)2
ouαest une constante ayant les unites appropriees. L'expression du champTdans ce repere ne dependant pas du temps, ce champ y est dit "stationnaire".1. Quelle est la representationT?(e)(x?i,t) du scalaireT(P,t) dans le repere (O?,e?i)? Le champ
Ty est-il stationnaire?
2. Calculer les composantes du gradient deT(P,t), d'une part dans le repere (O,ei) et, d'autre
part, dans le repere (O?,e?i). Montrer que les triplets obtenus dans (O,ei) et dans (O?,e?i) representent un m^eme vecteur.3. Dans le cas d'un materiau non isotrope, la loi de Fourier reliant le
ux de chaleurqau gradient de temperature?Test q=K?T ouKest le tenseur de conductivite thermique suppose homogene et stationnaire.Calculer les composantes de la densite de
ux de chaleur dans le repere (O,ei) et dans le repere (O?,e?i) pour [Kij] =K?? 54 04 5 0
0 0 1??
LesKijsont les composantes deKdans le repere (O,ei) etKest une constante ayant les unites appropriees. 6 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices Que valent les composantes deK, dans les deux reperes, pour un materiau presentant une conductivite thermique isotropek?4. Donner les invariants du tenseur symetriqueK.
Exercice 24
On donne dans l'espace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme(O,ei). On considere d'une part le champ (scalaire) de temperatureT(P), ouPdesigne un point quelconque de l'espace. Ce champ est stationnaire dans le repere donne et sa representation y est donnee par : T (e)(xi) =α(x21+x22)x3 les constantesαetayant les dimensions appropriees. D'autre part, on considere le champ (vec- toriel) de vitessev(P) dont la representation dans le repere (O,ei) est : v (e)1(xi) =Ax1
x21+x22B x2 v (e)2(xi) =Ax2
x21+x22+B x1 v (e)3(xi) =C x3
les constantesA,BetCayant les dimensions physiques appropriees.1. Changement de coordonnees.
Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque l'on passe du systeme de coordonnees cartesien au systeme de coordonnees cylindrique. Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque l'on passe du systeme de coordonnees cylindrique au systeme de coordonnees cartesien.2. Donner la representationT?(e)(r,,z) du scalaireT(P) dans le systeme de coordonnees cy-
lindrique.3. Transformation de composantes
Ecrire sous forme matricielle la formule de transformationde composantes lorsque l'on passe de la base cartesienne (ei) a la base locale cylindrique (er,e`,ez). Verier que la matrice calculee possede bien les proprietes de matrices de changement de bases orthonormees.4. Determiner les composantes (vr,v`,vz) du champ vectorielv(P) dans la base cylindrique.
Exercice 25
Calculer
1. la surface et le volume d'un cylindre circulaire droit, derayonRet de hauteurL.
2. la surface et le volume d'une sphere de rayonR.
Exercice 26
Integrer
1. le champτ=rersur le disque de rayonR.
2. le champτ=re`sur le disque de rayonR.
3. le champτ= cosersur la sphere de rayonR.
7 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - ExercicesSolution exercice 1
On donne successivement la dimension, les unites et l'unite derivee eventuelle.1. L, m
2. t, s
3. M, kg
4. T, K
5. I, A
6. L 2, m2 7. Lt -1, ms-18. MLt
-2, kgms-2, N9. MLt
-1, kgms-110. ML2t-1, kg m2s-1
11. ML
2t-3, kg m2s-3, W
12. ML
2t-2, kg m2s-2, J
13. ML
-3, kg m-3quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] exercices svt 4ème systeme nerveux
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