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5.3.6 Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . 153. 5.4 Construction microscopique du tenseur des contraintes . . . . . . . . . 155.
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Table des matièresI Mouvements et Efforts15
1 Le milieu continu17
1.1 La notion de milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Le cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 L"observation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
1.5 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2 Équivalence avec la représentation lagrangienne . . .. . . . . . 32
1.5.3 Mouvements stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.4 Dérivées particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Les déformations du milieu continu45
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Transformation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 Transport d"éléments matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
2.2.3 Mesure des dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.4 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Transformation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2.3.1 Déformation homogène tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2 Transport et dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 56Table des matières
3 Déformations linéarisées et taux de déformation 75
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Hypothèse des petites transformations . . . . . . . . . . . .. . 77
3.2.2 Transport en petites transformations . . . . . . . . . . . . .. . 79
3.2.3 Dilatations et déformations en petites transformations . . . . . 79
3.2.4 Décomposition polaire en petites transformations . .. . . . . . 82
3.3 Taux de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 Cadre eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.2 Vitesse de transport et taux de déformation . . . . . . . . .. . 85
3.3.3 Vorticité et mouvement instantané . . . . . . . . . . . . . . . .87
3.4 Compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 89
3.4.1 Cadre du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.2 Conditions de compatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.3 Calcul du champ de déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.4 Mouvement rigidifiant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.5 Mesure des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014 Lois de conservation105
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Lois de conservation sur un domaine matériel . . . . . . . . . .. . . . 108
4.2.1 Domaine matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . .109
4.2.4 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Calcul de dérivées particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113
4.3.1 Dérivation en temps d"une intégrale de volume . . . . . . .. . 113
4.3.2 Dérivée particulaire d"une intégrale de volume . . . . .. . . . . 115
4.3.3 Théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.4 Théorème de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3.5 Discontinuités de champs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . .119
4.4 Lois de conservation intégrées en masse . . . . . . . . . . . . . .. . . 120
4.4.1 Loi de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.2 Loi de conservation en densité massique . . . . . . . . . . . .. 121
4.5 Relations de Rankine Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
4.5.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.2 Choc oblique stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Équilibre d"un tronçon de poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 127
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Table des matières7
5 Modélisation des efforts intérieurs143
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Efforts de contact et vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . .. . . . 145
5.2.1 Premier postulat de Cauchy et vecteur contrainte . . . .. . . . 145
5.2.2 Second postulat de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3 Tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147
5.3.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.2 Le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3.3 Définition du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . .. 151
5.3.4 Effort normal et cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3.5 Composantes du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . .. 152
5.3.6 Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . .. . 153
5.4 Construction microscopique du tenseur des contraintes. . . . . . . . . 155
5.4.1 Modélisation cinétique des efforts de contact . . . . . . .. . . 155
5.4.2 Modélisation microscopique des efforts de contact . . .. . . . . 158
5.5 Étude locale du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . .. . . 161
5.5.1 Directions principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5.2 Trace et déviateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.3 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.5.4 Critères de résistance usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
5.6 Généralisation de la démarche : le vecteur courant de chaleur . . . . . 167
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716 Équations du mouvement175
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2 Forme locale des équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . .. . 177
6.3 Conditions de saut et conditions aux limites . . . . . . . . . .. . . . . 180
6.3.1 Relations de saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.3.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.4 Équations de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.1 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.2 Les relations de saut en l"absence d"onde de choc . . . . .. . . 184
6.4.3 Des lois de conservation aux équations de la dynamique. . . . 185
6.5 Exemples d"application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
6.5.1 Propagation d"une onde sonore à l"intérieur d"une barre élastique187
6.5.2 Écoulement d"un glacier sur un plan incliné . . . . . . . . .. . 189
6.5.3 Équilibre d"un tronçon de poutre en traction, flexion et torsion
uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978Table des matières
7 Principe des puissances virtuelles207
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.2 Puissance virtuelle des efforts intérieurs . . . . . . . . . . .. . . . . . 210
7.2.1 Le milieu continu vu comme une infinité de liaisons élémentaires 210
7.2.2 Dualité contraintes déformations . . . . . . . . . . . . . . . .. 211
7.3 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 213
7.3.1 Démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.3.2 Puissance virtuelle des efforts d"accélération . . . . .. . . . . . 214
7.3.3 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs . . . . . . 215
7.3.4 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.4 Généralisations du principe des puissances virtuelles. . . . . . . . . . 220
7.4.1 Solutions discontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.4.2 Discontinuité des fonctions tests . . . . . . . . . . . . . . . .. 221
7.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.5.1 Théorème d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.5.2 Théorème de l"énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
7.6 Analyse limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.6.2 Approche statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.6.3 Approche cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.6.4 La fondation sur massif semi-infini . . . . . . . . . . . . . . . .229
7.7 Compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 233
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237II Comportements et Solutions d"Équilibre 249
8 Description microscopique d"un milieu continu 251
8.1 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.2 Les différents états de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254
8.3 Fonctions de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259
8.3.1 Le cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.3.2 Entropie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.4 Distribution d"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261
8.4.1 Le postulat de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.4.2 Entropie d"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.5 La distribution canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262
8.5.1 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.5.2 Les gaz monoatomiques parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Table des matières9
8.6 Thermodynamique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 266
8.6.1 Le premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.6.2 Second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.6.3 Énergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759 Le modèle élastique : approche microscopique 277
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.2 Description des élastomères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
9.3 La chaîne élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.3.1 Description géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.3.2 Distribution d"équilibre de la chaîne isolée . . . . . . .. . . . . 285
9.3.3 Distribution d"équilibre de la chaîne sous tension . .. . . . . . 286
9.3.4 La chaîne fixée à ses extrémités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.4 Déformation d"un réseau réticulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 292
9.4.1 Hypothèses de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.4.2 Calcul microscopique des contraintes . . . . . . . . . . . . .. . 292
9.5 Éprouvette en extension et en cisaillement . . . . . . . . . . .. . . . . 295
9.6 Limites et extensions du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 298
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30310 Le modèle élastique : approche thermodynamique 311
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.2 Inégalité de Clausius Duhem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313
10.2.1 Lien entre énergie interne et puissance des efforts intérieurs . . 313
10.2.2 Inégalité de Clausius Duhem : le cadre intégral . . . . .. . . . 314
10.2.3 Inégalité de Clausius Duhem : le cas de la températurelocale-
ment uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31410.2.4 Inégalité de Clausius Duhem : le cas général . . . . . . . .. . . 315
10.2.5 Tenseur des contraintes de Piola . . . . . . . . . . . . . . . . .315
10.3 Lois de comportement d"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 317
10.3.1 Le cas des gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3.2 Les matériaux élastiques sans liaison interne . . . . .. . . . . . 318
10.3.3 Les matériaux élastiques avec liaisons internes . . .. . . . . . . 321
10.3.4 Le cas des élastomères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
10.3.5 Matériaux biologiques fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910Table des matières
11 Le modèle élastique : les métaux333
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.2 Description microscopique des métaux . . . . . . . . . . . . . .. . . . 335
11.2.1 Les métaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.2.2 La liaison métallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.2.3 Le modèle de sphères dures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.3 La structure cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 341
11.3.1 Le réseau critallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.3.2 Énergie d"un monocristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.4 Les métaux en petites déformations . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 346
11.4.1 Le monocristal en petites déformations . . . . . . . . . . .. . . 346
11.4.2 Élongation d"un monocristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349
11.4.3 Le cas polycristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35512 Le modèle élastique : approche macroscopique 363
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
12.2 Lois élastiques linéaires en déformation . . . . . . . . . . .. . . . . . . 366
12.2.1 Rappel du cadre élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
12.2.2 Le cas linéaire en déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367
12.3 Invariances matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 369
12.3.1 Localité, symétrie tensorielle et indifférence matérielle . . . . . 369
12.3.2 Respect des symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . .. . 371
12.3.3 Isotropie matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
12.4 Les lois classiques en élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 375
12.4.1 Matériaux élastiques linéaires isotropes . . . . . . . .. . . . . 375
12.4.2 Matériaux élastiques compressibles linéaires . . . .. . . . . . . 378
12.4.3 Matériaux compressibles en grandes déformations . .. . . . . . 379
12.4.4 Matériaux incompressibles en grandes déformations. . . . . . 379
12.5 Essais élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381
12.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.5.2 Essais en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.5.3 Essai de cisaillement et de torsion . . . . . . . . . . . . . . .. 383
12.5.4 Essai dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
12.6 Conclusions sur l"étude des lois de comportement . . . . .. . . . . . . 386
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .389 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Table des matières11
13 Les problèmes de structures en élasticité 395
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
13.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
13.2.1 Un problème modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
13.2.2 Modélisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
13.2.3 Modélisation des déplacements cinématiquement admissibles . 400
13.2.4 Modélisation des efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . .. . 402
13.2.5 Bilan des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . .. 404
13.2.6 Modélisation du comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
13.3 Les équations du problème élastique . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 405
13.3.1 Rappel des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
13.3.2 Équations du mouvement surΩ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
13.3.3 Interprétation des équations du mouvement en configuration
actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40713.4 Construction de solutions d"équilibre . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 408
13.4.1 La méthode des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
13.4.2 Calcul par minimisation de l"énergie . . . . . . . . . . . . .. . 411
13.5 Écriture en configuration initiale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 413
13.5.1 Principe des puissances virtuelles en configurationinitiale . . . 413
13.5.2 Les équations du mouvement en configuration initiale. . . . . 415
13.5.3 Les trois tenseurs des contraintes . . . . . . . . . . . . . . .. . 417
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42314 Les problèmes élastiques en petites transformations 429
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
14.2 Le Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.2.1 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.2.2 Les équations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.3 Le problème en petites transformations . . . . . . . . . . . . .. . . . 433
14.3.1 Hypothèse des petites transformations . . . . . . . . . . .. . . 433
14.3.2 Linéarisation mécanique du comportement . . . . . . . . .. . . 434
14.3.3 Linéarisation en déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435
14.3.4 Interprétation physique de la loi de comportement linéarisée . . 436
14.3.5 Identification des tenseurs des contraintes . . . . . . .. . . . . 438
14.3.6 Le problème linéaire final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
14.3.7 Formulation faible linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 439
14.3.8 Raideur géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
14.3.9 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
14.4 Solutions autoentretenues et modes propres . . . . . . . . .. . . . . . 443
12Table des matières
14.4.1 Définition et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
14.4.2 Existence de modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.4.3 Calcul de solutions générales par superposition . . .. . . . . . 444
14.4.4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
14.4.5 L"exemple de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
14.4.6 Complément : théorie spectrale et applicabilité du principe de
Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45014.5 Calcul de solutions quasi-statiques en petites transformations . . . . . 450
14.5.1 Équations d"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
14.5.2 Exemple : la trempe des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45715 Approches variationnelles en petites perturbations 471
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
15.2 Le problème en petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 473
15.2.1 Petites perturbations autour d"un état naturel . . . .. . . . . 473
15.2.2 Les équations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
15.2.3 Résumé des hypothèses de petites perturbations . . . .. . . . 476
15.3 Champs de contrainte statiquement admissibles . . . . . .. . . . . . . 477
15.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
15.3.2 Méthode des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
15.4 Principe du minimum pour les déplacements . . . . . . . . . . .. . . . 481
15.4.1 Formulation faible et formulation énergétique en déplacement . 481
15.4.2 Existence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
15.5 Minimisation et encadrement par les contraintes . . . . .. . . . . . . 485
15.5.1 Définition de l"énergie complémentaire . . . . . . . . . . .. . . 485
15.5.2 Relations de dualité à l"équilibre . . . . . . . . . . . . . . .. . 486
15.5.3 Les principes de minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
15.5.4 Formule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
15.6 Approximation de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
15.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
15.6.2 Écriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
15.6.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
15.6.4 Calcul d"erreur en norme de l"énergie . . . . . . . . . . . . .. . 495
15.6.5 Erreur en loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
15.7 Méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
15.7.1 Composants constitutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
15.7.2 Validation et calcul d"erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 500
Formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .503 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505Table des matières13
III Annexes513
A Rappel des principales notations515
A.1 Convention des indices répétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 515 A.2 Matrices et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 A.3 Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516B Calcul tensoriel519
B.1 Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 B.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 B.1.2 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 B.2 Tenseurs euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 B.2.1 Produit tensoriel de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 B.2.2 Tenseurs euclidiens d"ordre quelconque . . . . . . . . . . .. . . 522 B.2.3 Produit tensoriel de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 B.3 Exemples de tenseurs d"ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 522 B.3.1 Tenseur métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 B.3.2 Tenseur euclidien associé à une forme linéaire . . . . . .. . . . 523 B.3.3 Transposition et symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 B.4 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 B.4.1 Contraction de produit tensoriels de vecteurs . . . . . .. . . . 524 B.4.2 Contraction de tenseurs quelconques . . . . . . . . . . . . . .. 525 B.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526C Calcul différentiel531
C.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 C.2 Calcul en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 533 C.3 Calcul en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 535 D Expressions explicites des équations de la dynamique 539E Compléments de physique statistique 541
E.1 Du microcanonique au canonique en physique statistique. . . . . . . . 541 E.2 Particules indiscernables en faible interaction . . . . .. . . . . . . . . 542 E.3 Calcul de la fonction de partition d"une chaîne d"élastomère . . . . . . 544Bibliographie547
Index549
quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
[PDF] exercices svt 1ere s cycle cellulaire
[PDF] exercices svt 4ème systeme nerveux
[PDF] exercices symétrie axiale 4eme
[PDF] exercices symétrie axiale niveau 5ème
[PDF] exercices tableur 3ème
[PDF] exercices taux d'évolution première es
[PDF] exercices team building
[PDF] exercices techniques de vente
[PDF] exercices temps d arret
[PDF] exercices tension électrique cap
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