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Théorème des accroissements finis
Exercice 9 : En utilisant le Théorème des accroissements finies(T A F) donner un encadrement du nombre 10001 et en déduire une valeur approchée de avec la précision 5 10u 5 Solution : Considérons une fonction f tel que : fx x on a : On a : est fonction continue sur [10000 10001] et dérivable sur ] 10000 10001 [donc d’après le T
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Utiliser le théorème des accroissements ?nis avec la fonction t 7!lnt 2 Montrer d’abord que f00est négative Se servir du théorème des valeurs intermédiaires pour f0 Indication pourl’exercice10 N 1 Raisonner par l’absurde et appliquer le théorème de Rolle 2 Calculer h(a) et h(b) 3 Appliquer la question 2 sur l’intervalle
63 Théorème de Rolle et des accroissements nis
6 3 Théorème de Rolle et des accroissements ?nis Dé?nition 6 20 Soit I un intervalle de R et f: I ? R une fonction On dit que a ? I est un : • maximum de f sur I si pour tout x ? I on a f(x) ? f(a); • minimum de f sur I si pour tout x ? I on a f(x) ? f(a); • extremum de f sur I si a est un minimum ou un maximum de f
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Limite continuité théorème des valeurs intermédiaires dérivabilité théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : ( T)= T ?1+ T2??1+ T Déterminer les limites de si elle existent en 0 et en +? Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : ( T)= ( T? 1 T)
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Analyse : Feuille de réponses du TP 9 Accroissements finis On répondra aux questions posées dans les espaces prévus et on remettra cette feuille de réponses en fin de TP à l'enseignant chargé du T P Exercice 1 : Théorème de Rolle 1 Vérifier que les hypothèse du théorème de Rolle s'appliquent à la fonction f (c) c3 —c
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Soit ???? la fonction primitive de donc : () 2 ²1 G x f x x G G f f f f(0) (1) (0) 2 (1) 1 (0) (1) 1 0 Donc ; Et puisque : G est une fonction continue sur [0 1] dérivable sur ]0 1[(somme et quotient de fonctions dérivables et continues) D’après le théorème de Rolle il existe un réel ? ]0 1[ tel que : Gcc0
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Exercices sur les théorèmes Rolle et des accroissements finis (TAF) Responsable€: Université Rennes 1 Vous n'avez pas besoin de vous identifier pour utiliser cette base d'exercices Faire les exercices 11 1 11 2 11 3 11 4 Vous n'avez pas besoin de vous identifier pour utiliser cette base d'exercices (BRAISE)
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Semaine 2 : Rolle et les accroissements finis Exercice 1 Soit f : R ? R une application dérivable véri?ant limx?+? f(x) = limx??? f(x) = l ? R; en considérant g(x) = f(tanx) montrer qu’il existe c ? R tel que f?(c) = 0 Exercice 2 1) Soient n ? 2 ab ? R etP(x) = xn +ax+b Montrer que si n est pair P a au
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1 Applications différentiables: Le théorème des accroissements ?nis 35 Démonstration: On applique 1 8 4 à chaque composante f j de Une autre variante du théorème des accroissement ?nis où l’égalité est rempla-cée par une inégalité sur les normes 1 8 10 THÉORÈME(L’INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS) Soit f : U !
Quel est l'analogue du théorème des accroissements finis ?
- Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec égalité) des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. § Remarques de l'article sur ce théorème).
Quels sont les exercices de théorème de Rolle?
- exercice 1:Théorème de Rolle exercice 2:égalité des accroissements finis exercice 3:Inégalité des accroissements finis exercice 4:Théorème de la valeur moyenne
Quels sont les conséquences directes du théorème des accroissements finis ?
- Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont : le théorème « limite de la dérivée » (si une fonction f, continue en a, est dérivable sauf peut-être en a, mais si sa dérivée a une limite finie au point a, alors f est en fait de classe C 1 en a ).
Comment calculer l'égalité des accroissements finis ?
- L'égalité et l'inégalité des accroissements finis permettent souvent d'obtenir des inégalités. Par exemple, si on applique l'égalité des accroissements finis entre a a et b b, on peut souvent contrôler la différence f (a)?f (b) f ( a) ? f ( b) si on connait des informations sur la dérivée f ? f ? sur [a,b] [ a, b] (voir cet exercice ).
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