[PDF] Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010

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?Corrigé du baccalauréat S Pondichéry?

21 avril 2010

EXERCICE16 points

Commun à tous lescandidats

PartieA : Restitution organiséede connaissances fetgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] doncg-fest continue sur [a;b]. Pour toutx de [a;b],f(x)?g(x) doncg(x)-f(x)?0 donc?b a [g(x)-f(x)]dx?0 b a [g(x)-f(x)]dx=? b a g(x)dx-? b a f(x)dxet? b a [g(x)-f(x)]dx?0 donc b a g(x)dx-? b a f(x)dx?0 soit? b a g(x)dx?? b a f(x)dx.

PartieB

1. a.Pour toutxde [0 ;+∞[,f1(x)=ln(1+x).

SoitX=1+x, limx→+∞X=+∞;

f

1(x)=lnXor limX→+∞lnX=+∞donc limx→+∞f1(x)=+∞.

b.f1est la composée de deux fonctions : x?-→1+xcontinue et dérivable sur [0 ;+∞[, à valeurs dans [1 ;+∞[ et

x?-→lnx, continue et dérivable sur [1 ;+∞[, doncf1est continue et dérivable sur [0 ;+∞[.

f ?1(x)=1 x+1donc pour toutxde [0 ;+∞[,f?1(x)>0 doncf1est strictement croissante sur [0 ;+∞[. c.Soit :u?(x)=1u(x)=x+1 v(x)=ln(1+x)v?(x)=1 x+1 uetvsont continues et dérivables sur [0 ;+∞[, de même queu?etv?donc I

1=[u(x)v(x)]10-?

1 0 u(x)v?(x)dx; I

1=[(x+1)ln(x+1)]10-?

1 0x+1 x+1dx=[(x+1)ln(x+1)]10-? 1 0 1dx=

2ln2-0-1;

I

1=2ln2-1.

f

1(0)=0 etf1est strictement croissante sur [0 ;+∞[ doncf1est positive sur [0 ; 1].

f

1est continue sur [0 ; 1] doncI1est l"aire (en unité d"aires) du domaine limité par l"axe des

abscisses, les droites d"équationx=0, x=1 et la courbe représentative def1.

2. a.Pour tout entier naturel non nuln,fnest la composée de deux fonctions continues sur [0 ;+∞[ :

x?-→1+xnetx?-→lnxdoncfnest continue sur [0 ;+∞[.

Pour toutxde [0 ; 1], 0?xn?1 donc 1?1+xn?2.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ donc ln1?ln(1+xn)? ln2. La fonctionfnest continue sur [0 ; 1] et pour toutxde [0 ; 1],

0?fn(x)?ln2.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Donc pour tout entier naturel non nuln, 0?In??

1 0 ln2dx, soit

0?In?ln2.

b.Pour toutxde [0 ; 1], 0?x?1 donc par produit parxn?0,

0?xn+1?xnpuis 1?1+xn+1?1+xn.

ln (1+xn), soit 0?fn+1?fn. Les fonctionsfn+1etfnsont continues sur [0 ; 1] et pour toutxde [0 ; 1],

0?fn+1?fndonc 0?In+1?In.

La suite

(In)est décroissante et minorée par 0. c.La suite(In)décroissante et minorée par 0 est donc convergente vers un nombre positif.

3. a.gest ladifférence dedeux fonctions continues dérivablessur [0 ;+∞[:x?-→xetx?-→f1(x)donc

gest continue et dérivable sur [0 ;+∞[ etg?(x)=1 x+1-1=-xx+1. Pour toutx>0,g?(x)<0 etg?(0)=0 doncgest strictement décroissante sur [0 ;+∞[. Sixestunréelpositif alorspourtoutentier naturelnnonnul,xnestunréelpositifdoncg(xn)?0 donc pour tout entier naturelnnon nul, et pour toutxréel positif, on a : ln(1+xn)-xn?0 soit ln (1+xn)?xn. c.Les fonctionsfnetx?-→xnsont continues sur [0 ;+∞[ et pour toutxde [0 ;+∞[ on a :

0?ln(1+xn)?xn;donc0?In??

1 0 xndx,soit0?In??1 n+1xn+1?10,ouencore0?In?1n+1.

Comme lim

n→+∞1 n+1=0 d"après le théorème des gendarmes appliqué aux suites, limn→+∞In=0.

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

1.Un vecteur directeur de la droite D de représentation paramétrique???x=t+2

y= -2t z=3t-1est-→ude coordonnées (1 ;-2 ; 3).

Un vecteur normal au plan P est

-→nde coordonnées (1; 2; 1). Or-→u·-→n=1×1+(-2)×2+3×1=0 donc-→uet-→nsont orthogonaux, la droite D est parallèle au plan P

dont une équation cartésienne est :x+2y+z-3=0.

Il était possible aussi de chercher le(s) point(s) d"intersection de D et de P et chercherttel que (t+

2)+2(-2t)+(3t-1)=0 ceciest équivalent à1=0 cequiest impossible, doncDetPn"ont pasdepoint

commun, D est strictement parallèle à P.VRAI

2.Pour chercher les points communs à ces trois plans il faut résoudre le système :???x-2y+3z=3L1

2x+3y-2z=6L2

4x-y+4z=12L3L

1+L2+L3etL3-L1conduisent au système :???x-2y+3z=3

7x+5z=21

7x+5z=21

soit?x-2y+3z=3

7x+5z=21

L"intersection de deux plans est une droite doncFAUX.

3.Pour déterminer l"éventuel point d"intersection des droites citées, il faut chercher des réelstetutels

que

Pondichéry221 avril 2010

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

?x=2-3t=7+2u z= -3+2t= -6-u y=1+t=2+2udonc résoudre le système???3t+2u= -5

2t+u= -3

t-2u=1??2t+u= -3 t-2u=1 ?5t= -5 t-2u=1???t= -1 u= -1et dans ce cas on a bien 3t+2u= -5 donc les deux droites sont sécantes et leur point d"intersection est A(5 ;0 ;-5).VRAI

4.On considère les points A, de coordonnées (-1 ; 0 ; 2), B de coordonnées (1; 4; 0), et C, de coordon-

nées (3 ;-4 ;-2). Le plan (ABC) a pour équationx+z=1.--→AB a pour coordonnées (2 ; 4 ;-2)--→AC a pour coordonnées (4 ;-4 ;-4)

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc le plan (ABC) existe. Les coordonnées de A, B et C

vérifientx+z=1 donc le plan (ABC) a pour équationx+z=1.VRAI. 5. --→AB a pour coordonnées (3 ; 0 ;-3)--→AC a pour coordonnées (5 ;-2 ; 2) Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc C n"appartient pas à la droite (AB). On ne peut pas écrire C comme barycentre des points A et B doncFAUX.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

1.Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l"urne donc on est en situation

d"équiprobabilité. Le nombre initial de boules estn+10, le joueur choisit une boule donc a (n+10) choix possibles et ne remet pas cette boule dans l"urne donc le nombre de boules possibles lors du second tirage est (n+9). a.Lors d"un tirage de deux boules,— soit le joueur tire deux boules blanches, et gagne 4? — soit le joueur tire une boule blanche et une boule rouge, et gagne

2-3=-1?

— soit le joueur tire deux boules rouges, et gagne-6?. Si le joueur tire une boule rouge au premier tirage, l"urne contient 10 boules blanches etn-

1 boules rouges.

Silejoueur tireune bouleblancheaupremier tirage,l"urnecontient 9boules blanchesetnboules rouges.

D"où l"arbre de choix :

1 ertirage 2etirageGain -6? -1? -1? 4?? R 1 n n+10R 2 n-1 n+9 B 2 10 n+9 B 1 10 n+10R 2 n n+9 B 2 9 n+9

Pondichéry321 avril 2010

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.p(X=-6)=n n+10×n-1n+9=n(n-1)(n+10)(n+9). p(X=4)=10 n+10×9n+9=90(n+10)(n+9). c.E(X)=4p(X=4)+(-1)p(X=-1)+(-6)p(X=-6) donc

E(X)=360

E(X)=-6n2+6n-20n+360

(n+10)(n+9)=-6n2-14n+360(n+10)(n+9). d.E(X)>0?? -6n2-14n+360>0. -6x2-14x+360=0 orΔ=142+4×6×360=942, donc les solutions sontx1= -9,x2=20 3. Le

trinôme est négatif sauf entre les racines, doncnétant unentier supérieur ou égalà2, l"espérance

mathématique est strictement positive si 2?n?6.

2.Les évènements "obtenir aumoins une boule rougeau cours deces 20 tirages» et "obtenir 20 boules

blanches au cours de ces 20 tirages» sont contraires donc :p=1-?10 n+10? 20 p>0,999???10 n+10? 20 <1-0,999???10n+10? 20 <0,001?? 10

3.P(Z?k)=?

k 0 b.P(Z?60/Z>50)=P(50P(Z>50).

P(50 60
50

P(Z?50)=1-e-0,5doncP(Z>50)=1-P(Z?50)=e-0,5, donc

P(Z?60/Z>50)=e-0,5-e-0,6

e-0,5=1-e-0,1.

EXERCICE44 points

Commun à tous lescandidats

1.Sin=0,un+1=1

3un+n-2 devient :

u 1=1

3u0+0-2 soitu1=13-2=-53;

Sin=1,un+1=1

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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